1、考点过关检测14 利用导数研究函数的零点(或方程的根)12022广东福田外国语学校月考已知函数f(x)lnxax在x2处的切线与直线x2y30平行(1)求实数a的值；(2)若关于x的方程f(x)m2xx2在上恰有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围22022中国人民大学附中月考已知函数f(x)2x3ax22.(1)若a3，求函数f(x)在区间1,2上的最大值；(2)若函数f(x)有三个零点，求实数a的取值范围32022辽宁丹东模拟已知函数f(x)(x1)exax2b.(1)证明：当x1时，f(x)(1a)x2(1b)；(2)若0a，b2a，证明：f(x)有且仅有一个零点42022湖北十堰模拟
2、已知函数f(x)xlnx.(1)求函数f(x)的最小值；(2)若对一切x(0，)，都有f(x)x2ax2恒成立，求实数a的取值范围；(3)试判断函数ylnx是否有零点？若有，求出零点的个数；若无，请说明理由考点过关检测14利用导数研究函数的零点(或方程的根)1解析：(1)函数f(x)lnxax的导数为f(x)a，即在x2处的切线l的斜率为a，由切线l与直线x2y30平行，即有a，解得a1；(2)关于x的方程f(x)m2xx2在上恰有两个不相等的实数根，即有mlnx3xx2在上恰有两个不相等的实数根令g(x)lnx3xx2，g(x)32x，当x1时，g(x)0，g(x)递减，当1x0，g(x)递
3、增即有x1时g(x)取得最小值，且为2，又gln2，g(2)ln22，g(2)gln40，2mln2，解得ln2m0，解得x1或x0，令f(x)0，解得0x0时，令f(x)0得x，所以函数在(，0)和上单调递增，令f(x)0得0x，所以函数在上单调递减，所以函数在x0处取得极大值f(0)2，在x处取得极小值f23；当a0得x0或x，所以函数在和(0，)上单调递增，令f(x)0得x3，即a(3，)3证明：(1)当x1时，f(x)(1a)x2(1b)等价于exx1.设g(x)exx1，当x1时，g(x)ex10，g(x)单调递增，故g(x)g(1)，exx1e20，即exx1.于是当x1时，f(x
4、)(1a)x2(1b)(2)f(x)定义域为(，)，f(x)x(ex2a)若0a，当x0时，f(x)0，当ln2ax0时，f(x)0，故f(x)在(，ln2a)单调递增，在(ln2a,0)单调递减，在(0，)单调递增f(ln2a)(ln2a1)2aa(ln2a)2baln2a(2ln2a)0，所以函数f(x)在(，0)上没有零点；因为0a，b2a，所以b1，f(0)b11且x0时，由(1)可知f(x0)(1a)x(1b)0，函数f(x)在(0，)上有一个零点；综上所述，f(x)有且仅有一个零点4解析：(1)f(x)xlnx的定义域为(0，)，f(x)lnx1，故x时，f(x)0，f(x)单调递增，x时，f(x)取得最小值f(x)minf；(2)由f(x)x2ax2得：xlnxx2ax2，x0，axlnx，令g(x)xlnx，g(x)1(x0)，当x(0,2)时，g(x)0，g(x)单调递增；g(x)ming(2)3ln2，对一切x(0，)，都有axlnx恒成立，a(，3ln2；(3)令lnx0，则xlnx，即f(x)，由(1)知当x(0，)时，f(x)minf，设h(x)(x0)，则h(x)，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增，当x(1，)时，h(x)h(x)，即lnx0.函数ylnx没有零点
