1、31.2 共面向量定理学习目标1.了解共面向量的概念以及共面向量定理2会用共面向量解决一些简单的问题 课堂互动讲练 知能优化训练 31.2课前自主学案 课前自主学案 温故夯基1平面上有_和_的量叫做向量，方向_且模_的向量称为相等向量2向量可以进行加减和数乘运算，向量加法满足_律和_律大小方向相同相等交换结合1共面向量已知向量 a，作OA a，如果OA 的基线平行于平面，记作_，通常我们把平行于同一平面的向量，叫做_2共面向量定理共面向量定理：如果两个向量 a、b 不共线，那么向量 c 与向量 a，b 共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得_.a共面向量cxayb知新益能推论：空间一点
2、 P 位于平面 MAB 内的充分必要 条 件 是 存 在 有 序 实 数 组(x，y)，使_，或对空间任意一点 O，有_.MP xMA yMBOP OM xMA yMB空间的两非零向量a，b共面，能否推出ab(R)?提示：不能推出ab，因空间中任意两向量都共面，a，b共面未必有ab，则不一定有ab.问题探究 课堂互动讲练 考点突破 证明三个向量共面 证明三个向量共面，只需利用共面向量定理即可设向量AB、CD 分别在两条异面直线上，M、N 分别为线段 AC、BD 的中点，求证：向量AB、CD、MN 共面例1【思路点拨】证明存在 x，y 使得MN xAB yCD.【证明】MN MA AB BN，M
3、N MC CDDN，以上两式相加，并注意MA MC 0，BNDN 0，得 2MN AB CD，即MN 12AB 12CD，AB、CD、MN 共面【名师点评】如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使pxayb.在判断空间的三个向量共面时，注意“两个向量a、b不共线”的要求利用共面向量的推论是证明四点共面的依据证明四点共面 已知非零向量 e1、e2 不共线，如果ABe1e2，AC 2e18e2，AD 3e13e2.求证：A、B、C、D 共面例2【思路点拨】要证明AB、AC、AD 共面，即只要证明存在三个非零实数、v，使 AB AC vAD0 即可【证明
4、】令(e1e2)(2e18e2)v(3e13e2)0，则(23v)e1(83v)e20.e1、e2 不共线，23v0，83v0，易知51，v1是其中一组解，则5AB AC AD 0，A、B、C、D 共面另证：观察易得AC AD(2e18e2)3(e13e2)5e15e25(e1e2)5 AB，AB 15AC 15AD.由共面向量知，AB、AC、AD 共面又它们有公共点 A，A、B、C、D 四点共面【名师点评】要证四点共面，可先作出从同一点出发的三个向量，由向量共面推知点共面，应注意待定系数法的应用自我挑战 1 已知 A、B、M 三点不共线，对于平面 ABM 外的任一点 O，确定下列各条件下，点
5、 P 是否与 A、B、M 一定共面(1)OB OM 3OP OA；(2)OP 4OA OB OM.解：(1)原式可变形为OP OM(OA OP)(OB OP)OM PAPB，OP OM PAPB.PM PAPB.P 与 M、A、B 共面(2)原式可变形为OP 2OA OA OB OA OM 2OABA MA，AP AO AB AM，表达式中还含有AO.P 与 A、B、M 不共面证明线面平行，其实质还是证明三向量共面证明线面平行(本题满分14分)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点求证：EF平面SAD.例3【思路点拨】本题可转化为证
6、明向量EF与平面 SAD 内的两个不共线向量共面【规范解答】EF EA ASSF.而 F 是 SC 的中点，底面正方形 ABCD 中DC AB，因此SF12SC 12(SD DC)12(SD AB)12SD 12AB.6 分又 E 是 AB 的中点，12AB AE EA，所以EF ASEA 12SD EA SA12SD.10 分又SA与SD 不共线，可知EF、SA、SD 共面又 EF 不在平面 SAD 内，所以 EF平面 SAD.14 分【名师点评】向量共面的条件是证明线面平行的一种重要、常用的方法，其基本方法是将直线与平面平行问题转化为直线上的向量与平面内两个不共线向量共面的问题，同时要说明
7、该直线不在平面内自我挑战 2 如图，在底面是菱形的四棱锥 PABCD 中，ABC60，PAACa，PBPD 2a，点 E 是 PD 的中点求证：PB平面 AEC.证明：底面 ABCD 是菱形，ABC60，ABADACa，PB PD DA AB 2 ED DC DA(ED DA)(ED DC)EA EC，PB，EA，EC 共面又 PB平面 EAC，PB平面 AEC.1空间中任意两个向量共面，三个向量可能共面，也可能不共面，共面向量定理给出了三个向量共面的充要条件.2共面向量定理给出了判断线面平行的方法，以及判定四点共面的方法方法感悟 3判断直线与平面平行，通常利用判定定理，证明平面外一条直线平行于平面内一条直线，证明过程中线线平行有时需通过添加辅助线得到，因此方法不好用而用共面向量定理来证明线面平行，只需考虑一个向量用平面内两不共线向量来表示，可以避免添加辅助线，从而把不易掌握的证明问题转化为向量的计算问题4判断四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，而得到向量共面，进而得到四点共面知能优化训练
