1、温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。考点6 导数、定积分 1.（2010 海南高考理科T3）曲线在点处的切线方程为（ ）（A） （B） （C） （D）【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.【规范解答】选A.因为 ，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A.2.（2010山东高考文科8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）(A)
2、13万件 (B) 11万件(C) 9万件 (D) 7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力.【思路点拨】利用导数求函数的最值.【规范解答】选C.,令得或（舍去），当时；当时，故当时函数有极大值，也是最大值，故选C.3.（2010山东高考理科7）由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为（ ）（A）(B) (C) (D) 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】先求出曲线y=,y=的交点坐标，再利用定积分求面积.【规范解答】选A.由题意得: 曲线
3、y=,y=的交点坐标为(0,0)，(1,1)，故所求封闭图形的面积为,故选A.4.（2010辽宁高考理科10）已知点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）(A)0,) (B) (C) (D) 【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率.【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求的范围.【规范解答】选D.，5.（2010湖南高考理科4）等于（ ）(A) (B) (C) (D)【命题立意】考查积分的概念和基本运算.【思路点拨】记住的原函数.【规范解答】选D .=(lnx+c) =(ln4+c)-(ln2+
4、c)=ln2.【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.6.（2010江苏高考8）函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,，若a1=16，则a1+a3+a5的值是_.【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容.【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由，即可求得切线与x轴交点的横坐标.【规范解答】由y=x2(x0)得，所以函数y=x2(x0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以.【答案】217.（2010江苏高考4）将边长为1m正三
5、角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记,则S的最小值是_ _.【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想.【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为，然后用分别表示梯形的周长和面积，从而将S用x表示出来，利用函数的观点解决.【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为，则：方法一：利用导数的方法求最小值.，当时，递减；当时，递增；故当时，S取最小值是.方法二：利用函数的方法求最小值令，则：故当时，S取最小值是.【答案】【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的综合解答题中考查.高中阶段，常见的求函数的最
6、值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法.8.（2010陕西高考理科3）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为 .【命题立意】本题考查积分、几何概型概率的简单运算，属送分题.【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可求解.【规范解答】阴影部分的面积为所以点M取自阴影部分的概率为.【答案】9（2010 海南高考理科T13）设y=f(x)为区间0,1上的连续函数，且恒有0f(x) 1,可以用随机模拟方法近似计算积分,先产生两组（每组N个）区间0,1上的均匀随机数,和,由此得到N个点（i=1,2,N）,再数出其中满足（i=1,2,N）的点数
7、，那么由随机模拟方法可得积分的近似值为 .【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式.【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解.【规范解答】由题意可知，所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形，而满足的点落在y=f(x)、以及、围成的区域内，由几何概型的计算公式可知的近似值为.【答案】10.（2010北京高考理科8）已知函数()=ln(1+)-+， (0).(1)当=2时，求曲线=()在点(1，(1)处的切线方程；(2)求()的单调区间.【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间.解决本题时一个易错点是忽视定义域.【思路
8、点拨】（1）求出，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（2）由讨论的正负，从而确定单调区间.【规范解答】（1）当时， 由于， 所以曲线在点处的切线方程为 , 即 .（2），.当时，.所以，在区间上，；在区间上，.故的单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得，所以，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.当时，故的单调递增区间是.当时，得，.所以在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是【方法技巧】（1）过的切线方程为.（2）求单调区间时要在定义域内讨论的正负.11.（2010安徽高考文科20）设函数，求函数的单调区间与极值.【命题立意】本题主要考查导数
9、的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力.【思路点拨】对函数求导，分析导数的符号情况，从而确定的单调区间和极值.【规范解答】, +-0+极大值极小值,.【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法，简单易行，具体操作流程如下：（1）求导数；（2）求方程的全部实根；（3）列表，检查在方程的根左、右的值的符号；（4）判断单调区间和极值.12.（2010北京高考文科8） 设函数，且方程的两个根分别为1，4.（1）当a=3且曲线过原点时，求的解析式；（2）若在无极值点，求a的取值范围.【命题立意】本题考查了导
10、数的求法，函数的极值，二次函数等知识.【思路点拨】(1)由的两个根及过原点，可解出；（2）是开口向上的二次函数，无极值点，则恒成立.【规范解答】由 得 ,因为的两个根分别为1,4，所以（*）（1）当时，（*）式为解得,又因为曲线过原点，所以,故.（2）由于a0,所以在（-，+）内无极值点等价于在（-，+）内恒成立.由（*）式得.又,解 得即的取值范围为【方法技巧】（1）当在的左侧为正，右侧为负时，为极大值点；当在的左侧为负，右侧为正时，为极小值点.（2）二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决. （0）恒大于0，则；（0）恒小于0，则；13.（2010安徽高考理科17）设为实数，函数.
