1、7.5基本不等式的综合应用题型一基本不等式与其他知识交汇的最值问题例1(1)(2022成都模拟)已知直线axby10(a0，b0)与圆x2y24相切，则log2alog2b的最大值为()A3 B2 C2 D3答案D解析因为直线axby10(a0，b0)与圆x2y24相切，所以2，即a2b2，因为a2b22ab，所以ab(当且仅当ab时，等号成立)，所以log2alog2blog2(ab)log23，所以log2alog2b的最大值为3.(2)(2022合肥质检)若ABC的内角满足sin Bsin C2sin A，则()AA的最大值为BA的最大值为CA的最小值为DA的最小值为答案A解析sin B
2、sin C2sin A.bc2a.由余弦定理知cos A，当且仅当bc时取等号又A(0，)，0b0)的两焦点分别为F1，F2.若椭圆上有一点P，使PF1PF2，则的取值范围是()A. B.C. D.答案B解析设|PF1|m，|PF2|n，则mn2a，m2n24c2，2mn4a24c24b2，又2mn22，即4b222，2b2a2，00，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则的最小值等于()A2 B. C. D1答案B解析函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，f(x)12x22ax2b，则f(1)122a2b0，即ab6，又a0，b0.(ab)2，当且仅当2ab4时
3、，等号成立此时满足在x1处有极值的最小值等于.(2)已知数列an是等比数列，若a2a5a88，则a99a1的最大值为_答案12解析a2a5a88，a8，a52，a10，a90，a0)在x3时取得最小值，则a等于()A6 B8 C16 D36答案D解析因为f(x)4x(x0，a0)，故4x24，当且仅当4x，即x时取等号，故3，a36.(2)设0t0，所以(2t12t)22428，当且仅当时取“”，即t时取得最小值，所以k22k8，所以(k2)(k4)0，解得4k2，即k4,2【备选】(2022沙坪坝模拟)已知函数f(x)2x33x(xR)，若不等式f(2mmt2)f(4t)0对任意实数t1恒成
4、立，则实数m的取值范围为()A(，)(，)B.C(，)D(2，)答案C解析f(x)的定义域为R，且f(x)2x33xf(x)，f(x)是奇函数，且f(x)在R上单调递增，则不等式f(2mmt2)f(4t)0等价于f(2mmt2)f(4t)f(4t)，2mmt24t，即m对t1恒成立，当且仅当t，即t时等号成立，m0时，x2，2.题型三 基本不等式的实际应用例3小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其
5、销售价格为(25x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润累计收入销售收入总支出)解(1)设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y25x6xx(x1)50x220x50(00，可得105x10.因为21053，所以大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出(2)因为利润累计收入销售收入总支出，所以二手车出售后，小王的年平均利润为191929，当且仅当x，即x5时，等号成立，所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利
6、润最大【备选】某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是_ cm2.答案72 600解析设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，由题意可得3ab60 000，所以ab20 000，即b，所以该海报的高为(a20)cm，宽为(3b10252)cm，即(3b30)cm，所以整个矩形海报面积S(a20)(3b3
7、0)3ab30a60b60030(a2b)60 6003060 60030260 6003040060 60072 600，当且仅当a，即a200时等号成立，所以当广告栏目的高为200 cm，宽为100 cm时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72 600 cm2.思维升华利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值跟踪训练3网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售
8、模式根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x3.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是_万元答案37.5解析由题意知t1(1x0，因为y3x22，所以l斜率的最小值为2.2(2021新高考全国)已知F1，F2是椭圆C：1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|MF2|的最大值为()A13 B12 C9 D6答案C解析由椭圆C：1，得|MF1|MF2|236，则|MF1|MF2|2329，当且仅当|MF1|M
9、F2|3时等号成立3(2022北京人大附中模拟)数列an是等差数列 ，bn是各项均为正数的等比数列，公比q1，且a5b5，则()Aa3a7b4b6 Ba3a7b4b6Ca3a71，所以a3a7，方案二：两次加油平均价格为0，y0)，若mn，则xy的最大值为_答案解析因为向量m(x,2)，n，且mn，所以3x20，即3x2y1.因为x0，y0，所以13x2y2，即xy，当且仅当3x2y，即x，y时取等号10在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和若一个直
10、角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为_答案55解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a，b，则a2b225.因为(ab)2252ab252，所以(ab)250，所以5ab5，当且仅当ab时，等号成立故这个直角三角形周长的最大值为55.11已知圆C1：x2y24ax4a240和圆C2：x2y22byb210只有一条公切线，若a，bR且ab0，则的最小值为_答案9解析因为圆C1：x2y24ax4a240和圆C2：x2y22byb210只有一条公切线，所以两圆相内切，其中C1(2a,0)，r12；C2(0，b)，r21，故|C1C2|，由题设可知214a2b21，所以(4a2b2)
11、5259，当且仅当b22a2时等号成立12(2022北京朝阳区模拟)李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m(单位：万件)与广告费用x(单位：万元)符合函数模型m3.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入_万元答案3解析设李明获得的利润为f(x)万元，则x0，则f(x)8mx8x24x2525225817，当且仅当x1，因为x0，即当x3时，等号成立13(2022柳州模拟)已知ABC中，a2b2c2abc2，则ABC一定是()A等边三角形 B钝角三角形C直角三角形 D等腰三角形答案A解析由a2b2c2ab，则c
12、os C，又因为0C180，所以C60，因为a2b2c22abc2，当且仅当ab时取等号，即ab2abc2，解得abc2，又因为abc2，所以abc2，且ab时取等号，因为C60，所以ABC一定是等边三角形14(2022武汉模拟)已知平面向量，为三个单位向量，且，120，若xy(x，yR)，则xy的取值范围为_答案2,2解析由xy，两边同时平方得2(xy)2，即2x22y222xy，平面向量，为三个单位向量，且，120，x2y2xy1，(xy)213xy132，即(xy)24，即2xy2.15(2022大庆模拟)设函数f(x)|lg x|，若存在实数0aNQ BMQNCNQM DNMQ答案B解
13、析f(a)f(b)，|lg a|lg b|，lg alg b0，即ab1，2，Nlog22，Mlog22，又Qln2，MQN.16(2022高邮模拟)在锐角ABC中，a2b2bc，则2sin A的取值范围为_答案解析a2b2bc，利用余弦定理可得，b2c22bccos Ab2bc，即c22bccos Abc，c2bcos Ab.由正弦定理可得，sin C2sin Bcos Asin B，sin(AB)2sin Bcos Asin B，即sin Acos Bsin Bcos Asin B，即sin(AB)sin B.又ABC为锐角三角形，ABB，即A2B，B，A.2sin A2sin A2sin A2sin A.又A，sin A1，令tsin A，则f(t)2t.由对勾函数性质知，f(t)2t在t上单调递增，又f2，f(1)213，2sin A.
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