1、全等三角形综合指导一、基础知识回顾1三角形的概念由_的三条线段_相接所组成的图形叫做三角形，它有_条边和_个内角，三角形可用符号_表示.2三角形的三条重要线段（1）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做_. 三角形的三条角平分线一定在三角形的内部，且它们交于_.（2）在三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段，叫做_. 三角形的三条中线一定在三角形的内部，且它们交于_.（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做_. 在_三角形中，三条高在三角形的内部，因而交点也在三角形的内部；在_三角形中，只有一条高在三角形的内部，另外两条
2、高恰好是三角形的两条直角边，因而交点正好是_；在_三角形中，有一条高在三角形的内部，另外两条高在三角形的外部，这三条高的延长线相交于_.3三角形的有关性质：（1）三角形的任意两边之和_第三边，任意两边之差_第三边.（2）三角形的内角和为_；直角三角形的两个锐角_.（3）三角形具有_，即三角形的三边的长度确定后，其形状保持不变.4三角形的分类（1）按_分类：（2）按_分类：5全等三角形的性质：全等三角形的_相等，_相等.6三角形全等的判定（1）_对应相等的两个三角形全等，简记为“SSS”；（2）_和_对应相等的两个三角形全等，简记为“ASA”；（3）_和_对应相等的两个三角形全等，简记为“AAS
3、”；（4）_和_对应相等的两个三角形全等，简记为“SAS”；7直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定除了可以利用SSS，ASA，AAS，SAS判定外，它还可以利用“HL”来判定，即_和_对应相等的两个直角三角形全等. 三角形全等的应用：（1）利用尺规作图（2）利用三角形全等测量距离二、主要思想方法1方程思想：就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程模型，使问题得到解决.例1 （2008年陕西省）一个三角形三个内角的度数之比为237，这个三角形是（ ）. A直角三角形 B等腰三角形 C锐角三角形 D钝角三角形析解：根据条件，可设三个内角的度数
4、分别为，于是有.解得15. 所以最大角的度数为：7=. 故选D.评注：在解有关“边、角”的计算题时，如果设适当的未知数，再由已知条件找出相等关系，把问题转化为方程来解，往往思路清晰，解法简捷明了.2转化思想：利用三角形全等是证明线段或角相等的重要方法之一，但有时不能直接应用，这就需要根据条件通过作辅助线进行转化构造全等三角形，从而达到解决问题的目的.例2 如图1，在ABC中A=，AB=AC，BD是ABC的平分线，从C点向BD作垂线，垂足为E. 试说明BD与CE之间的数量关系，并说明理由.图1析解：BD=2CE. 理由如下：延长CE与BA的延长线交于一点M. 在EBM和EBC中，因为MBE=CB
5、E，BE=BE，BEM=BEC=，所以EBMEBC（ASA）. 所以CE=ME，即CM=2CE.因为MBE+M=，MCA+M=，所以MBE=MCA.在ABD和ACM中，因为BAD=CAM=，AB=AC，MBE=MCA，所以ABDACM（ASA）.所以BD=CM=2CE.评注：角平分线常常与全等三角形结合在一起证明线段相等，利用角平分线构造全等三角形的方法主要有翻折、截取、延长等.3逆向思维的方法：逆向思维是指由果索因，从原问题的相反方向着手的一种思维，即在说明某个问题时，倒过来从结论中寻找结论成立条件的方法.例3（2008年黄石市） 如图2，已知点D是ABC的边AB上一点，ABFC，DF交AC
6、于点E，DE=EF. 试说明AE=CF.图2析解：若要说明AE=CF，只要说明它们所在的两个三角形全等即可，即. 现已具备AED=CEF，尚需要一角或一边对应相等. 由ABFC，可得ADE=CFE. 在AED和CEF中， 因为ADE=CFE，DE=EF，AED=CEF，所以，所以AE=CF.评注：用这种逆向分析的方法，可以顺利地理清许多说理题的解题思路，为说理或证明作好铺垫.三、易错点突破1运用三角形三边关系性质致误例1 若等腰三角形的一条边长为6厘米，另一边长为2厘米，则它的周长为（ ）.A10厘米 B14厘米 C10厘米或14厘米 D无法确定错解：由于本题未指明所给边长是等腰三角形的腰还是