11、(1)求的单调区间与极值；(2)求证：当且时，.【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明不等式，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力.【思路点拨】(1)先分析的导数的符号情况，从而确定的单调区间和极值；(2) 设，把问题转化为：求证：当且时，.【规范解答】（1），,令，得，极小值在上单调递减，在上单调递增；当时，取得极小值为.（2）设，,由（1）问可知，恒成立，当时，则0恒成立，所以在上单调递增，所以当时，即当且时，.【方法技巧】1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法，简单易行；2、证明不等式问题，如证，通常令，转
12、化为证明：.14.（2010天津高考文科20）已知函数f（x）=，其中a0. （1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（2）若在区间上，f（x）0恒成立，求a的取值范围.【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值.【规范解答】（1）当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f(x)=, f(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（2）f(x)=.令f(x)=0，解得x=0或x
13、=.以下分两种情况讨论：（1） 若，当x变化时，f(x)，f（x）的变化情况如下表：x0f(x)+0-f(x)极大值 当等价于 解不等式组得-5a2，则.当x变化时，f(x),f（x）的变化情况如下表：x0f(x)+0-0+f(x)极大值极小值当时，f（x）0等价于即解不等式组得或.因此2a5. 综合（1）和（2），可知a的取值范围为0a0，此时，函数单调递减；当时，0，此时，函数单调递增.（2） 当时，由，即 ，解得. 当时， ， 恒成立，此时，函数在（0，+）上单调递减; 当时， ，时，,此时,函数单调递减，时，0,此时,函数单调递增，时，此时，函数单调递减， 当时，由于,时，,此时,函数
14、单调递减，时，0时，令,解得=,所以当0 时，在上递增.所以x=是在（0， + ）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.当a0时，在（0，+）递增，无最小值.故（3）由（2）知由由所以所以又所以当时，17.（2010陕西高考理科2）已知函数 （1）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；（2）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；（3）对（2）中的和任意的，证明：【命题立意】本题将导数、不等式知识有机地结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值问题，考查了分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解
15、决问题的能力.【思路点拨】曲线与在交点处有相同的切线交点坐标的值及该切线的方程；由利用导数法求的最小值的解析式利用基本不等式证明（3）.【规范解答】（1） 两条曲线交点的坐标为（e2,e），切线的斜率为所以切线的方程为（2）由已知条件知当0时，令,解得=,所以当0 时，在上递增.所以x=是在（0， + ）上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.当a0时，在（0，+）递增，无最小值.故（3）由（2）知综上可得：【方法技巧】不等式的证明方法1证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、结论的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法
16、中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点2在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析法综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的18.（2010湖南高考理科4）已知函数对任意的，恒有.（1）证明：当时，；（2）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值.【命题立意】以二次函数为载体，考查导数，不等式的证
