1、课时规范练36直接证明与间接证明1.用合适的方法证明:(1)已知a,b都是正数,求证:a5+b5a2b3+a3b2.(2)已知a是整数,a2是偶数,求证:a也是偶数.2.(2021上海松江实验高级中学月考)(1)证明:|x-3|-|x-5|-2,对所有实数x均成立,并求等号成立时x的取值范围.(2)求证:6是无理数.3.(2021青海海东模拟)(1)用分析法证明:若x1,则3x2+1x23x+1x3x+1x.(2)用反证法证明:若a0)无零点.4.(2021安徽黄山模拟)列三角形数表假设第n行的第二个数为an(n2,nN*).(1)归纳出an+1与an的关系式并求出an的通项公式;(2)求证:
2、数列an(n2,nN*)中任意的连续三项不可能构成等差数列.答案：课时规范练1.证明(1)综合法:(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=a2(a3-b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)(a2+ab+b2)(a-b)(a+b)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),因为a,b都是正数,所以上式非负,所以(a5+b5)-(a2b3+a3b2)0,所以a5+b5a2b3+a3b2.(2)反证法:假设a不是偶数,即a是奇数,不妨设a=2n+1(nZ),则a2=4n2+4n+1.因为4(n2+n)是偶数,所以4n2+4n+1是奇数,这与已知a2是偶数矛盾,由上述矛
3、盾可知,a一定是偶数.2.证明(1)对于不等式|x-3|-|x-5|-2,当x3时,左边=3-x+(x-5)=-2,不等式成立.当3x-2,不等式成立.当x5时,左边=x-3-(x-5)=2-2.所以|x-3|-|x-5|-2,对所有实数x均成立,等号成立时x(-,3.(2)假设6是有理数,则6=mn,其中m,n是互质的整数,则m=6n,两边平方得m2=6n,所以m为偶数,设m=2k,kZ,则4k2=6n,2k2=3n,所以n为偶数,与“m,n是互质的整数”矛盾,所以假设不成立.所以6是无理数.3.证明(1)因为x1,所以要证3x2+1x23x+1x,只需证3x4+13x3+x,即证3x3(x
4、-1)x-1,所以只需证3x31.因为x1,所以3x331,故3x2+1x23x+1x得证.令t=x1,则3x+1x3x+1x等价于3t2+1t23t+1t,又因为已证明3x2+1x23x+1x,所以3t2+1t23t+1t.故3x2+1x23x+1x3x+1x.(2)假设函数f(x)=ax2-4ex(x0)有零点,则方程f(x)=0在(0,+)上有解,即a=4exx2在(0,+)上有解.设g(x)=4exx2(x0),g(x)=4ex(x-2)x3(x0),当0x2时,g(x)2时,g(x)0.所以g(x)min=g(2)=e2,又因为ae2,所以a=4exx2在(0,+)上无解,显然矛盾,
5、故假设不成立,即原命题得证.4.(1)解:由三角形数表可知a2=2,an+1=an+n(n2,nN*),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+a2=(n-1)+(n-2)+2+2=(n-2)(n-1+2)2+2=n2-n+22(n3).又a2=2也满足上式,an=n2-n+22(n2,nN*).(2)证明(反证法)假设an中存在连续三项构成等差数列,可设an-1,an,an+1(n3,nN*)成等差数列,则2an=an-1+an+1,即2n2-n+22=(n-1)2-(n-1)+22+(n+1)2-(n+1)+22=n2-n+3,得0=1,显然矛盾,即假设不成立.故数列an(n2,nN*)中任意的连续三项不可能构成等差数列.
