1、2015-2016学年新疆兵团农二师华山中学高二（上）期末数学试卷（理科）一.选择题（每小题5分，共60分）1设x，yR，则“x2且y2”是“x2+y24”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（）ABCD3直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+1相切于点（2，3），则b的值为（）A3B9C15D74圆M的圆心在直线y=2x上，经过点A（2，1），且与直线 x+y=1相切，则圆M的方程为（）A2=2B2=2C2=2D2=25若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）ABC
2、D6（理）若向量=（1，1，x），=（1，2，1），=（1，1，1），满足条件（）（2）=2，则x=（）AB2CD27若f（x）=cosx，则f（）=（）A1BC0D18在长为6cm的线段上任取一点P，使点P到线段两段点的距离都大于2cm的概率是（）ABCD9命题“x0R，x3x2+10”的否定是（）AxR，x3x2+10Bx0R，x3x2+10Cx0R，x3x2+10D不存在xR，x3x2+1010直线AB过抛物线y2=x的焦点F，与抛物线相交于A、B两点，且|AB|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A1BCD211如果直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于相异两点A、B，O是坐标原
3、点，那么实数m的取值范围是（）ABCD（2016安庆模拟）已知双曲线=1（a0，b0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，当+ln|k1|+ln|k2|最小时，双曲线离心率为（）ABC +1D2二填空题：（每小题5分，共20分）13已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是14圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为15已知点A（2，3），B（3，2），直线l过点P（1，1）且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为16若双曲线的焦点到渐近线的距离为，则实数k的值是三、解答题：（
4、共70分要写出必要的解题步骤或证明过程）17已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m2）x+10的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围18第8届中学生模拟联合国大会将在本校举行，为了搞好接待工作，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：若男生身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”，女生身高在170cm以上（包括170cm）定义为“高个子”，在170cm以下（不包括170cm）定义为“非高个子”（1）如果用分层抽样的
5、方法从“高个子”和“非高个子”中抽取6人，则应分别抽取“高个子”、“非高个子”各几人？（2）从（1）中抽出的6人中选2人担任领座员，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？19已知椭圆C： =1（ab0）的一个焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为45的直线l过点F（1）求该椭圆的方程；（2）若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且M点恰为弦AB的中点，求直线l的方程20如图，四面体ABCD中，O、E分别 BD、BC的中点，AB=AD=，CA=CB=CD=BD=2（1）求证：AO平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值大小；（3）求点E到平面AC
6、D的距离21已知函数f（x）=x3x2+bx+c（1）若f（x）在（，+）是增函数，求b的取值范围；（2）若b=2且x1，2时，f（x）c2恒成立，求c的取值范围22如图，已知抛物线C：y2=4x，为其准线，过其对称轴上一点P（2，0）作直线l与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，连结OA、OB并延长AO、BO分别交l于点M、N（1）求的值；（2）记点Q是点P关于原点的对称点，设P分有向线段所成的比为，且（+），求+的值2015-2016学年新疆兵团农二师华山中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共60分）1设x，yR，则“x2且y2”是“x
7、2+y24”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】由“x2且y2”推出“x2+y24”可证明充分性；由满足“x2+y24”可举出反例推翻“x2且y2”，则证明不必要性，综合可得答案【解答】解：若x2且y2，则x24，y24，所以x2+y28，即x2+y24；若x2+y24，则如（2，2）满足条件，但不满足x2且y2所以“x2且y2”是“x2+y24”的充分而不必要条件故选A【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义2抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面朝上的概率是（）ABCD【分析】简化模型，只考虑第999次出
8、现的结果，有两种结果，第999次出现正面朝上只有一种结果，即可求【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第999次，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每中结果等可能出现，故所求概率为故选D【点评】本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=3直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+1相切于点（2，3），则b的值为（）A3B9C15D7【分析】先根据曲线y=x3+ax+1过点（2，3）求出a的值，然后求出x=2处的导数求出k的值，根据切线过点（2，3）求出b即可【解答】解：y=x3+ax+1过