17、明，消元等知识.考查了等价转化的思想.【思路点拨】（1）在对任意的，恒有下可以得到b,c的关系，目标是证明当时，其实是寻找条件和目标的关系，连接的纽带是b和c的关系.（2）恒成立，转化为求函数的最值，而且是二元函数的最值的求法，没有等式的条件下常常用整体消元.【规范解答】（1）易知f(x)=2x+b.由题设，对任意的x恒成立，所以(b-2)2-4(c-b)0,从而c于是c1，且c|b|,因此2c-b=c+(c-b)0.故当x0时，有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)0.即当x0时，.(2)由（1）知，c|b|时，有M当c=|b|时，由（1）知，b=2,c=2.此时f(c)-f
18、(b)=-8或0，c2-b2=0,从而f(c)-f(b)0，M无最小值.综上所述，M的最小值为.【方法技巧】求最值是高考中重点也是难点.解题的思路是，首先看变量的个数，如果是三个变量常有三条路，一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式，二是消元转化为二元再转化为一元，三是有时利用几何背景解题.如果是两个变量常常有三条路可走，一是利用柯西不等式、均值不等式，二是消元转化为一元函数，三是如果条件是不等式，常常也可以用数学规划.如果是一个变量，常用方法：基本函数模型，单调性法和导数法.19.（2010辽宁高考文科21）已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. (1)讨论函数f(x)的单调性
19、；(2)设a-2，证明：对任意x1,x2(0,+)，|f(x1)-f(x2)|4|x1-x2|.【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算推理能力.【思路点拨】（1）求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性， （2）转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,通过g(x)的单调性证明.【规范解答】【方法技巧】1.讨论函数的单调性要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏.2、直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题.20.（2010辽宁高考理科21）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设.如果对
20、任意，求的取值范围.【命题立意】本题考查了函数的单调性与导数，求参数的取值范围，考查了分类讨论、转化等思想方法以及运算能力.【思路点拨】（1）求导数，对参数分类，讨论导数的符号，判断单调性， （2）转化为等价命题，构造新函数g(x)=f(x)+4x,分离参数，求a的范围.【规范解答】【方法技巧】1、 讨论函数的单调性首先要明确函数的定义域，一般用导数的方法，对参数分类做到不重不漏.2、 求参数的取值范围往往要分离变量，分离时一定要使分离后的式子有意义，如分母不为0等.3、 直接证明一个命题，不好证时可考虑证明它的等价命题.21.（2010天津高考理科2）已知函数.（1）求函数的单调区间和极值；
21、（2）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，.（3）如果，且，证明.【命题立意】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力.【思路点拨】利用导数及函数的性质解题.【规范解答】（1）f，令f(x)=0,解得x=1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x()1()f(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数.函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=.（2）由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x),令F(x)=f(x)-g(x),即,于是,当x1时，2x
22、-20,从而(x)0,从而函数F（x）在1,+)是增函数.又F(1)=F(x)F(1)=0,即f(x)g(x).(3)若若根据得由（2）可知，,又=，所以,从而.因为，所以，又由（1）可知函数f(x)在区间（-，1）内是增函数，所以,即2.22.（2010江苏高考20）设是定义在区间上的函数，其导函数为.如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质.(1)设函数，其中为实数.(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间.(2)已知函数具有性质，给定设为实数，且，若|1时，所以此时在区间上递增；当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而 当时，故此时在区间上递减；同
