1、13.2参数方程【考试要求】1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程【知识梳理】1参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程(2)一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么此方程就叫做这条曲线的参数方程2常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan (xx0)(t为参数)圆x2y2r2(为参数)椭圆1(ab0)(为参数)抛物线y22px(p0
2、)(t为参数)【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数()(2)方程(为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆()(3)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t，点O为原点，则直线OM的斜率为.()(4)参数方程(为参数且)表示的曲线为椭圆()【教材题改编】1将参数方程(为参数)化为普通方程为()Ayx2 Byx2Cyx2(2x3) Dyx2(0y1)答案C解析代入法，将方程化为yx2，但x2,3，y0,12曲线(为参数)的对称中心()A在直线y2x上 B在直线y2x上C在直线yx1上 D在直线yx1上答案B解析
3、由得所以(x1)2(y2)21.曲线是以(1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心坐标为(1,2)，在直线y2x上3已知直线l的参数方程是(t为参数)，若l与圆x2y24x30交于A，B两点，且|AB|，则直线l的斜率为_答案解析由(t为参数)，得yxtan ，设ktan ，得直线的方程为ykx，由x2y24x30，得(x2)2y21，圆心坐标为(2,0)，半径为1，圆心到直线ykx的距离为，得k.题型一参数方程与普通方程的互化例1(2021全国乙卷)在直角坐标系xOy中，C的圆心为C(2,1)，半径为1.(1)写出C的一个参数方程；(2)过点F(4,1)作C的两条切线，以坐标原点为极点，x
4、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程解(1)因为C的圆心为(2,1)，半径为1，所以C的参数方程为(为参数)(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x4，此时圆心到直线距离为2r，舍去；当直线斜率存在时，设切线为yk(x4)1，即kxy4k10，故1，即|2k|，4k21k2，解得k.故直线方程为y(x4)1或y(x4)1.故两条切线的极坐标方程为sin cos 1或sin cos 1.即sin2或sin2.【备选】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos .(1)求曲线C的
5、直角坐标方程及直线l的普通方程；(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值解(1)曲线C的直角坐标方程为x2y24x，即(x2)2y24.直线l的普通方程为xy20.(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，得(2x2)2y24，即(x1)21，再将所得曲线向左平移1个单位长度，得曲线C1：x21，则曲线C1的参数方程为(为参数)设曲线C1上任一点P(cos ，2sin )，则点P到直线l的距离d，其中满足sin ，cos ，由三角函数知，当sin()1时，d取最小值，所以点P到直线l的距离的最小
6、值为.思维升华消去方程中的参数一般有三种方法(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数(2)利用三角恒等式消去参数(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数跟踪训练1已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围解(1)直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，解得2a2.即实数a的取值范围为2，2 题型二参数方程的应用例2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直
7、线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率解(1)由曲线C的参数方程(为参数)，得所以221，即1，所以曲线C的直角坐标方程为1.当cos 0时，l的直角坐标方程为ytan x2tan ，当cos 0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直线l的斜率ktan 2.【备选】(202
8、2安阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l过点M(1,0)且倾斜角为.(1)求出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求cos 的值解(1)曲线C的参数方程(为参数)，转换为普通方程为y21；直线l过点M(1,0)且倾斜角为，则参数方程为(t为参数)(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入y21.得到(1sin2)t22tcos 10，所以t1t2，t1t2(t1和t2分别为A和B对应的参数)，t1t20，则t1，t2异号，|MA|MB|t1|t2|t1t2|，由，整理得|t1t2|t1t2|，解得cos .思维升华(1)
9、解决直线与曲线的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与曲线的位置关系来解决(2)对于形如(t为参数)，当a2b21时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22sin22，直线l与曲线C交于A，B两点(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点P的极坐标为，求|PA|PB|的值解(1)l的普通方程为xy10.22sin22，x2y2y22，即曲线C的直角坐标方程为y21.(2)方法一P在直线l上，直线l的参数方程为(t为
