1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。101.3古 典 概 型据西墅记所载，唐明皇与杨贵妃掷骰子戏娱，唐明皇的战况不佳，只有让六颗骰子中的两颗骰子同时出现“四”才能转败为胜于是唐明皇一面举骰投掷，一面连呼“重四”骰子停定，正好重四唐明皇大悦，命令高力士将骰子的四点涂为红色红色通常是不能乱用的，因此直到今天，骰子的一、四两面为红色，其余四面都是黑色【问题1】若同时掷两颗骰子，朝上的点数有多少种不同的结果？【问题2】上述试验中所有不同的样本点有何特点？【问题3】你能算出唐明皇转败为胜的概率是多少吗？1概率对随机事
2、件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示2古典概型古典概型的特征及概率公式古典概型具有以下特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型特征样本空间的样本点只有有限个；每个样本点发生的可能性相等概率公式若试验E是古典概型，样本空间包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则事件A的概率：P(A)其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数古典概型的理解与求法1本质：古典概型概率公式实质上就是事件包含的样本点在样本空间中包含的样本点中所占的比例大小2混淆：一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限
3、性和等可能性并不是所有的试验都是古典概型下列三类试验都不是古典概型：(1)样本点个数有限，但非等可能(2)样本点个数无限，但等可能(3)样本点个数无限，也不等可能3求解古典概型问题的一般思路(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；(2)根据实际问题情景判断样本点的等可能性；(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率(1)若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？提示：不一定是，还要看每个样本点发生的可能性是否相同，若相同才是，否则不是(2)“在区间2，
4、8上任取一个数，这个数恰好大于3的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？提示：不是，因为在区间2，8上任取一个数，其试验结果有无限个，故其样本点有无限个，所以不是古典概型1.古典概型的有限性是指样本空间为有限样本空间吗？2古典概型中任何两个样本点都是互斥的吗？3任何事件发生的可能性都相同吗？4样本点的总数为n，随机事件A包含m个样本点，则P(A)吗？提示：1.是；2.是；3.不是；4.不是教材P234思考(2)，若事件C“有两次正面朝上”，则事件C发生的概率是多少？提示：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0
5、，1，1)，(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)，共8个样本点，C事件包含(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)3个样本点，故P(C).1袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，下列不是样本点的是()A正好2个红球 B正好2个黑球C正好2个白球 D至少一个红球【解析】选D.至少一个红球包含：一红一白或一红一黑或2个红球，所以至少一个红球不是样本点2老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做发言，甲被选中的概率为_【解析】从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)，(甲、丙)，(乙、丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P.答案
6、：基础类型一古典概型的判断(数学抽象)1.下列概率模型属于古典概型的是()A某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，10环B某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲C一只使用中的灯泡的寿命长短D中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”【解析】选B.A不属于，原因是命中0环，1环，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；B属于，显然满足有限性和等可能性；C不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；D不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性2下列试验不是古典概型的是()A从6名同学中
7、选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小B同时掷两颗骰子，点数和为6的概率C近三天中有一天降雨的概率D10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率【解析】选C.A，B，D是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点C不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响3袋中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出一个球(1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型？(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，有多少个样本点？以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型？【解析】(1)因为样本点个数有限，而且每个样本点发生的可能性相同，所以是古典概型