23、理得：在区间上递增.综上所述，当时，在区间上递增； 当时，在上递减；在上递增.（方法二）当时，对于， 所以，故此时在区间上递增；当时，图像开口向上，对称轴，方程的两根为：，而, 当时，故此时在区间上递减；同理得：在区间上递增.综上所述，当时，在区间上递增； 当时，在上递减；在上递增.(2)（方法一）由题意，得：又对任意的都有0，所以对任意的都有，在上递增.又.当时，且，若，（不合题意）.综合以上讨论，得所求的取值范围是（0，1）.（方法二）由题设知，的导函数，其中函数对于任意的都成立.所以，当时，从而在区间上单调递增.当时，有，得，同理可得，所以由的单调性知、，从而有|，符合题设.当时，于是由
24、及的单调性知，所以|，与题设不符.当时，同理可得，进而得|，与题设不符.因此综合、得所求的的取值范围是（0，1）23.（2010浙江高考文科21）已知函数（-b）b).（1）当a=1，b=2时，求曲线在点（2，）处的切线方程.（2）设是的两个极值点，是的一个零点，且，证明：存在实数，使得 按某种顺序排列后得等差数列，并求【命题立意】本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导数应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识.【思路点拨】（1）先求出再代入点斜式方程；（2）先找到，观察它们之间的关系，从而确定在等差数列中的位置.【规范解答】(1)当a=1,b=2时，
25、,因为(x)=(x-1)(3x-5)，故 (2)=1，f(2)=0,所以f(x)在点（2,0）处的切线方程为y=x-2.（2）因为（x）3（xa）（x），由于ab.故a.所以f（x）的两个极值点为xa,x.不妨设x1a，x2，因为x3x1，x3x2，且x3是f（x）的零点，故x3b.又因为a2（b），所以成等差数列.所以4（a），所以存在实数x4满足题意，且x4.【方法技巧】（1）函数在处的切线方程为；（2）在函数的极值点处.24.（2010广东高考文科21）已知曲线，点是曲线上的点.（1）试写出曲线在点处的切线的方程，并求出与轴的交点的坐标；（2）若原点到的距离与线段的长度之比取得最大值，试
26、求点的坐标；（3）设与为两个给定的不同的正整数，与是满足（2）中条件的点的坐标，证明：.【命题立意】本题为一道综合题，主要考查解析几何、导数、不等式等的综合应用.【思路点拨】(1)利用导数求解；（2）利用不等式的性质求解；（3）用数学归纳法证明.【规范解答】（1） ， ， 切线的方程为：， 即：，令，得 ， .（2）设原点到的距离为，则 ， ,所以 ，当且仅当即时，等号成立，此时， 所以， .（3）要证成立，下面用数学归纳法证明成立.当时，左边=1，右边，不等式成立.假设时，不等式成立，即成立,当时， ， ,当时，有成立，综上，成立，又 、，且 ,所以，原不等式成立.25.（2010浙江高考理
27、科22）已知是给定的实常数，设函数，是的一个极大值点(1)求的取值范围；(2)设是的3个极值点，问是否存在实数，可找到，使得的某种排列(其中=)依次成等差数列?若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由【命题立意】本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识.【思路点拨】（1）利用函数取得极大值的条件，求的范围；（2）可先求出，利用等差数列的相关知识来求.由于的排列有多种情况，因此要注意讨论.【规范解答】（1）f(x)=ex(x-a) 令于是，假设当x1=a 或x2=a时，则x=a不是f(x)的极值点，此时不合
28、题意.当x1a且x2a时，由于x=a是f(x)的极大值点，故x1ax2.即，即所以，所以的取值范围是.（2）由（1）可知，假设存在及满足题意，解方程得，.当时，则或，于是，即.此时或-.当或时，(i)若，则，于是，即，于是或（舍）.此时.若，则，于是（舍）或.此时，综上所述，存在b满足题意，当b=-a-3时， ；当时，；当时，.【方法技巧】1、函数在处取得极大值的条件是，在的左侧，在的右侧；2、由于本题的的3个极值点间存在关系x1ax2，所以可能有四种情况：或或或.讨论时要做到不重不漏.26.（2010福建高考文科22）已知函数f（x）=的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2.
