1、第七章 立体几何与空间向量第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.知识诊断基础夯实内容索引考点突破题型剖析分层训练巩固提升ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI知识诊断 基础夯实1知识梳理1.与平面有关的基本事实及推论(1)与平面有关的三个基本事实基本事实内容图形符号基本事实1过_的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的使A，B，C不在一条直线上基本事实2如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线在
2、这个平面内Al，Bl，且A，Bl基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条_P，且Pl，且Pl两个点过该点的公共直线(2)基本事实1的三个推论推论内容图形作用推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面确定平面的依据推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面2.空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a3.基本事实4和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线_.等 角 定 理：如 果 空 间 中
3、两 个 角 的 两 边 分 别 对 应 平 行，那 么 这 两 个 角_.4.异面直线所成的角(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线aa，bb，把a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).互相平行相等或互补常用结论1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角.诊断自测解析(1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误.(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误.(4)由于a不平行于平面，且a
4、，则a与平面相交，故平面内有与a相交的直线，故错误.1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线.()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()(4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面.()ABC解析 依题意，mA，n，m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.2.(多选)是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m，n，且Am，A，则m，n的位置关系可能是()A.垂直B.相交C.异面 D.平行D解析由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，
5、l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交.若ll1，ll2，则l1l2，这与l1，l2是异面直线矛盾.故l至少与l1，l2中的一条相交.3.(2022重庆质检)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是()A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交解析如图，连接BE，因为ABCD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即为EAB.4.(2018全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角
6、的正切值为()C解析 AB，MAB，M.又l，Ml，M.根据基本事实3可知，M在与的交线上.同理可知，点C也在与的交线上.5.如图，l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点MD解析连接MP，AC(图略)，因为MPAC，MPAC，所以AP与CM是相交直线，又面A1ADD1面C1CDD1DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，则A不正确，B正确.6.(多选)(2021长沙调研)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是()A.AP与CM是异面
7、直线B.AP，CM，DD1相交于一点C.MNBD1D.MN平面BB1D1DBD令ACBDO，连接OD1，ON.因为M，N分别是C1D1，BC的中点，则四边形MNOD1为平行四边形，所以MNOD1，因为MN平面BD1D，OD1平面BD1D，所以MN平面BD1D，C不正确，D正确.KAODIANTUPOTIXINGPOUXI考点突破 题型剖析2考点一 基本事实的应用证明EF是D1B1C1的中位线，EFB1D1.在正方体AC1中，B1D1BD，EFBD.EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.例1 如图所示，已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC
8、BDP，A1C1EFQ.求证：(1)D，B，F，E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线.证明在正方体AC1中，设平面A1ACC1为，平面BDEF为.QA1C1，Q.又QEF，Q，则Q是与的公共点，同理，P是与的公共点，PQ.又A1CR，RA1C.R，且R，则RPQ，故P，Q，R三点共线.共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.感悟提升证明因为KEH，E
9、H平面ABD，所以K平面ABD，同理K平面CBD，而平面ABD平面CBDBD，因此KBD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点.训练1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是CD和AD上的点.若EH与FG相交于点K.求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点.考点二 空间位置关系的判断解析 根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，例2(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且ABCBCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A.平行B.异面C.相交或平行D.平行或异面或相交均有可能D如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况，故选D.(2)(多选
