1、单元质检卷三导数及其应用(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.(2021辽宁大连模拟)函数f(x)=ex-2x的图像在点(1,f(1)处的切线方程为()A.2x+y+e-4=0B.2x+y-e+4=0C.2x-y+e-4=0D.2x-y-e+4=0答案:C解析:f(x)=(x-1)ex+2x2,所以切线斜率为f(1)=2,又因为f(1)=e-2,所以切线方程为y-(e-2)=2(x-1),即2x-y+e-4=0.2.已知函数f(x)=sin x+acos x(a0)的最大值为5,则f34=()A.
2、-322B.223C.24D.-24答案:A解析:根据题意,f(x)=1+a2sin(x+)的最大值为5,即1+a2=5,由a0,可得a=2,故f(x)=sinx+2cosx,则f(x)=cosx-2sinx,所以f34=cos34-2sin34=-322.故选A.3.(2021湖北黄冈模拟)已知f(x)的导函数f(x)图像如图所示,那么f(x)的图像最有可能是图中的()答案:A解析:由给定的导函数图像知,当x0时,f(x)0,当-2x0,从而得f(x)有两个极值点,极小值点为-2,极大值点为0,且f(x)在(-,-2),(0,+)上是递减的,在(-2,0)内是递增的,只有选项A符合要求.4.
3、(2021江西宜春模拟)若函数f(x)在R上可导,且f(x)=x2+2f(2)x+m(mR),则()A.f(0)f(5)D.以上答案都不对答案:C解析:f(x)=x2+2f(2)x+m,f(x)=2x+2f(2),f(2)=22+2f(2),f(2)=-4,f(x)=x2-8x+m,图像为开口向上的抛物线,其对称轴方程为x=4,f(0)f(5).5.(2021浙江湖州模拟)“m0”是“函数f(x)=ln x-mx在(0,1上是递增的”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由f(x)=lnx-mx(x0),可得f(x)=1x-m,若f(x)=
4、lnx-mx在(0,1上是递增的,则f(x)0在(0,1恒成立,即m1x在(0,1恒成立,则m1,因为(-,0(-,1,则可得“m0”是“函数f(x)=lnx-mx在(0,1上是递增的”的充分不必要条件.6.已知点A(1,1)在曲线E:y=x2+kln x上,曲线E在A处的切线l与圆C:x2+y2-4y+3=0相切,则实数k=()A.-2B.-1C.1D.2答案:A解析:由y=2x+kx可得y|x=1=2+k,故切线l的方程为y-1=(2+k)(x-1),即(2+k)x-y-k-1=0.因为切线l与圆C相切,圆心C(0,2),圆C的半径为1,所以|-2-k-1|(2+k)2+(-1)2=1,解
5、得k=-2.故选A.7.(2021广东高州一中高三月考)已知函数f(x)=x3-3ln x-1,则()A.f(x)的极大值为0B.曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线为y轴所在的直线C.f(x)的最小值为0D.f(x)在定义域内单调答案:C解析:f(x)=x3-3lnx-1的定义域为(0,+),f(x)=3x2-3x=3x(x3-1),令f(x)=0,解得x=1,列表可知,x(0,1)1(1,+)f(x)-0+f(x)极小值所以f(x)的极小值,也是最小值为f(1)=0,无极大值,在定义域内不单调,故C正确,A,D错误;对于选项B,由f(1)=0及f(1)=0,所以y=f(x)在(1,f(
6、1)处的切线方程y-0=0(x-1),即y=0,为x轴所在的直线,故B错误.8.(2021广东汕头三模)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)-f(x)0,f(2 021)=e2 021,则不等式f1elnxex的解集为()A.(e2 021,+)B.(0,e2 021)C.(e2 021e,+)D.(0,e2 021e)答案:D解析:令t=1elnx,则x=eet,所以不等式f1elnxex等价转化为不等式f(t)eeet=et,即f(t)et0,所以g(t)为R上的增函数.又因为f(2021)=e2021,所以g(2021)=f(2021)e2021=1,所以g(t
7、)=f(t)et1=g(2021),解得t2021,即1elnx2021,所以0x0,则下列结论正确的是()A.2f63f3B.f63f3C.2f63f3答案:C解析:令g(x)=f(x)cosx,则g(x)=f(x)cosx+f(x)sinxcos2x,对于任意x0,2,都有g(x)=f(x)cosx+f(x)sinxcos2x0,所以函数g(x)在0,2内是递增的.因为643,所以g6g4g3,即f6cos6f4cos4f3cos3,所以f63f42f3,所以2f63f4,f63f3,f42f3.故选C.10.(2021贵州毕节三模)已知定义在a,b上的函数y=f(x)的导函数y=f(x)
