1、5.4平面向量中的综合问题题型一平面向量在几何中的应用例1(1)在ABC中，AC9，A60，D点满足2，AD，则BC的长为()A3 B3C3 D6答案A解析因为2，所以()，设ABx，则2，得37x2x9cos 6092，即2x29x1260，因为x0，故解得x6，即AB6，所以BC3.(2)已知平行四边形ABCD，证明：AC2BD22(AB2AD2)证明取，为基底，设a，b，则ab，ab，2(ab)2a22abb2，2(ab)2a22abb2，上面两式相加，得222(a2b2)，AC2BD22(AB2AD2)思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题
2、跟踪训练1(1)在四边形ABCD中，ADBC，AB2，AD5，A30，点E在线段CB的延长线上，且AEBE，则_.答案1解析方法一在等腰ABE中，易得BAEABE30，故BE2，则()()252cos 3052cos 1801222cos 15015101261.方法二在ABD中，由余弦定理可得BD，所以cosABD，则sin ABD.设与的夹角为，则cos cos(180ABD30)cos(ABD30)cosABDcos 30sinABDsin 30，在ABE中，易得AEBE2，故21.(2)在四边形ABCD中，(6,8)，且，则下列结论不成立的是()A四边形ABCD为菱形BBAD120C|
3、10D|10答案C解析(6,8)，则四边形ABCD为平行四边形，设m，n，p都是单位向量，mnp，则(mn)2p2，m22mnn2p2，12mn11，则mncosm，n，所以m，n120，因此由知BAD120，且AC是BAD的角平分线，因此四边形ABCD是菱形，而|10，所以|10，|10.题型二和向量有关的最值(范围)问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题例2(2022兰州模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若xy(x0，y0)，则的最大值为()A. B.C1 D2答案A解析设BD，AE交于O，因为DEAB，所以AOBEOD，所以2，
4、所以AO2OE，则，所以xyxy，因为O，F，B三点共线，所以xy1，即23x2y，所以，因为x0，y0，所以4y24，当且仅当4y，即y时等号成立，此时x，所以.命题点2与数量积有关的最值(范围)问题例3(2020新高考全国)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是()A(2,6) B(6,2)C(2,4) D(4,6)答案A解析如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，F(1，)设P(x，y)，则(x，y)，(2,0)，且1x3.所以(x，y)(2,0)2x(2,6)高考改编已知P是边长为2的正方形ABCD
5、内的一点，则 的取值范围是_答案(0,4)解析如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，设P(x，y)，则(x，y)，(2,0)，且0x2.所以(x，y)(2,0)2x(0,4)命题点3与模有关的最值(范围)问题例4已知向量a(cos ，sin )，b(，1)，则|2ab|的最大值为_答案4解析方法一由题意得|a|1，|b|2，absin cos 2sin，所以|2ab|24|a|2|b|24ab412228sin88sin.所以|2ab|2的最大值为88(1)16，故|2ab|的最大值为4.方法二因为a(cos ，sin )，b(，1)，所以2
6、ab(2cos ，2sin 1)，所以|2ab|.故|2ab|的最大值为4.方法三由题意得|2ab|2|a|b|2124，当且仅当向量a，b方向相反时不等式取等号，故|2ab|的最大值为4.思维升华向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围)(2)利用基本不等式求最值(范围)(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值跟踪训练2(1)(2022苏州模拟)已知ABC为等边三角形，AB2，ABC所在平面内的点P满足|1，则|的最小值为()A.1 B21 C21 D.1答案C解析因为|2222|2|22|cos12，所以|2，由平面向量模的三
7、角不等式可得|()()|21.当且仅当与方向相反时，等号成立因此|的最小值为21.(2)(2022广东实验中学模拟)如图，在ABC中，点E在线段AD上移动(不含端点)，若，则_，22的最小值是_答案2解析因为在ABC中，所以2.由向量定比分点公式得，即.因为点E在线段AD上移动(不含端点)，所以设x(0x1)所以，对比，可得，.得2；代入，可得2222(0x0，n0)，则的最小值为()A10 B9 C8 D4答案C解析因为A，B，C三点共线(该直线不过原点O)，且m2n(m0，n0)，所以m2n1，所以(m2n)4428，当且仅当，即m，n时等号成立7(2022中央民族大学附属中学模拟)已知圆
8、C的方程为(x1)2(y1)22，点P在直线yx3上，线段AB为圆C的直径，则|的最小值为()A. B3 C4 D3答案B解析因为C为AB的中点，所以2，从而|2|2|，可知|的最小值为点C到直线yx3的距离，d，所以|min23.8(2022上海模拟)已知在边长为1的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的动点，点Q在以D为圆心、以1为半径的圆上运动，则的取值范围为()A0,2 B1，2C0，1 D1，1答案D解析如图分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，设P(t，t)，Q(cos ，1sin )，(t，t)，(cos ，1sin )，t0,1，0,2)，tcos ttsi
9、n t，1，1，的取值范围为1，19(2022潍坊模拟)已知正方形ABCD的边长为1，a，b，c，则|abc|_.答案2解析由题意可得，|是正方形的对角线长，故|，又，所以|abc|2|2.10已知点P在圆x2y21上，点A的坐标为(2,0)，O为原点，则的最大值为_答案6解析方法一根据题意作出图象，如图所示，A(2,0)，P(x，y)(2,0)，(x2，y)，所以2(x2)2x4.点P在圆x2y21上，所以x1,1所以的最大值为246.方法二如图所示，因为点P在圆x2y21上，所以可设P(cos ，sin )(02)，所以(2,0)，(cos 2，sin )，2cos 4246，当且仅当co
10、s 1，即0，P(1,0)时等号成立11(2022赣州模拟)已知在面积为的ABC中，sin2Csin2Asin2Bsin Asin B，3，P为AD上一点，且满足m，则|的最小值为_答案1解析在ABC中，设角A，B，C所对的边的长为a，b，c，因为sin2Csin2Asin2Bsin Asin B，所以由正弦定理得c2a2b2ab，则cos C，所以C60，因为A，P，D三点共线，所以(1)，即(1)，所以，即，而SABCabsin Cab4，所以|1，当且仅当a3b时等号成立12. 如图，在矩形ABCD中，AB2，AD1，P是矩形ABCD内的动点，且点P到点A的距离为1，则的最小值为_答案22解析如图，以A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(0,1)，C(2,1)，设P(cos ，sin )，(2cos ，1sin )，(cos ，1sin )，2cos cos212sin sin222(sin cos )22sin，当sin1，即时，取最小值，最小值为22.