10、)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，则在这个正四面体中()A.GH与EF平行B.BD与MN为异面直线C.GH与MN成60角D.DE与MN垂直解析 还原成正四面体ADEF，如图所示，其中H与N重合，A，B，C三点重合，易知GH与EF异面，BD与MN异面.连接GM，GMH为等边三角形，GH与MN成60角.由图易得DEAF，又MNAF，MNDE，因此正确的选项是B，C，D.BCD空间中两直线位置关系的判定，主要是异面，平行和垂直的判定.异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定
11、理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.感悟提升解析 如图所示，取PB的中点H，连接MH，HC，训练2(1)(多选)(2022福州质检)四棱锥PABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是()A.MN与PD是异面直线B.MN平面PBCC.MNACD.MNPBABD由题意知，四边形MHCN为平行四边形，且MNHC，所以MN平面PBC，设四边形MHCN确定平面，又D，故M，N，D共面，但P平面，DMN，因此MN与PD是异面直线；故A，B说法均正确.若MNAC，由于CHMN，则CHAC，事实上ACCHC，C说法不正确；因为PCBC，H为PB的中点，所以C
12、HPB，又CHMN，所以MNPB，D说法正确.解析连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E2ED，可得M为AD的中点，(2)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，则EF与BD1的位置关系是()A.相交但不垂直B.相交且垂直C.异面D.平行D连接BF并延长，交AD于点N，因为CF2FA，可得N为AD的中点，考点三 异面直线所成的角解析如图，连接C1P，因为ABCDA1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1PB1D1，例3(1)(2021全国乙卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1
13、所成的角为()D又C1PBB1，B1D1BB1B1，B1D1，BB1平面B1BP，所以C1P平面B1BP.又BP平面B1BP，所以有C1PBP.连接BC1，则AD1BC1，所以PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，(2)将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为()A.90 B.60 C.45 D.30解析 如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，B则ONCD，MNAB，所以ONM或其补角即为所求的角.因为平面ABC垂直于平面ACD，平面ABC平面ACDAC，BOAC，AC平面ACD，所以BO
14、平面ACD，所以BOOD.所以ONMNOM1.所以OMN是等边三角形，ONM60.所以直线AB与CD所成的角为60.1.综合法求异面直线所成角的步骤：(1)作：通过作平行线得到相交直线.(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角).(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.2.向量法：利用向量的数量积求所成角的余弦值.感悟提升易知AD1DE1，则B1DE1为异面直线AD1与DB1所成角.解析 法一 如图，补上一相同的长方体CDEFC1D1E1F1，连接DE1，B1E1.C在B1DE1中，由余弦定理，法二 如图
15、，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1OM，则MOD为异面直线AD1与DB1所成角.于是在DMO中，由余弦定理，解析如图，取B1C1的中点D1，连接A1D1，则ADA1D1，CA1D1(或其补角)就是异面直线A1C与AD所成的角.连接D1C.A1B1A1C1，A1D1B1C1，又A1D1CC1，B1C1CC1C1，A1D1平面BCC1B1，CCA1D160.D1C平面BCC1B1，A1D1D1C，A1D1C为直角三角形，立体几何中的截线、截面问题微点突破利用平面的性质确定截面的形状是解决问题的关键.(1)作截面应遵循的三个原则：在同一平面上
16、的两点可引直线；凡是相交的直线都要画出它们的交点；凡是相交的平面都要画出它们的交线.(2)作交线的方法有如下两种：利用基本事实3作交线；利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形.解析先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点.C一、截面问题(2)(2018全国卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为()解析如图，依题意，平面与棱B
17、A，BC，BB1所在直线所成角都相等，容易得到平面AB1C符合题意，进而所有平行于平面AB1C的平面均符合题意.A由对称性，知过正方体ABCDA1B1C1D1中心的截面面积应取最大值，此时截面为正六边形EFGHIJ.解析如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1Q，D1E，EP，EQ，由BAD60，ABAD，知ABD为等边三角形，D1B1DB2，D1B1C1为等边三角形，二、截线问题P，Q分别为BB1，CC1的中点，解析 如图所示，连接EF，A1B，连接A1C1，B1D1交于点M，连接B1E，BC1交于点N，由EFB1D1，即E，F，
18、B1，D1共面，由P是线段A1B上的动点，当P重合于A1或B时，C1A1，C1B与平面D1EF的交点分别为M，N，即Q的轨迹为MN，由A1BBC1A1C1，得A1C1B60，FENCENGXUNLIANGONGGUTISHENG分层训练 巩固提升3A级 基础巩固解析 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.1.a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，
