1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。62.2向量的减法运算以前台胞春节期间来大陆探亲，需乘飞机从台北到香港，再从香港到上海，现在探亲，可直接乘飞机从台北到上海若台北到香港的位移用向量a表示，香港到上海的位移用向量b表示，上海到台北的位移用向量c表示【问题1】向量a、b、c有何关系？【问题2】现在探亲的位移是什么？1相反向量互为相反向量的两个向量一定是共线向量吗？提示：互为相反向量的两个向量一定是共线向量2向量的减法(1)定义：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即aba求两个向量差的运算叫做向量的减法(
2、2)几何意义作法已知向量a，b，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，即ab可以表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量图示准确理解向量减法的几何意义(1)向量减法是向量加法的逆运算设xba，则xab，如图，设a，b.由向量加法的三角形法则可知，所以ab.(2)对于两个共起点的向量，它们的差就是连接这两个向量的终点，方向指向被减的向量已知a，b是不共线的向量，如何在同一个平行四边形中作出ab和ab?提示：如图所示，作平行四边形OACB，设a，b，根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有ab，ab.1.方向相反的向量就是相反向量吗？2在代数运算中的移项法则，在向量中是否仍然成立？3
3、若|a|b|，则ab或ab，这种说法对吗？4根据相反向量的定义知，成立吗？提示：1.不一定.2.成立.3.不对.4.成立对于教材第13页练习3变式：作图验证：(ab)ab.提示：已知向量a，b，如图所示：如图(1)，作a，b，则ab，所以，即为所求如图(2)，作a，b，则ab，即为所求结合图形已知，所以ab.1化简的结果等于()A B C D【解析】选B.原式()()0.2已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且a，b，则_，_(用a，b表示)【解析】如图，ba，ab.答案：baab基础类型一向量减法的几何意义(直观想象)1如图，在ABC中，D为BC的中点，则下列结论错误的是()A BC0
4、D2如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量abc.【解析】1.选C.，是相反向量，它们的和是零向量，但0.2方法一：如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，则abc.方法二：如图所示，在平面内任取一点O，作a，b，则ab，再作c，连接OC，则abc.在本例2的条件下，作出向量：abc.【解析】如图所示：作两个向量的差的两种方法(1)用向量减法的三角形法则步骤口诀：共起点，连终点，指向被减(2)用向量减法的定义根据aba转化为向量加法运算，再作图微提醒：要熟悉常见平面图形的几何性质，能够从向量的角度，运用向量语言进行表示【结论通通用】|ab|与|a|，|b|的关系(1)当a，b
5、不共线时，如图，作a，b，则ab.于是|ab|(2)当a，b共线且同向时，若|a|b|，则ab与a，b同向(如图)，于是|ab|a|b|.若|a|b|，则ab与a，b反向(如图)，于是|ab|b|a|.(3)当a，b共线且反向时，ab与a同向，与b反向于是|ab|a|b|(如图).可见，对任意两个向量，总有向量不等式成立：|a|b|ab|a|b|.【典例】已知|6，|9，求|的取值范围【解析】因为|，且|9，|6，所以3|15.当与同向时，|3；当与反向时，|15.所以|的取值范围为3，15.基础类型二向量的加减法运算(数学运算)【典例】化简：()()；化简：()().【解析】方法一：原式()
6、().方法二：原式()()0.方法一：原式()()0.方法二：原式()()()()()0000.向量减法运算的常用方法微提醒：做题时要注意观察是否有下列两种形式：(1)首尾相接且为和；(2)起点相同且为差同时，要注意逆向应用，统一向量起点方法的应用1下列四式中不能化简为的是()A()B()()CD【解析】选D.A中，() ；B中，()()；C中，；D中，显然不能化简为.2化简：(1)；(2)()()；(3)()().【解析】(1).(2)()()()()0.(3)()()()()0.【加固训练】 化简：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【解析】(1)0；(2)0；(3)；(4)0
7、；(5)；(6)方法一：0.方法二：0.综合类型向量加减法运算的综合应用(数学运算、逻辑推理)利用已知向量表示未知向量【典例】如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且a，b，c，试用向量a，b，c表示向量，.【解析】由平行四边形的性质可知c，由向量的减法可知：ba，由向量的加法可知bac.本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？【解析】如图，因为四边形ACDE是平行四边形，所以c，ba，bac.用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间
8、的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则例如，在四边形ABCD中，0.【加固训练】 如图，在ABC中，D，E分别为边AC，BC上的任意一点，O为AE，BD的交点，已知a，b，c，e，用a，b，c，e表示向量.【解析】在OBE中，有ec，在ABO中，eca，在ABD中，ab，所以在OAD中，ecaabecb.向量加减法与平面几何知识的综合应用【典例】已知O为四边形ABCD所在平面内的一点，且向量，满足，则四边形ABCD的形状为_【解析】因为，所以，.所以|，且DAC
9、B，所以四边形ABCD是平行四边形答案：平行四边形1用向量法解决平面几何问题的步骤(1)将平面几何问题中的量抽象成向量(2)化归为向量问题，进行向量运算(3)将向量问题还原为平面几何问题2用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键(1)利用向量证明线段平行且相等从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键微提醒：对于平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用【加固训练】 若O是ABC所在平面内一点，且满足|，试判断ABC的形状【解析】因为，所以|，以AB，AC为邻边的平行四
10、边形对角线相等，所以以AB，AC为邻边的平行四边形为矩形，所以BAC90，得ABC的形状是直角三角形创新拓展向量与平面几何知识的综合问题(逻辑推理)【典例】如图，O为ABC的外心，H为垂心求证：.【证明】作直径BD，连接DA，DC，有，DAAB，DCBC，AHBC，CHAB，故CHDA，AHDC.得四边形AHCD是平行四边形，进而.又，得.平行四边形中有关向量的结论平行四边形中有关向量的以下结论，在解题中可以直接使用：(1)对角线的平方和等于四边的平方和，即|ab|22(|a|2|b|2).(2)若|ab|ab|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形创新思维向量加减法中的探索问题(直观想象)【典
11、例】如图，在ABCD中，a，b.(1)当a，b满足什么条件时，ab与ab所在的直线互相垂直？(2)ab与ab有可能为相等向量吗？为什么？【解析】(1)ab，ab.若ab与ab所在的直线互相垂直，即ACBD.因为当|a|b|时，平行四边形ABCD为菱形，此时ACBD，故当a，b满足|a|b|时，ab与ab所在的直线互相垂直(2)不可能因为ABCD的两对角线不可能平行，所以ab与ab不可能为共线向量，更不可能为相等向量【思维难点】灵活应用向量ab，ab的几何意义【加固训练】已知A，B，C为三个不共线的点，P为ABC所在平面内一点，若，则下列结论正确的是()A点P在ABC内部B点P在ABC外部C点P
12、在直线AB上 D点P在直线AC上【解析】选D.因为，所以，所以，即.故点P在边AC所在的直线上1若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A BC D【解析】选B.由向量减法的三角形法则可知.2如图，在四边形ABCD中，设a，b，c，则等于()Aabc Bb(ac)Cabc Dbac【解析】选A.()acb.3若a，b为相反向量，且|a|1，|b|1，则|ab|_，|ab|_【解析】因为a，b为相反向量，所以ab0，即|ab|0，又ab，所以|ab|2a|2.答案：024化简：(1)_；(2)_【解析】(1)方法一：原式.方法二：原式().(2)()()0.答案：(1)(2)05如图所示，(1)用a，b表示；(2)用b，c表示.【解析】由题意知a，b，c.(1)ab.(2)()bc.关闭Word文档返回原板块
