1、单元综合测试三(第三章)时间：90 分钟 分值：150 分第卷(选择题，共 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)1与向量 a(1，3,2)平行的一个向量的坐标可以是()A.13，1，1B(1，3,2)C.12，32，1D(2，3，2 2)C解析：a(1，3,2)212，32，1.2如图所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，已知ABa，AD b，AA1 c，则用向量 a，b，c 表示向量BD1 为()AabcBabcCabcDabcD解析：BD1 BAAD DD1 abc.3已知 a(2，1,3)，b(4,2，x)，c(1，x,2)，若(ab)c，则 x 等于()A
2、4B4C.12D6B解析：ab(2,1,3x)，(ab)c，(ab)c0，2x2(3x)0，得 x4.4若 a(1，2)，b(2，1,2)，且 a，b 的夹角的余弦值为89，则 等于()A2B2C2 或 255D2 或 255C解析：ab246 52389.解得 2 或255.5已知空间四边形 ABCD 每条边和对角线长都等于 a，点 E、F、G 分别是 AB、AD、DC 的中点，则 a2 是下列哪个选项的计算结果()A2BC CAB2AD DBC2FG ACD2EFCBC解析：2BCCA a2，A 错；2AD DB a2，B 错；2EFCB12a2，D 错；只有 C 对6若 A(x,5x,2
3、x1)，B(1，x2,2x)，当|AB|取最小值时，x 的值等于()A19B87C.87D.1914C解析：AB(1x,2x3，3x3)，则|AB|1x22x323x32 14x232x1914x87257，故当 x87时，|AB|取最小值，故选 C.7已知 ABCD，ABEF 是边长为 1 的正方形，FA平面 ABCD，则异面直线 AC 与 EF 所成的角为()A30B45C60D90B解析：AC AD AB，四边形 ABCD，ABEF 均为正方形，AC FE(AD AB)ABABAD AB 21.|cosAC，FE|AC FE|AC|FE|12 22，AC 与 EF 所成角为 45.8如图
4、所示，正方体 ABCD-ABCD中，M 是 AB 的中点，则 sinDB，CM 的值为()A.12B.21015C.23D.1115B解析：以 DA，DC，DD所在的直线分别为 x，y，z 轴建立直角坐标系 Oxyz，设正方体棱长为 1，则 D(0,0,0)，B(1,1,1)，C(0,1,0)，M1，12，0，则DB(1,1,1)，CM 1，12，0，cosDB，CM 1515，则 sinDB，CM 21015.9.如图所示，ABACBD1，AB平面，AC平面，BDAB，BD 与平面 成 30角，则 C、D 间的距离为()A1B2C.2D.3C解析：|CD|2|CA AB BD|2|CA|2|
5、AB|2|BD|22 CA AB 2 AB BD 2 CA BD 1 1 1 0 0 211cos1202.|CD|2.10在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别为A1B 和 AC 上的点，A1MAN 23 a，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是()A斜交B平行C垂直D不能确定B解析：如下图所示，A1MAN 23 a，A1M13A1B，AN13AC.MN MA1 A1A AN 13A1B A1A 13AC13A1B113A1A A1A 13A1B1 13AD 23A1A 13AD 23B1B 13B1C1.MN，B1B，B1C1 共面MN平面 BB1C1
6、C，MN平面 BB1C1C.11在三棱锥 P-ABC 中，ABC 为等边三角形，PA平面ABC，且 PAAB，则二面角 A-PB-C 的平面角的正切值为()A.6 B.3C.66 D.62A解析：设 PAAB2，如图建立空间直角坐标系，平面 PAB 的一个法向量是 m(1,0,0)，平面 PBC 的一个法向量是 n(33，1,1)则 cosm，n mn|m|n|33|m|n|331 213 77.正切值 tanm，n 6.12如图所示，平面 PAD平面 ABCD，PAD 是正三角形，四边形 ABCD 是矩形，M 是 AB 的中点，PC 与平面 ABCD 成 30角，则ABAD的值等于()A1B
7、2C.2D.3C解析：取 AD 的中点 O，则由 OPAD，平面 PAD平面 ABCD推出 OP平面 ABCD，从而建立空间直角坐标系 Oxyz，OD 在x 轴上，OP 在 z 轴上，如右图所示，并设 AD2a，AB2b，则 P(0,0，3a)，C(a,2b,0)，OC(a,2b,0)，PC(a,2b，3a)易 得OC，PC 30，得 cos30 OC PC|OC|PC|a24b2a24b2 4a24b2 32，解得 b 2a，所以ABAD2b2a 2.第卷(非选择题，共 90 分)二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)13若 a(4，2，4)，b(6，3,2)，则(2a3b)(a2b)_