9、点（2，3），a=3，y=3x23，k=y|x=2=343=9，b=ykx=392=15，故选C【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知识，考查运算求解能力，属于基础题4圆M的圆心在直线y=2x上，经过点A（2，1），且与直线 x+y=1相切，则圆M的方程为（）A2=2B2=2C2=2D2=2【分析】根据圆心在一条直线上，设出圆心的坐标，根据圆心的坐标看出只有A，C两个选项符合题意，根据圆过一个点，把这个点代入圆的方程，A不合题意，得到结果【解答】解：圆M的圆心在直线y=2x上，圆心的坐标设成（a，2a）在所给的四个选项中只有A，C符合题意，经过点A（2，1
10、），把（2，1）代入圆的方程方程能够成立，代入A中，32+322，A选项不合题意，故选C【点评】本题考查圆的标准方程，本题解题的关键是根据所给的条件设出圆的方程，可以是一般式方程也可以是标准方程，在根据其他的条件解出方程5若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）ABCD【分析】先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案【解答】解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选A【点评】本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论6（理）若向量=（1，1，x），=（1，2，
11、1），=（1，1，1），满足条件（）（2）=2，则x=（）AB2CD2【分析】由条件（）（2）=2，化简可得2（1x）=2，由此求得x的值【解答】解：由题意可得（）（2）=（0，0，1x）（2，4，2）=2（1x）=2，可得x=2，故选B【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量坐标形式的运算，属于基础题7若f（x）=cosx，则f（）=（）A1BC0D1【分析】根据基本函数的导数公式求导，然后代入求值即可【解答】解：f（x）=sinx，f（）=sin=1，故选：A【点评】本题考查了导数的运算，属于基础题8在长为6cm的线段上任取一点P，使点P到线段两段点的距离都大于2cm的概率是
12、（）ABCD【分析】由题意作出图象，求得线段长度，由几何概型的概率公式可得【解答】解：如图线段AB长为6cm，取点C、D使得AC=BD=2cm，已知当点P取在线段CD上时满足P到线段两段点的距离都大于2cm，故所求概率P=故选：B【点评】本题考查几何概型，数形结合是解决问题的关键，属基础题9命题“x0R，x3x2+10”的否定是（）AxR，x3x2+10Bx0R，x3x2+10Cx0R，x3x2+10D不存在xR，x3x2+10【分析】特称命题“x0M，p（x）”的否定为全称命题“xM，p（x）”【解答】解：特称命题“x0R，x3x2+10”的否定是“xR，x3x2+10”故选A【点评】本题考
13、查特称命题的否定形式，要注意存在量词“”应相应变为全称量词“”10直线AB过抛物线y2=x的焦点F，与抛物线相交于A、B两点，且|AB|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A1BCD2【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离【解答】解：F是抛物线y2=x的焦点F（）准线方程x=，设A（x1，y1），B（x2，y2）|AB|=|AF|+|BF|=3解得，线段AB的中点横坐标为 线段AB的中点到y轴的距离为故选B【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义，主要解决抛物线上的点到
14、焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离11如果直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于相异两点A、B，O是坐标原点，那么实数m的取值范围是（）ABCD（2，2）【分析】根据直线与圆交于相异的两点可推断出圆心到直线的距离小于半径，同时根据推断出故和的夹角为锐角利用直线的斜率可知直线与x的负半轴的夹角为45度，当和的夹角为直角时，可求得原点到直线的距离，进而可求得d的范围，过原点作一直线与x+y+m=0垂直，求得焦点坐标，则可表示圆心到直线的距离的表达式，进而根据d范围确定m的范围【解答】解：直线x+y+m=0与圆x2+y2=2交于相异两点A、B，O点到直线x+y+m=0
15、的距离 d，又，由平行四边形可知，夹角为钝角的邻边所 对的对角线比夹角为锐角的邻边所对的对角线短，故和的夹角为锐角又直线x+y+m=0的斜率为1，即直线与x的负半轴的夹角为45度，当和的夹角为直角时，直线与圆交于（，0）、（0，），此时原点与直线的距离为1，故d1 即1d，过原点作一直线与x+y+m=0垂直，即y=x，两直线交点为（，） 则d=综上有：2m或m2故选C【点评】本题主要考查了直线与圆相交的性质考查了学生数形结合思想和转化与化归思想的运用12（5分）（2016安庆模拟）已知双曲线=1（a0，b0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k1，k
16、2，当+ln|k1|+ln|k2|最小时，双曲线离心率为（）ABC +1D2【分析】设A（x1，y1），C（x2，y2），由双曲线的对称性得B（x1，y1），从而得到k1k2=，利用点差法能推导出+ln|k1|+ln|k2|=，再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率【解答】解：设A（x1，y1），C（x2，y2），由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线=1的交点，由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，B（x1，y1），k1k2=，点A，C都在双曲线上，两式相减，得：，k1k2=0，+ln|k1|+ln|k2|=，对于函数y=，由=0，得x=0（舍）或x=2，x2时，0，0x2时，0，当x=
