1、单元质检卷六数列(时间:100分钟满分:130分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.(2021广东珠海二模)设数列an是等差数列,Sn是数列an的前n项和,a3+a5=10,S5=15,则S6=()A.18B.30C.36D.24答案:D解析:由等差数列的性质得a4=a3+a52=5,S5=a1+a525=5a3=15,则a3=3,所以等差数列an的公差d=a4-a3=2,首项a1=a3-2d=-1,则S6=6a1+6(6-1)2d=-6+30=24.2.(2021广西柳州模拟)已知等比数列an的各项均为正数,若log2a3+
2、log2a9=4,则log2a6=()A.1B.2C.2D.4答案:C解析:由题意得a30,a60,a90,a3a9=a62,所以log2a3+log2a9=log2(a3a9)=log2a62=2log2a6=4,则log2a6=2.3.(2021江西南昌十中高三月考)在数列an中,a1=2,an+1=11-an,则a2 021=()A.-2B.-1C.2D.12答案:B解析:由a1=2,an+1=11-an知,a2=-1,a3=12,a4=2,a5=-1,an是周期为3的周期数列,而2021=3673+2,a2021=a2=-1.4.(2021云南昭通模拟)已知数列an是等差数列,其前n项
3、和为Sn,有下列四个命题:甲:a18=0;乙:S35=0;丙:a17-a19=0;丁:S19-S16=0.如果只有一个是假命题,则该命题是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案:C解析:设等差数列an的公差为d,若S35=0,则S35=35(a1+a35)2=0,即a18=0;若a17-a19=0,所以-2d=0,即d=0;若S19-S16=a17+a18+a19=0,所以a18=0.又因为只有一个是假命题,所以丙是假命题.5.(2021安徽安庆模拟)设an是等比数列,前n项和为Sn,若S2S2+S4=15,则a2a2+a4=()A.15B.14C.13D.12答案:B解析:设等比数列an的公比为q
4、,由S2S2+S4=15,可得S4=4S2,整理得a3+a4=3(a1+a2),所以(a1+a2)q2=3(a1+a2),解得q2=3,所以a2a2+a4=a1qa1q+a1q3=11+q2=14.6.(2021河南郑州三模)已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=an+1-3,若Sk125,kN+,则k的最小值为()A.5B.6C.7D.8答案:B解析:S1=a1=1,Sn=an+1-3=Sn+1-Sn-3,则Sn+1+3=2(Sn+3),S1+3=4,所以Sn+3是等比数列,首项为4,公比为2,所以Sn+3=42n-1=2n+1,Sn=2n+1-3,由Sk=2k+1-3125,得k
5、6.所以k的最小值为6.7.定义一种运算“”,对于任意nN+均满足以下运算性质:(1)22 021=1;(2)(2n+2)2 021=(2n)2 021+3,则2 0202 021=()A.3 025B.3 028C.4 041D.1答案:B解析:设an=(2n)2021,则由运算性质(1)知a1=1,由运算性质(2)知an+1=an+3,即an+1-an=3,所以数列an是首项为1,公差为3的等差数列,故20202021=(21010)2021=a1010=1+10093=3028.8.(2021云南云天化中学高三期末)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问
6、题,现有这样一个整除问题:将1到2 020这2 020个数中,能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列an,则此数列的项数为()A.167B.168C.169D.170答案:C解析:由题意得,能被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数,所以an=12n-11,nN+,由an2020,即12n-112020,所以n203112=169+14,又nN+,所以此数列的项数为169.9.(2021云南红河三模)已知数列an的前n项和为Sn,且满足Sn=4n2+n.若数列bn满足bn=an+34,则1b1b2+1b2b3+1b2020b2021=()A.5052020B.2
7、0202021C.20192020D.5052021答案:D解析:Sn=4n2+n,当n2时,Sn-1=4(n-1)2+n-1=4n2-7n+3,则an=Sn-Sn-1=8n-3(n2),当n=1时,a1=S1=5,适合上式,所以an=8n-3,所以bn=an+34=8n-3+34=2n.故1bnbn+1=12n2(n+1)=141n(n+1)=141n-1n+1,1b1b2+1b2b3+1b2020b2021=141-12+12-13+12020-12021=141-12021=1420202021=5052021.10.(2021江西上饶三模)南宋著名数学家杨辉在1261年所著的详解九章算
8、法一书中首次提出“杨辉三角”,如图所示,这是数学史上的一个伟大的成就.在“杨辉三角”中,已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列,且数列前n项和为Sn,若bn=2log2(Sn+1)-1,则b2 021=()A.4 041B.4 043C.4 039D.4 037答案:A解析:因为每一行的数字之和构成的数列为等比数列,且第一行数字和为1,第二行数字和为2,第三行数字和为4,所以该等比数列首项为1,公比q=2,所以Sn=1-2n1-2=2n-1,所以bn=2log2(Sn+1)-1=2log22n-1=2n-1,所以b2021=22021-1=4041.11.有这样一道题目:“戴氏善屠,日益功倍
9、.初日屠五两,今三十日屠讫,问共屠几何?”其意思为:“有一个姓戴的人善于屠肉,每一天屠完的肉是前一天的2倍,第一天屠了5两肉,共屠了30天,问一共屠了多少两肉?”在这个问题中,该屠夫前5天所屠肉的总两数为()A.35B.75C.155D.315答案:C解析:由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列,记首项为a1,公比为q,前n项和为Sn,所以a1=5,q=2,因此前5天所屠肉的总两数为a1(1-q5)1-q=5(1-25)1-2=155.故选C.12.(2021浙江绍兴一中高三期末)已知数列an与bn满足bn+1an+bnan+1=(-3)n+1,bn=2,n为偶数,1,n为奇数,且a1=2,则下