8、的图像如图所示,给出下列命题:函数y=f(x)在区间x2,x4上是递减的;若x4mnfm+n2;函数y=f(x)在a,b上有3个极值点;若x2pqx3,则f(p)-f(q)f(p)-f(q)fm+n2,故正确;中,由图可知,在区间a,x3上,f(x)0,在区间x3,x5上,f(x)0,在区间x5,b上,f(x)0,所以y=f(x)有一个极大值点x3和一个极小值点x5,故错误;中,由图可知,在区间x2,x3上,f(x)0,且f(x)是递减的,故y=f(x)是递增的,故f(p)f(q),f(p)f(q),故f(p)-f(q)f(p)-f(q)0,即正确.综上,真命题的序号是.11.已知函数f(x)
9、=-lnx,01,若0ab且满足f(a)=f(b),则af(b)+bf(a)的取值范围是()A.1,1e+1B.-,1e+1C.1,1e+1D.0,1e+1答案:C解析:根据题意,当01时,f(x)=1x是递减的,且f(x)(0,1),由0ab且f(a)=f(b)可知,1ea1b,f(a)=-lna,f(b)=1b,-lna=1b,所以blna=-1,af(b)+bf(a)=ab-blna=ab+1=-alna+1,设g(x)=xlnx1ex1,g(x)=lnx+1,1ex0,g(x)是递增的,所以-1eg(x)0,即-1ealna0,所以1-alna+11e+1.故选C.12.(2021全国
10、乙,文10)设a0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则()A.abC.aba2答案:D解析:因为f(x)=a(x-a)2(x-b),所以f(x)=2a(x-a)(x-b)+a(x-a)2=a(x-a)(2x-2b)+(x-a)=a(x-a)3x-(a+2b)=3a(x-a)x-a+2b3.由f(x)=0,解得x=a或x=a+2b3,若a0,则由x=a为函数f(x)的极大值点,可得a+2b3a,化简得ba.此时在区间-,a+2b3和(a,+)上,f(x)0,函数f(x)是递增的.此时a(a-b)0,即a20,则由x=a为函数的极大值点可得aa+2b3,化简得a0,函数
11、f(x)是递增的;在区间a,a+2b3内,f(x)0,函数f(x)是递减的.此时a(a-b)0,即a2ab.综上可得a20,可得x+10,令g(x)=ex-1x,定义域为(0,+),可得g(x)=ex+1x20,所以g(x)在(0,+)上是递增的,因为g12=e-20,所以存在x012,1,使得g(x0)=0,即ex0=1x0,即x0+lnx0=0,当x(0,x0)时,f(x)0,所以f(x)在区间(0,x0)内是递减的,在(x0,+)上是递增的,所以f(x)min=f(x0)=x0ex0-lnx0-x0-a=1-a,要使得f(x)存在零点,只需f(x)min0,即1-a0,解得a1.即实数a
12、的取值范围为1,+).15.已知函数f(x)=ex-mx,且当1x1x2时,f(x1)x2f(x2)x1,则实数m的取值范围为.答案:(-,e解析:根据题意,x1f(x1)1),则函数g(x)=xf(x)在(1,+)上是递增的,则g(x)=(x+1)ex-2mx0在(1,+)上恒成立,即(x+1)exx2m在(1,+)上恒成立,令h(x)=(x+1)exx(x1),则h(x)=x(x+2)ex-(x+1)exx2=(x2+x-1)exx20在(1,+)上显然恒成立,所以h(x)=(x+1)exx在(1,+)上是递增的,则h(x)minh(1)=2e,因此只需2e2m,解得me,即实数m的取值范
13、围为(-,e.16.如图,一边长为10 cm的正方形铁皮,铁皮的四角截去四个边长均为x cm的小正方形,然后做成一个无盖方盒.则方盒的容积V的最大值为cm3.答案:200027解析:长方体底面正方形的边长为(10-2x)cm,其中0x5,所以V=(10-2x)2x=4x(x-5)2,所以V=4(x-5)2+8x(x-5)=4(x-5)(3x-5),当0x0,此时函数V=4x(x-5)2是递增的,当53x5时,V0.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若y=f(x)的图像与x轴没有公共点,求a的取值范围.解:(1)f(x)=a2x2+ax-3lnx+1,x(0,+),f(x)=2a2x+a-3x=
14、2a2x2+ax-3x=(ax-1)(2ax+3)x.a0,x0,2ax+3x0,当x0,1a时,f(x)0,函数f(x)在0,1a内是递减的,在1a,+上是递增的.(2)y=f(x)的图像与x轴没有公共点,函数f(x)在(0,+)上没有零点,由(1)可得函数f(x)在0,1a内是递减的,在1a,+上是递增的,f1a=3-3ln1a=3+3lna0,lna-1,a1e,即实数a的取值范围是1e,+.18.(14分)(2021四川绵阳中学高三模拟)已知函数f(x)=lnxx+1,g(x)=2x+1-ax,曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在x=1处的切线互相平行.(1)求a的值;(2)求证:f(