17、2时，函数y=+lnx（x0）取得最小值，当+ln|k1|+ln|k2|最小时，e=故选：B【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意构造法的合理运用二填空题：（每小题5分，共20分）13已知函数，若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0，1）【分析】由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程根的个数，由图象可得答案【解答】解：由题意作出函数的图象，关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根等价于函数，与y=k有两个不同的公共点，由图象可知当k（0，1）时，满足题意，故答案为：（
18、0，1）【点评】本题考查方程根的个数，数形结合是解决问题的关键，属基础题14圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为2=5【分析】根据圆心在曲线上，设出圆心的坐标，然后根据圆与直线2x+y+1=0相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，要使圆的面积最小即为圆的半径最小，利用点到直线的距离公式表示出设出的圆心到已知直线的距离d，利用基本不等式求出d的最小值及此时a的值，进而得到此时的圆心坐标和圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可【解答】解：由圆心在曲线上，设圆心坐标为（a，）a0，又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r，由a0得到：d=
19、，当且仅当2a=即a=1时取等号，所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为：2=5故答案为：2=5【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时满足的关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用基本不等式求函数的最小值，是一道中档题15已知点A（2，3），B（3，2），直线l过点P（1，1）且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为（，4，+）【分析】由题意画出图形，求出PA和PB的斜率，数形结合得答案【解答】解：如图，直线l的斜率k的取值范围为（，4，+）故答案为：（，4，+）【点评】本题考查了直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题16若双曲线的焦点到渐近
20、线的距离为，则实数k的值是8【分析】先分别求双曲线的渐近线方程，焦点坐标，再利用焦点到渐近线的距离为，可求实数k的值【解答】解：双曲线的渐近线方程为；焦点坐标是由焦点到渐近线的距离为，不妨解得k=8故答案为8【点评】本题主要考查双曲线的几何形状，考查解方程，考查学生分析解决问题的能力三、解答题：（共70分要写出必要的解题步骤或证明过程）17已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m2）x+10的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实根与判别式的关系即可得出p，再利用不等式4x2+4（m2）x+10的解集
21、为R与判别式的关系即可得出q；由p或q为真，p且q为假，可得p与q为一真一假，进而得出答案【解答】解：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，m2或m2 又不等式4x2+4（m2）x+10的解集为R，1m3 p或q为真，p且q为假，p与q为一真一假，（1）当p为真q为假时，解得m2或m3（2）当p为假q为真时，综上所述得：m的取值范围是m2或m3或1m2【点评】熟练掌握“三个二次”与判别式的关系及其“或”“且”命题的真假的判定是解题的关键18第8届中学生模拟联合国大会将在本校举行，为了搞好接待工作，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm）：
22、若男生身高在180cm以上（包括180cm）定义为“高个子”，在180cm以下（不包括180cm）定义为“非高个子”，女生身高在170cm以上（包括170cm）定义为“高个子”，在170cm以下（不包括170cm）定义为“非高个子”（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取6人，则应分别抽取“高个子”、“非高个子”各几人？（2）从（1）中抽出的6人中选2人担任领座员，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？【分析】（1）由题意及茎叶图，有“高个子”10人，“非高个子”20人，利用用分层抽样的方法计算出抽样比，可计算出各层中抽取的人数，（2）先计算从这6人中选2人的事件总数，再计
23、算至少有1人是“高个子”的事件个数，代入古典概率概率公式，可得答案【解答】解：（1）由茎叶图数据可知，“高个子”男生和女生分别有6人和4人，所以“高个子”和“非高个子”分别是10人和20人，（3分）所以“高个子”应抽取10=2人，“非高个子”应抽取20=4人；（5分）（2）记“至少有一人是高个子”为事件A，（6分）设抽出的6人为a，b，c，d，m，n（其中m，n为“高个子”）记“从a，b，c，d，m，n中选2位”为一个基本事件，（7分）则共有15个基本事件：a，b，a，c，a，d，a，m，a，n；b，c，b，d，b，m，b，n；c，d，c，m，c，n；d，m，d，n；m，n其中事件A包括9个基