19、c相交C.若ab，则a，b与c所成的角相等D.若ab，bc，则acC2.给出以下四个命题：依次首尾相接的四条线段必共面；过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3B解析 中，空间四边形的四条线段不共面，故错误；中，由基本事实1知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故正确；中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故错误；中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可
20、异面，故错误.解析 图A中，直线GHMN；图B中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，NGH，因此直线GH与MN异面；图C中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图D中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN，因此GH与MN异面.3.(多选)下图中，G，N，M，H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有()BD解析 MA1C，A1C平面A1ACC1，M平面A1ACC1，又M平面AB1D1，M在平面AB1D1与平面A1ACC1的交线AO上，即A，M，O三点共线，A，M，O，A1共面且A，M，C，O共面，平面BB1D1D平面AB1D
21、1B1D1，M在平面BB1D1D外，即B，B1，O，M不共面，故选A，B，C.4.(多选)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A.A，M，O三点共线 B.A，M，O，A1共面C.A，M，C，O共面 D.B，B1，O，M共面ABCA.E，F，G，H四点共面B.FG平面ADCC.若直线FG，HE交于点P，则P，A，C三点共线D.若ABD的面积为6，则BCD的面积为3ACD因此E，F，G，H共面，A项正确；假设FG平面ADC成立，因为平面ABC平面DACAC，因为FG平面ABC，PFG，所以P平面ABC，同理P平面
22、ADC，因为平面ABC平面ADCAC，所以PAC，所以P，A，C三点共线，因此C正确；解析延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P平面BB1C1C，连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，6.(2022广州检测)我国古代的数学著作九章算术商功中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABCA1B1C1中，ABACAA12，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABCA1B1C1所得截面图形的面积为()A得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABCA1B1C1所得截面图形，AMN中MN边上的高AMN截“堑堵”ABCA1B1C1所得截面图形的面积解析
23、因为ABCD，由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外四个侧面相交.7.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_.4解析如图所示，设正方体的表面ABB1A1的中心为P，容易证明OPA1D，所以直线l即为直线OP，角即POC1.8.在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，过O点作一条直线l与A1D平行，设直线l与直线OC1的夹角为，则cos _.设正方体的棱长为2，则解析如图，过点B作BMC1E交B1C1于点M，过点M作 BD的 平 行 线，交 C1D1于 点 N，连 接 DN，则 平 面BD
24、NM即为符合条件的平面，9.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，平面经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面截正方体所得的多边形的面积为_.由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，等腰梯形MNDB的高为证明 由已知FGGA，FHHD，四边形BCHG为平行四边形.由(1)知BG綉CH，EFCH，EF与CH共面.又DFH，C，D，F，E四点共面.(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解由已知可求得正方形ABCD的面积S4，所以四棱锥OABCD的体积11.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点.
25、(1)求四棱锥OABCD的体积；即DE2EM2MD2，(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.解如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA中点，MEOC，则EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，DEM为直角三角形，且DEM90，解析如图，分别取BC，AA1，CC1的中点为H，M，N，连接EH，HN，GN，FM，ME，容易得出FGEH，GNME，HNFM，12.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为棱AB，A1D1，C1D1的中点，经过E，F，G三点的平面被正方体所截，则截面图形的面积为()BB级 能力提升则点E，F，G，H，M，N共面
26、，即经过E，F，G三点的截面图形为正六边形EHNGFM.连接MN，EG，FH，且相交于点O，连接AO1，O1D，OD，O1E，OE，解析 如图，设BDC的中心为O1，球O的半径为R，2在RtOO1D中，R23(3R)2，解得R2，BD3BE，DE2，在DEO1中，过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，解正方形ABCD的边长为4，且PAB为等边三角形，E为AB的中点，14.(2021上海卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，边长为4，E为AB的中点，PE平面ABCD.(1)若PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积；又PE平面ABCD，(2)若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45，求PC与AD所成角的正切值.解ADBC，PCB即PC与AD所成的角.如图，连接EF，PE平面ABCD，EF，BC平面ABCD，PEEF，PEBC，又PF与平面ABCD所成角为45，即PFE45，PEEFtan PFE4，又BCAB，PEABE，PE，AB平面PAB，BC平面PAB，又PB平面PAB，BCPB，
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