8、.200解析：2a3b2(4，2，4)3(6，3,2)(10,5，14)，a2b(4，2，4)2(6，3,2)(16，8，0)，(2a3b)(a2b)10165(8)140200.14平面 的法向量为 m(1,0，1)，平面 的法向量为 n(0，1,1)，则平面 与平面 所成二面角的大小为_.60或 120解析：m，n mn|m|n|12 212，m，n120，即平面 与 所成二面角的大小为 60或 120.15.如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，PAPBPCBC，且BAC90，则 PA 与底面 ABC 所成的角为_.60解析：由于 PAPBPC，故 P 在底面 ABC 上的射影为ABC 外
9、心，由于ABC 为直角三角形，不妨设 OBOC，所以OP平面 ABC，PAO 为所求角，不妨设 BC1，则 OA12，cosPAO12，所以PAO60.16如图所示，在矩形 ABCD 中，AB3，BC1，EFBC且 AE2EB，G 为 BC 的中点，K 为 AF 的中点沿 EF 将矩形折成 120的二面角 A-EF-B，此时 KG 的长为_.3解析：如图所示，过 K 作 KMEF，垂足为 M 为 EF 的中点，则向量MK 与FC 的夹角为 120，KM，FC60.又KG KM MG KM FC，KG 2KM 2FC 22KM FC11211cos603.|KG|3.三、解答题(写出必要的计算步
10、骤，只写最后结果不得分，共70 分)17(10 分)设空间两个不同的单位向量 a(x1，y1,0)，b(x2，y2,0)，a，b 与向量 c(1,1,1)的夹角都等于 45.(1)求 x1y1 和 x1y1 的值；(2)求a，b的大小解：(1)依题意，有x21y211，x1y13 22，即x21y211，x1y1 62，x1y1 62，易得 x1y114.(2)单位向量 a(x1，y1,0)，b(x2，y2,0)与向量 c(1,1,1)的夹角都等于 45，由x1y1 62，x1y114，有x1 6 24，y1 6 24或x1 6 24，y1 6 24.可取a6 24，6 24，0，b6 24，
11、6 24，0，a，bx1x2y1y2|a|b|12.a，b3.18(12 分)已知向量 a(1，3,2)，b(2,1,1)，点 A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线 AB 上，是否存在一点 E，使得OE b？(O 为原点)解：(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|0252525 2.(2)假设存在点 E，设AEtAB，则OE OA AEOA tAB(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t，42t)，若OE b，则OE b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得 t95，因此存在点 E，使得OE b，此时 E 点坐标为 E(65，
12、145，25)19(12 分)如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AEEC.(1)证明：平面 AEC平面 AFC；(2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值解：如图，连接 BD，设 BDACG，连接 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中，不妨设 GB1.由ABC120，可得 AGGC 3.由 BE平面 ABCD，ABBC，可知 AEEC.又 AEEC，所以 EG 3，且 EGAC.在 RtEBG 中，可得 BE 2，故 DF 22.在 RtFDG 中，可得 FG 62.在直角梯形 BDF
13、E 中，由 BD2，BE 2，DF 22，可得 EF3 22.从而 EG2FG2EF2，所以 EGFG.又 ACFGG，可得 EG平面 AFC.因为 EG平面 AEC，所以平面 AEC平面 AFC.(2)如图，以 G 为坐标原点，分别以GB，GC 的方向为 x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Gxyz.由(1)可得 A(0，3，0)，E(1,0，2)，F(1,0，22)，C(0，3，0)，所以AE(1，3，2)，CF(1，3，22)故 cosAE，CF AECF|AE|CF|33.所以直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值为 33.20(12 分)如图所示，已知正方形 ABCD 和矩