24、本事件：a，m，a，n；b，m，b，n； c，m，c，n；d，m，d，n；m，n（9分）由古典概型的概率计算公式知，P（A）= （11分）答：从抽出的6人中选2人担任领座员，至少有一人是“高个子”的概率是（12分）【点评】此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键19已知椭圆C： =1（ab0）的一个焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为45的直线l过点F（1）求该椭圆的方程；（2）若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且M点恰为弦AB的中点，求直线l的方程【分析】（1）求得抛物线的焦点，可得c=1，求出
25、准线方程x=1，可得与椭圆的一个交点，代入椭圆方程，解方程即可得到所求方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，求得直线的斜率，再由点斜式方程即可得到所求方程【解答】解：（1）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为x=1，a2b2=1 ，又椭圆截抛物线的准线x=1所得弦长为，得上交点为（1，），+=1由代入得2b4b21=0，解得b2=1或b2=（舍去），从而a2=b2+1=2，该椭圆的方程为+y2=1； （2）点，代入椭圆方程，可得+1，即M在椭圆内，直线AB与椭圆相交设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆
26、方程可得，x12+2y12=2，x22+2y22=2，相减可得（x1x2）（x1+x2）+2（y1y2）（y1+y2）=0，由x1+x2=2，y1+y2=1，可得直线AB的斜率为=1，即有直线AB的方程为y=（x1），即为2x+2y3=0【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用抛物线的焦点和点满足椭圆方程，考查直线的方程的求法，注意运用点差法和中点坐标公式及直线的斜率公式，考查运算能力，属于中档题20如图，四面体ABCD中，O、E分别 BD、BC的中点，AB=AD=，CA=CB=CD=BD=2（1）求证：AO平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值大小；（3）求点E到平面ACD的
27、距离【分析】（1）如图所示，要证AO平面BCD，只需证AOBD，AOCO即可，用运算的方式来证明结论（2）法一：取AC中点F，连接OFOEEF，由中位线定理可得EFAB，OECD所以OEF（或其补角）是异面直线AB与CD所成角，然后在RtAOC中求解法二：以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，异面直线AB与CD的向量坐标，求出两向量的夹角即可；（3）求出平面ACD的法向量，点E到平面ACD的距离转化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可【解答】解：（1）连接OC，BO=DO，AB=AD，AOBD，BO=DO，BC=CD，COBD，在AOC中，由题设知 AO=1，
28、CO=，AC=2，AO2+CO2=AC2，AOC=90，即AOOC，AOBD，BDOC=O，AO平面BCD； （2）取AC中点F，连接OFOEEFABC中EF分别为BCAC中点EFAB，且EF=AB=BCD中OE分别为BDBC中点OECD且OE=CD=1异面直线AB与CD所成角等于OEF（或其补角）又OF是RtAOC斜边上的中线OF=AC=1等腰OEF中cosOEF=； （2）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（1，0，0），C（0，0），A（0，0，1），E（，0），=（1，0，1），=（1，0）cos，=，异面直线AB与CD所成角的大小为arccos（3）解：设
29、平面ACD的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（，1，）是平面ACD的一个法向量又=（，0），点E到平面ACD的距离h=【点评】本题主要考查线线，线面，面面垂直的转化及异面直线所成角的求法，同时，考查了转化思想和运算能力，是常考类型，属中档题21已知函数f（x）=x3x2+bx+c（1）若f（x）在（，+）是增函数，求b的取值范围；（2）若b=2且x1，2时，f（x）c2恒成立，求c的取值范围【分析】（1）先求出函数的导数，结合函数的单调性从而求出b的取值范围；（2）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，得到c22+c，解出即可【解答】解：（1）f（x）=3x2x+
30、b，f（x）在（，+）是增函数，f（x）0恒成立，=112b0，解得：b，x（，+）时，只有b=时，f=0，b的取值范围为，+） （2）由题意得：f（x）=3x2x2，列表分析最值： x1 （1，）（，1） 1 （1，2） 2f（x）+00+f（x）+c 递增极大值+c递减 极小值+c 递增 2+c当x1，2时，f（x）的最大值为：f（2）=2+c，对x1，2时，f（x）c2恒成立，c22+c，解得：c1或c2，故C的取值范围为（，1）（2，+）【点评】本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，是一道中档题22如图，已知抛物线C：y2=4x，为其准线，过其对称轴上一点P（2，0）
31、作直线l与抛物线交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，连结OA、OB并延长AO、BO分别交l于点M、N（1）求的值；（2）记点Q是点P关于原点的对称点，设P分有向线段所成的比为，且（+），求+的值【分析】（1）设l：x=my+2，由，消去x得y24my8=0，利用三点共线，求出y3=，y4=，再利用向量的数量积公式，即可求的值；（2）利用向量垂直，得出4（x1+2）+（x2+2）=0，再分类讨论，即可得出结论【解答】解：（1）设l：x=my+2，由，消去x得y24my8=0设M（1，y3），N（1，y4），则y1y2=8，x1x2=4A，O，M 三点共线，y3=，同理可得y4=（1，y3）（1，y4）=1+y3y4=1+=1；（2）=（4，0），（+），4（x1+2）+（x2+2）=0ABx轴时，=1，x1=x2=2，=1，+=0；AB不垂直于x轴时，P分有向线段所成的比为，=2，=，+=0，综上所述，+=0【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题；