8、(2)把球的颜色作为划分样本点的依据，可得到“取得一个白色球”“取得一个红色球”“取得一个黄色球”，共3个样本点这些样本点个数有限，但“取得一个白色球”的概率与“取得一个红色球”或“取得一个黄色球”的概率不相等，即不满足等可能性，故不是古典概型判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性基础类型二样本点的计数问题(数学抽象)【典例】(1)先后抛掷3枚均匀的壹角、伍角、壹元硬币，则试验的样本点的总数为_(2)袋中有2个标号分别为1，2的白球和2个标号分别为3，4的黑球这4个球除颜色、标号外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出1个球，则前2个人摸到颜色不同的球的样本点的个数为_【解
9、析】(1)因为抛掷壹角、伍角、壹元硬币时，各自都会出现正面和反面2种情况，所以一共可能出现的结果有8种可列表为：硬币种类试验结果(共8种)壹角正正正正反反反反伍角正反正反正反正反壹元正反反正正反反正所以试验样本点总数为8.答案：8(2)4个人按顺序依次从袋中摸出1个球的所有可能结果用树状图表示如图所示：共24个样本点前2个人摸到颜色不同的球共包含16个样本点答案：16样本点的三种列举方法(1)列举法：适用于较简单的试验问题；(2)列表法：适用于较简单的试验问题；(3)树状图法：适用于较复杂的试验问题某小说有三册，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册的样本点有_
10、个()A1 B2 C3 D4【解析】选B.所有样本点为(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1).其中从左到右或从右到左恰好为第1，2，3册包含2个样本点，即(1，2，3)，(3，2，1).【加固训练】 一个口袋内装有大小相同的5个球，其中2个白球，3个黑球，写出按下列要求的随机事件的样本点的数量. (1)一次摸两个，摸出的全是黑球； (2)先摸一个不放回，再摸一个，摸出的全是黑球【解析】2个白球分别记为A，B，3个黑球分别记为a，b，c.(1)列举法：样本空间：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c
11、)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10个样本点；摸出的全是黑球的样本点：(a，b)，(a，c)，(b，c)共3个(2)树状图法：样本空间：(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，A)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，A)，(a，B)，(a，b)，(a，c)，(b，A)，(b，B)，(b，a)，(b，c)，(c，A)，(c，B)，(c，a)，(c，b)，共20个样本点；摸出的全是黑球的样本点： (a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，c)，(c，a)，(c，b)共6个综合类型古典概型的概率计算(数学建模、数学运算)简单的古典概型问题【典例】(2020全国卷)设O
12、为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()ABCD【解析】选A.如图，从O，A，B，C，D 5个点中任取3个点有O，A，B，O，A，C，O，A，D，O，B，C，O，B，D，O，C，D，A，B，C，A，B，D，A，C，D，B，C，D共10种不同取法，3点共线只有O，A，C与O，B，D共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为.本例若在O，A，B，C，D中任取2点，则取到的2点连线不经过点O的概率为_【解析】从O，A，B，C，D 5个点中任取2个点有O，A，O，B，O，C，O，D，A，B，A，C，A，D，B，C，B，D，C，D共10种不同
13、取法，2点连线不经过O点的有A，B，A，D，B，C，C，D共4种情况， 由古典概型的概率计算公式知， 取到的2点连线不经过点O的概率为.答案：求解古典概型的概率“四步”法【加固训练】五位数abcde10 000a1 000b100c10de，当五位数abcde满足abde时，称这个五位数为“凸数”由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数共120个，从中任意抽取一个，则其恰好为“凸数”的概率为()A B C D【解析】选D.由题意，由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数恰好为“凸数”的有：12543，13542，14532，23541，24531，34521，共6个样本点，所以恰好
14、为“凸数”的概率为P.“放回”与“不放回”问题【典例】一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm2的概率【思路导引】要区分两种取球方法的不同点【解析】(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2，1和3，共2个，因此所求事件的概率为P.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回