10、列结论正确的是()A.a3-a1=8B.a4-a2=18C.a2n+2-a2n是等差数列D.a2n+1-a2n-1是等比数列答案:D解析:因为数列an与bn满足bn+1an+bnan+1=(-3)n+1,令n=1,得b2a1+b1a2=(-3)1+1=-2,又a1=2,b1=1,b2=2,所以a2=-6,令n=2,得b3a2+b2a3=(-3)2+1=10,又a2=-6,b3=1,b2=2,所以a3=8,所以a3-a1=6,故A错误;令n=3,得b4a3+b3a4=(-3)3+1=-26,又a3=8,b3=1,b4=2,所以a4=-42,所以a4-a2=-42+6=-36,故B错误;由已知得b
11、2n+1a2n+b2na2n+1=(-3)2n+1,b2n=2,b2n+1=1,所以a2n+2a2n+1=32n+1;b2na2n-1+b2n-1a2n=(-3)2n-1+1,b2n-1=1,b2n=2,所以2a2n-1+a2n=-32n-1+1,两式相减得a2n+1-a2n-1=32n+32n-12=69n-1,所以a2n+3-a2n+1a2n+1-a2n-1=9,所以a2n+1-a2n-1是以6为首项,9为公比的等比数列,故D正确;由a2n+1-a2n-1=69n-1得a2n-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+(a2n-1-a2n-3)=2+6(1+9+92+9n-2)=2+61-
12、9n-11-9=54+349n-1,由2a2n-1+a2n=254+349n-1+a2n=-32n-1+1,得a2n=-129n-32,所以a2n+2-a2n=-129n+1-32-129n-32=-49n,所以a2n+4-a2n+2-(a2n+2-a2n)=-49n+1+49n不是常数,所以a2n+2-a2n不是等差数列,故C错误.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021江苏镇江信息考试)各项均为正数的等比数列an,其公比q1,且a3a7=4,请写出一个符合条件的通项公式an=.答案:2n-4(答案不唯一)解析:因为a3a7=a52=4,an0,所以a5=2,又q1,
13、不妨令q=2,所以an=a1qn-1=a5qn-5=22n-5=2n-4.14.(2021广西桂林模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn+2an=n,则an=.答案:1-23n解析:当n=1时,a1+2a1=1,则a1=13,当n2时,Sn+2an=n,Sn-1+2an-1=n-1,两式相减得3an-2an-1=1,即an=23an-1+13,即an-1=23(an-1-1),所以数列an-1是首项为a1-1=-23,公比为23的等比数列,则an-1=-23n,所以an=1-23n.15.(2021浙江绍兴一模)九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大
14、鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.问何日相逢,各穿几何?”大意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍,小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.如果墙足够厚,Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和,则S3=.答案:354解析:由题意知,大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,2为公比的等比数列,所以大老鼠前n天打洞长度之和为1-2n1-2=2n-1,同理小老鼠前n天打洞长度之和为1-(12)n1-12=2-12n-1,所以Sn=2n-1+2-12n-1=2n-12n-1+1,所以S3=23-123-1+1=354.16.(2021四川达州二诊)数列an满足a1=1,a2
15、=3,an+2=3an+1-2an-3,若该数列中有且仅有三项满足an,则实数的取值范围是.答案:(1,3解析:由条件可知an+2-an+1=2(an+1-an)-3,设bn=an+1-an,则bn+1=2bn-3,即bn+1-3=2(bn-3),所以数列bn-3是公比为2的等比数列,首项b1-3=a2-a1-3=-1,即bn-3=(-1)2n-1,得bn=3-2n-1,所以an+1-an=3-2n-1.当n=1时,a2-a1=3-1=20,a2a1,当n=2时,a3-a2=3-2=10,a3a2,当n3时,an+1-an0,即an+1an,a1=1,a2=3,a3=3a2-2a1-3=4,a
16、4=3a3-2a2-3=3,a5=3a4-2a3-3=-2,若该数列中有且仅有三项满足an,则11的等比数列an和等差数列bn满足:a1=2,b1=1,a2=b4,且a2是b2和b8的等比中项.(1)求数列an与bn的通项公式;(2)记数列anbn的前n项和为Tn,若当nN+时,等式(-1)n-Tn0恒成立,求实数的取值范围.解:(1)设等差数列bn的公差为d,由题意得,b2b8=a22=b42,所以(1+3d)2=(1+d)(1+7d),整理可得d2-d=0,解得d=0或d=1.若d=0,则a2=b4=1,可得q=a2a1=12,不合乎题意;若d=1,则a2=b4=1+3d=4,可得q=a2a1=2,合乎题意.所以an=22n-1=2n,bn=1+(n-1)1=n.(2)由(1)得anbn=n2n,所以Tn=121+222+323+n2n,则2Tn=122+223+324+n2n+1,-得Tn=-21-22-23-2n+n2n+1=-2(1-2n)1-2+n2n+1=2+(n-1)2n+1.因为(-1)n-Tn0,即(-1)n0,故数列Tn为递增数列.当n为偶数时,Tn,所以(Tn)min=T2=10;当n为奇数时,-Tn,所以-2.综上可得(-2,10).