15、x)g(x)在(0,+)上恒成立.(1)解因为f(x)=lnxx+1,g(x)=2x+1-ax,所以f(x)=x+1x-lnx(x+1)2,g(x)=-2(x+1)2+ax2,由题意得f(1)=g(1),所以12=a-12,解得a=1.(2)证明由(1)知,f(x)=lnxx+1,g(x)=2x+1-1x,f(x)-g(x)=lnxx+1-2x+1+1x=xlnx-x+1x(x+1),令h(x)=xlnx-x+1,x0,则h(x)=lnx,当x(1,+)时,h(x)0,h(x)是递增的,当x(0,1)时,h(x)0,h(x)是递减的,故当x=1时,h(x)取得最小值h(1)=0,所以h(x)0
16、,故f(x)-g(x)0,所以f(x)g(x).19.(14分)(2021四川成都高三月考)已知函数f(x)=ln x-a(x-1)x+1(aR).(1)若函数f(x)在定义域内是递增的,求实数a的取值范围;(2)求证:4ln2+8ln3+12ln4+4nln(n+1)0时,由基本不等式可得x+1x+22x1x+2=4,当且仅当x=1时,等号成立,所以2a4,解得a2.故a的取值范围为(-,2.(2)证明由(1)可知,当a=2时,函数f(x)在(0,+)上是递增的,且当x1时,f(x)f(1)=ln1-2(1-1)1+1=0,则lnx2(x-1)x+1,所以2(x+1)4(x-1)lnx,所以
17、当n2且nN+时,4(n-1)lnn2(n+1),所以41ln223,42ln324,43ln425,4nln(n+1)2(n+2),将上述不等式相加可得,4ln2+8ln3+12ln4+4nln(n+1)23+4+5+(n+2)=2n(3+n+2)2=n(n+5),即4ln2+8ln3+12ln4+4nln(n+1)0),且f(1)=0,若a0,当0x0,即函数f(x)在(0,1)内是递增的,当x1时,f(x)0,函数f(x)在(1,+)上是递减的;当0a1时,令f(x)=0,解得x=1,x=a,当ax0,函数f(x)是递增的,当x1或0xa时,f(x)1时,当1x0,函数f(x)是递增的,
18、当xa或0x1时,f(x)0,函数f(x)是递减的,f(x)在(1,a)内是递增的,在(0,1),(a,+)是递减的.(2)g(x)=e2f(x)-2a2=0,即方程f(x)=2a2e2有且仅有3个不同的实根,y=f(x)与y=2a2e2的图像有三个交点,由(1)知,必有0a1.当0aa2a2e2,y=f(x)与y=2a2e2的图像至多有1个交点,所以不合题意;当a1时,f(x)在(1,a)内是递增的,在(0,1),(a,+)上是递减的,f(x)的极小值为f(1)=2,极大值为f(a)=aln2a+2a(1-lna),只有当22a2e2a(ln2a+2-2lna)成立,y=f(x)与y=2a2
19、e2的图像才有三个交点,当2e,下面只需要求解不等式2a2e2a(ln2a+2-2lna),即2ae20,则2ae2ln2a+2-2lna等价于2et-2t2+2-2t,设h(t)=t2+2-2t-2et-2,则h(t)=2t-2-2et-2,令u(t)=2t-2-2et-2,则u(t)=2-2et-2,令u(t)=0,则t=2,且当t0,函数u(t)是递增的,当t2时,u(t)0,函数u(t)是递减的,又u(2)=0,所以u(t)0,即h(t)单调递减,又h(2)=0,当0t0,即0lna2,得到1a0,b=-a-1时,讨论函数f(x)的单调性;(2)若b=-1,且f(x)有两个极值点x1,
20、x2,证明:f(x1)+f(x2)-ln22-34.(1)解f(x)的定义域为(0,+),当a0,b=-a-1时,f(x)=x-a-1+ax=x2-(a+1)x+ax=(x-a)(x-1)x(x0),令f(x)=0,得x=a或x=1,当a1时,函数f(x)在(0,1)内是递增的,在(1,a)内是递减的,在(a,+)上是递增的;当a=1时,f(x)=(x-1)2x0,故函数f(x)在(0,+)上是递增的;当0a0),因为函数f(x)有两个极值点x1,x2,所以方程x2-x+a=0有两个不相等的正实根x1,x2,所以x1+x2=1,x1x2=a0,且=1-4a0,解得0a14,由题意得f(x1)+f(x2)=12x12-x1+alnx1+12x22-x2+alnx2=12(x12+x22)-(x1+x2)+aln(x1x2)=12(x1+x2)2-x1x2-(x1+x2)+aln(x1x2)=12-a-1+alna=alna-a-12,令h(a)=alna-a-120a14,则h(a)=lnah14=-ln22-34,所以f(x1)+f(x2)-ln22-34.