15、后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个又满足条件nm2的有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共13个所以，满足条件nm2的事件的概率为P1.解决放回与不放回问题应注意两点(1)关于不放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是没有顺序的，元素是不能重
16、复的(2)关于有放回抽样，计算基本事件个数时，可以看作是有顺序的，元素可以重复【加固训练】袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球(1)若从中任意摸出2个球，求恰有一个黑球和一个红球的概率；(2)若从中任取一个球给小朋友甲，然后再从中任取一个球给小朋友乙，求甲、乙两位小朋友拿到的球中至少有一个黑球的概率【解析】(1)从5个小球中任取2个，所有可能的结果为a，b，a，c，a，d，a，e，b，c，b，d，b，e，c，d，c，e，d，e，共10个，其中恰有一个黑球和一个红球的情形有a，c，a，d，a，e，b，c，b，d，b，e，共6个，所以恰有一个黑球和一个红
17、球的概率为P.(2)从5个小球中任取2个，一个给甲，一个给乙的所有可能的结果为(括号内第一个给甲，第二个给乙)(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(c，d)，(c，e)，(d，a)，(d，b)，(d，c)，(d，e)，(e，a)，(e，b)，(e，c)，(e，d)，共20个，其中至少有一个黑球的有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，a)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，a)，(c，b)，(d，a)，(d，b)，(e，a)，(e，b)，共14个，所以至少有一个黑球的概率为P.创新思维巧
18、转化，妙解题(逻辑推理)【典例】甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，求甲站在乙左边的概率【解析】(方法一：利用普通思路)利用树状图列举样本点，如图所示：由树状图可知，共有24个样本点设事件A“甲站在乙的左边”，则A事件包含的样本点为：(甲乙丙丁)，(甲乙丁丙)，(甲丙乙丁)，(甲丙丁乙)，(甲丁乙丙)，(甲丁丙乙)，(丙甲乙丁)，(丙甲丁乙)，(丙丁甲乙)，(丁甲乙丙)，(丁甲丙乙)，(丁丙甲乙)，共12个，所以甲站在乙左边的概率P.(方法二：巧妙转化)因为要计算“甲站在乙左边的概率”，所以可以只考虑甲、乙两个人排队所有样本点为(甲乙)，(乙甲)，共2个，事件“甲站在乙的左边”包含1个样
19、本点，即(甲乙)，所以甲站在乙左边的概率P.由于试验结果具有对称性，可巧妙转化，从而简化解答【加固训练】鞋柜里有爸爸、妈妈和小明的三双鞋，小明随手拿出了四只，则拿出的鞋子恰好有爸爸的一双的概率是_【解析】爸爸的鞋子记为A1，A2，妈妈的鞋子记为B1，B2，小明的鞋子记为C1，C2，考虑到取出4只鞋子列举起来麻烦，可以列举留在鞋柜里的两只鞋子，事件“拿出的4只鞋子恰好有爸爸的一双”等价于“剩下的2只鞋子没有爸爸的”，样本空间(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，C1)
20、，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)，共15个样本点，事件“剩下的2只鞋子没有爸爸的”包含(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)6个样本点，故P.答案：1下列关于古典概型的说法中正确的是()样本空间的样本点只有有限个；每个事件出现的可能性相等；每个样本点发生的可能性相等；样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A).A B C D【解析】选B.根据古典概型的特征与公式进行判断，正确，不正确2甲、乙、丙三个人站成一排，甲站在中间的概率是()A B C D【解析】选C.样本空间为(甲，乙，丙)，(甲，丙
21、，乙)，(乙，丙，甲)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共6个样本点，甲站在中间的事件有2个，故P(甲).3投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次向上的点数小于第二次向上的点数，则我们称其为正试验；若第二次向上的点数小于第一次向上的点数，则我们称其为负试验；若两次，向上的点数相等，则我们称其为无效试验则一个人投掷该骰子两次出现无效试验的概率是()A B C D【解析】选C.连续抛一枚骰子两次，向上的点数记为(x，y)，则有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3
22、，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共有36个基本事件，设“出现无效试验”为事件A，则事件A包含(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，共6个基本事件，则P(A).44张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有基本事件数为_【解析】用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4种可能答案：45从a，b，c，d四名学生中任选两名去参加不同的活动，则选到学生a的概率为_【解析】所有样本点有(a，b)，(b，a)，(a，c)，(c，a)，(a，d)，(d，a), (b，c)，(c，b)，(b，d)，(d，b), (c，d), (d，c)，共12个，其中含有字母a的样本点有(a，b)，(b，a)，(a，c)，(c，a)，(a，d)，(d，a)，共6个，所以所求事件的概率是P.答案：关闭Word文档返回原板块
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