14、形 ACEF 所在的平面互相垂直，AB 2，AF1，M 是线段 EF 的中点(1)求证 AM平面 BDE；(2)求证 AM平面 BDF.证明：取 AC，BD 的交点 O 为原点，OD，OA，OM 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接OE，则各点的坐标分别为 O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(1,0,0)，C(0，1，0，)，D(1,0,0，)，E(0，1,1)，F(0,1,1)，M(0,0,1)(1)AM(0，1,1)，OE(0，1,1)，AM OE，即AMOE，又AM平面 BDE，OE平面 BDE，AM平面 BDE.(2)BD(2,0,0)，DF(1
15、,1,1)，AM BD 0，AM DF 0，AMBD，AMDF，AM平面 BDF.21(12 分)如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，PC平面 ABC，PCAC2，ABBC，D 是 PB 上一点，且 CD平面 PAB.(1)求证：AB平面 PCB；(2)求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小；(3)求二面角 C-PA-B 的余弦值解：(1)证明：PC平面 ABC，AB平面 ABC，PCAB.CD平面 PAB，AB平面 PAB，CDAB.又 PCCDC，AB平面 PCB.(2)由(1)知 AB平面 PCB，BC平面 PCB，ABBC.PCAC2，ABBC，BC 2.如图所示，以 B 为原点，建
16、立空间直角坐标系 Bxyz，则 A(0，2，0)，B(0,0,0)，C(2，0,0)，P(2，0,2)AP(2，2，2)，BC(2，0,0)，AP BC 2 2002，AP，BC APBC|AP|BC|22 2 212.异面直线 AP 与 BC 所成的角为 60.(3)设平面 PAB 的法向量为 m(x，y，z)AB(0，2，得 2y0，2x 2y2z0，解得y0，x 2z.令 z1，得 x 2，则平面 PAB 的一个法向量为 m(2，0，1)设平面 PAC 的法向量为 n(x，y，z).0)，AP(2，2，2)，由ABm0，APm0，PC(0,0，2)，AC(2，2，0)，由PCn0，ACn
17、0，得2z0，2x 2y0，解得z0，xy.令 x1，得 y1，则平面 PAC 的一个法向量为 n(1,1,0)m，n mn|m|n|23 2 33.二面角 C-PA-B 的余弦值为 33.22(12 分)如图(1)所示，在 RtABC 中，C90，BC3，AC6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且 DEBC，DE2，将ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1CCD，如图(2)所示(1)求证 A1C平面 BCDE；(2)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由解：(1)证明：AC
18、BC，DEBC，DEAC，DEA1D，DECD，DE平面 A1DC，又 A1C平面 A1DC，DEA1C.又A1CCD，A1C平面 BCDE.(2)以 C 为原点，CB，CD，CA1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 Cxyz，如图所示，则易得 A1(0,0,2 3)，D(0,2,0)，M(0,1，3)，B(3,0,0)，E(2,2,0)设平面 A1BE 的法向量 n(x，y，z)，则 nA1B 0，nBE0，又A1B(3,0，2 3)，BE(1,2,0)，3x2 3z0，x2y0.令 y1，则 x2，z 3，n(2,1，3)设 CM 与平面 A1BE 所成的角为.CM
19、(0,1，3)，sinn，CMnCM|n|CM|48 4 22，CM 与平面 A1BE 所成角的大小为4.(3)线段 BC 上不存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直理由如下：假设这样的点 P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中 p0,3设平面 A1DP 的法向量为 m(x，y，z)，则mA1D 0，mDP 0，又A1D(0,2，2 3)，DP(p，2,0)，2y2 3z0，px2y0.令 x2，则 yp，z p3，m2，p，p3.平面 A1DP平面 A1BE，当且仅当 mn0，即 4pp0，解得 p2，与 p0,3矛盾线段 BC 上不存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直