29、(1)求实数a,b的值；(2)设g（x）=f(x)+是上的增函数.求实数m的最大值；当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.【命题立意】本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、分类与整合的思想.【思路点拨】第一步利用切线方程列出两个方程求解a,b的值；第二步（1）利用导数的符号与单调性的关系，把单调性问题转化为恒成立问题进而转化为求最值的问题进行解决；（2）利用函数图像的中心对称，得两个封闭图形
30、的面积总是相等的.【规范解答】(1)由，及题设得 （2）由得，是上的增函数，在上恒成立，设，即不等式在上恒成立.当时，不等式在上恒成立；当时，不等式，因为，所以函数在上单调递增；因此，又，故，综上所述，m的最大值为3；由得，其图像关于点成中心对称.证明如下：，因此，上式表明，若点为函数的图像上的任意一点，则点也一定在函数的图像上，而线段的中点恒为，由此即知函数的图像关于点成中心对称.这也表明，存在点，使得过点的直线若能与函数的图像围成两个封闭的图形，则这两个封闭的图形的面积总相等.【方法技巧】函数导数的内容在历年高考中主要集中在切线方程、导数的计算，利用函数判断函数单调性、极值、最值等问题，以
31、及与不等式、三角函数、数列、立体几何、解析几何等知识相联系的综合题目，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用.27.（2010山东高考理科22）已知函数.(1)当时，讨论的单调性；（2）设当时，若对任意，存在，使，求实数的取值范围.【命题立意】本题将导数、二次函数、不等式知识有机地结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】（1）直接利用函数单调性
32、与导数的关系讨论函数的单调性,同时应注意分类标准的选择；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间1,2上的最大值，然后解不等式求参数.【规范解答】（1）因为， 所以， 令，. 当时， 所以当，函数单调递减； 当时，此时，函数单调递增. 当时，由， 即 ，解得 ,时，此时，函数单调递减；时，此时，函数单调递增；时，此时，函数单调递减.(iii)当时，由于, 时，此时，函数单调递减；时，此时，函数单调递增 综上所述： 当时，函数在（0,1）上单调递减； 函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在（0,1）上单调递减； 函数在上单调递增； 函数在上单调递减
33、.（2）因为，由（1）知，当时， 函数单调递减；当时，函数单调递增，所以在 （0 , 2）上的最小值为， 由于“对任意，存在，使”等价于 “在上的最小值不大于在（0 ，2）上的最小值” 【方法技巧】1、分类讨论的原因(1)某些概念、性质、法则、公式分类定义或分类给出；(2)数的运算：如除法运算中除式不为零，在实数集内偶次方根的被开方数为非负数，对数中真数与底数的要求，不等式两边同乘以一个正数还是负数等；(3)含参数的函数、方程、不等式等问题，由参数值的不同而导致结果发生改变；(4)在研究几何问题时，由于图形的变化(图形位置不确定或形状不确定)，引起问题的结果有多种可能.2、分类讨论的原则(1)
34、要有明确的分类标准；(2)对讨论对象分类时要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行.3、分类讨论的一般步骤(1)明确讨论对象，确定对象的范围；(2)确定统一的分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；(3)逐段逐类讨论，获得阶段性结果；(4)归纳总结，得出结论.28.（2010 海南高考理科T21）设函数=.（1)若,求的单调区间;（2）若当时，求的取值范围.【命题立意】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值问题，【思路点拨】利用导数求出函数的单调区间，然后再利用单调性求参数的取值.【规范解答】（1) 时，.当时，；当时，故的单增区间为，单减区间为.（2）.由（1)知，当且仅当
35、时等号成立，故，从而当，即时，而，于是，当时.由可得，从而，当时，故当时，而，所以当时，综上可知，实数的取值范围为.【方法技巧】利用导数求出函数的单调区间，再利用函数的单调性，列出参数需满足的不等式（组）进行相关的计算.29.（2010福建高考理科20）(1)已知函数f(x)=x3-x，其图像记为曲线C. 求函数f(x)的单调区间； 证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f(x1）)处的切线交于另一点P2（x2,f(x2)）.曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3 （x3,f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则为定值.（2）对
36、于一般的三次函数g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，请给出类似于(1) 的正确命题，并予以证明.【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想.【思路点拨】第一步（1）利用导数求解函数的单调区间，（2）利用导数求解切线的斜率，写出切线方程，并利用定积分求解及其比值；第二步利用合情推理的方法对问题进行推广得到相关命题，并利用平移的方法进行证明.【规范解答】（1) ，令得到，令得，因此原函数的单调递增区间为）和(；单调递减区间为；，因此过点的切线方程为：，即，由得，所以或，故，进
37、而有，用代替，重复上面的计算，可得和，又，因此有.（2）命题:若对于任意函数的图像为曲线，其类似于(1) 的命题为：若对任意不等于的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另外一点，线段、与曲线所围成图形的面积为，则.证明:对于曲线，无论如何平移，其要求面积值是恒定的，所以这里仅考虑的情形，因此过点的切线方程为：化简：得到所以同样运用(1)中的方法便可以得到， 所以.【方法技巧】函数、导数的内容在历届高考中主要考查切线方程、导数的计算，利用导数判断函数单调性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立体几何、解不等式等知识联系，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用. 关闭Word文档返回原板块。