7、底，所以需讨论：当腰长为6厘米时，底边长为2厘米，则周长为；当腰长为2厘米时，底边长为6厘米，则周长为. 故选C.分析：本题错在没有注意到三角形成立的条件：“三角形的任意两边之和大于第三边”，当腰长为2厘米，底边长为6厘米时，不能构成三角形.正解：本题只能把6厘米作为腰，2厘米作为底，故三角形的周长为14厘米，故选B.2应用判定方法致误例2 如图3，已知AB=DC，OA=OD，A=D. 问1=2吗？试说明理由.图3错解：1=2. 理由如下：在AOB和DOC中，因为AB=DC，OA=OD，AOB=DOC.所以AOBDOC，所以1=2.分析：不存在“角角角（AAA）”和“边边角（SSA）”的判定方
8、法，即对于一般三角形，“有三个角对应相等的两个三角形不一定全等”和“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.”正解：在AOB和DOC中，因为AB=DC，A=D，OA=OD.所以AOBDOC（SAS），所以1=2.3不理解“对应”致误例3 已知在两个直角三角形中，有一对锐角相等，又有一组边相等，那么这两个三角形是否全等？错解：这两个三角形全等. 分析：对“ASA”全等判定法中“对应边相等”没有理解，错把边相等当成对应边相等.图4正解：这两个三角形不一定全等. 如图4所示，在，CD=AB，显然与不全等.四、重难点析解1三角形的有关概念例1（2008年邹城市）能把一个三角形分成面积相等
9、的两部分的是该三角形的一条（ ）A中线 B角平分线 C高线 D边的垂直平分线分析：根据三角形中线的特征及其面积公式可知，等底同高的两三角形的面积相等.解：只有三角形的一条中线才能把三角形的面积分成相等的两部分. 故选A.评注：三角形的“三线”在解题中有着广泛的应用，因此，要正确认识其定义及特征.2三角形的三边之间的关系例2（2008年十堰市）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）.A1厘米，2 厘米，3厘米 B2厘米，3 厘米，6 厘米C4厘米，6 厘米，8厘米 D5厘米，6 厘米，12厘米分析：判断三条线段能否构成三角形，只需检验两条较短的线段之和是否大于最长线段即可，若大于则能构成，否
10、则不能构成.解：根据“三角形的两边之和大于第三边”.然后观察四个选项，满足两边之和大于第三边的只有4厘米，6 厘米，8厘米. 故选C.评注：涉及三角形三边关系的问题时，应注意三角形三边关系的应用.3三角形的内角和例3（2008年聊城市）如图5，那么3的度数是（ ）.A55B65 C75D85123图5分析：本题可利用平角及邻补角的定义，把和转化为三角形的内角.解：由图5可知：与1相邻的补角为，与2相邻的补角为，由三角形的内角和为，可得3=. 故选B.评注：涉及三角形有关的角度计算问题，一般要考虑到三角形内角和的应用.4全等三角形的性质12图6例4（2008年常州市） 如图6，已知，.试说明.分
11、析：要说明，只要说明即可. 由已知条件可知，这两个三角形已经具备两边对应相等，因此再找这两边的夹角相等即可.解：，所以，即. 又，所以（SAS），所以.评注：因为全等三角形的对应边相等，所以要说明分别属于两个三角形的线段相等，常常通过说明这两个三角形全等来解决问题.5利用三角形全等解决实际问题例5 如图7，A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD=1千米，DC=1千米，村庄AC、AD间也有公路相连，且ADBC，AC=3千米，只有村庄AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路. 现准备在湖面上造一座斜拉桥，测得AE=1.2千米，BF=0.7千米. 试求所建造的斜拉桥长有多少千米？图7分析：由于村庄AB之间间隔了一个小湖，无法直接测量，故可利用转化思想，由ADBADC，得AB=AC=3千米，从而计算出EF的长.解：在ADB和ADC中，因为BD=DC，ADB=ADC，AD=AD.所以ADBADC（SAS）.所以AB=AC=3千米.所以（千米）.评注：三角形全等是证明线段、角相等的重要依据，教材中全等三角形的例题、习题有很多是与生活息息相关的，其基本思路是通过建立数学模型，把实际问题先转化为数学问题.5