10、参数)，代入曲线C的直角坐标方程得22220，即t2t0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|PA|PB|t1|t2|t1t2|.方法二由消去y，得3x24x0，解得x10，x2.不妨设A(0,1)，B，又P，则|PA|，|PB|，|PA|PB|.题型三极坐标方程和参数方程的综合应用例3(2021全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos .(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足，写出P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点解(1)由2cos ，得2
11、2cos ，即x2y22x，整理得(x)2y22.(2)设P的坐标为(x，y)，则(x1，y)，因为，所以，所以M，因为M为C上的动点，所以222，化简得(x3)2y24，即P点的轨迹C1的方程为(x3)2y24，化成参数方程为(t为参数)，圆心C1(3，0)，r12，C(，0)，r，因为|3|2，所以C与C1没有公共点【教师备选】(2022郑州模拟)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos，曲线C的极坐标方程为24.(1)写出直线l和曲线C的直角坐标方程；(2)已知点A(1,0)，若直线l与曲线C交于P，Q两点，PQ的中点为M，求的
12、值解(1)因为直线l：cos，故cos sin 10，即直线l的直角坐标方程为xy10，因为曲线C：24，则曲线C的直角坐标方程为x24y24，即y21.(2)点A(1,0)在直线l上，设直线l的参数方程为(t为参数)，代入曲线C的直角坐标方程得5t22t60.设P，Q对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，t1t2，所以M对应的参数t0，故8.思维升华参数方程和极坐标的综合应用涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程跟踪训练3(2022石嘴山模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)
13、，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A为曲线C1上的动点，点B在线段OA的延长线上且满足|OA|OB|8，点B的轨迹为C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)设点M的极坐标为，求ABM面积的最小值解(1)由曲线C1的参数方程(为参数)，消去参数，可得普通方程为(x1)2y21，即x2y22x0，又由xcos ，ysin ，代入可得曲线C1的极坐标方程为2cos ，设点B的极坐标为(，)，点A点的极坐标为(0，0)，则|OB|，|OA|0，02cos 0，0，因为|OA|OB|8，所以08，即2cos ，即cos 4，所以曲线C2的极坐标方程为cos 4.(2)由题意，
14、可得|OM|2，则SABMSOBMSOAM|OM|xBxA|2|42cos2|42cos2|，即SABM42cos2，当cos21时，可得SABM的最小值为2.课时精练1(2020全国)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且t1)，C与坐标轴交于A，B两点(1)求|AB|；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程解(1)令x0，则t2t20，解得t2或t1(舍去)，则y26412，即A(0,12)令y0，则t23t20，解得t2或t1(舍去)，则x2244，即B(4,0)|AB|4.(2)由(1)可知kAB3，则直线AB的方程为y3(x4)，即
15、3xy120.由xcos ，ysin 可得，直线AB的极坐标方程为3cos sin 120.2已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为(t为参数，0，)，曲线C的极坐标方程为4sin .(1)写出曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于P，Q两点，若|PQ|，求直线l的斜率解(1)4sin ，24sin ，由2x2y2，sin y，得x2y24y.曲线C的直角坐标方程为x2(y2)24.(2)把代入x2y24y，整理得t22tsin 30，设P，Q两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t22sin ，t1t23，|PQ|t1t2|，得sin
16、，或，直线l的斜率为.3(2022曲靖模拟)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为C，半径r.(1)求圆C的极坐标方程；(2)已知过点P(0,1)且倾斜角为的直线l交圆C于A，B两点，且|PA|PB|，求角.解(1)圆心C的直角坐标为C(1,1)，圆C的半径r，则圆C的直角坐标方程为(x1)2(y1)23.将公式代入(x1)2(y1)23中，整理得圆C的极坐标方程为22cos 2sin 10.(2)过点P(0,1)且倾斜角为的直线l的参数方程为(t是参数)，代入圆C的直角坐标方程(x1)2(y1)23中整理得t22tcos 20.设交点A，
17、B对应的参数分别为t1，t2，由根与系数的关系得t1t22cos ，t1t220，则|PA|PB|t1|t2|t1t2|，平方得(t1t2)24t1t211，则4cos2811，所以cos (0)，或.4(2022宝鸡模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(R，为参数)(1)求曲线C1的普通方程并说明曲线C1的形状；(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin0，求曲线C1的对称中心到曲线C2的距离的最大值解(1)由曲线C1的方程(R，为参数)可知，(R，为参数)，消去参数得曲线C1的普通方程为(x4cos )2(y3sin )21，曲线C1是以C1
18、为圆心，1为半径的圆(2)将曲线C2的极坐标方程sin0，即sin cos 0，化为直角坐标方程为xy0.曲线C1的对称中心即为圆心C1(4cos ，3sin )，曲线C1的对称中心到曲线C2的距离d，其中满足sin ，cos ，1sin()1，曲线C1的对称中心到曲线C2的距离的最大值为.5(2022萍乡模拟)在平面直角坐标系中，P为曲线C1：(为参数)上的动点，将P点的横坐标变为原来的一半(纵坐标不变)得Q点，记Q点的轨迹为C2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线C2的极坐标方程；(2)A，B是曲线C2上异于极点的两点，且AOB，求|OA|OB|的取值范围解(1)曲线C1：化为普通方程为y21，设P点坐标为(x，y)，Q点坐标为(x，y)，则有y21，x，yy，消去x，y有(x1)2y21，即x2y22x，此式即为C2的普通方程曲线C2的极坐标方程为2cos .(2)设A(1，)，B，|OA|OB|122cos 2cossin cos 2sin，|OA|OB|的取值范围是2,1)
