1、松江区2005年高三数学学科教学质量测试卷一、 填空题（每小题4分，共48分）1、 若点在第二象限，则的终边在第 三 象限。2、 设全集，集合，则 。3、 若抛物线上的点P到其焦点F间的距离为5，则点P到轴的距离为 4 。4、 函数在区间上的最大值为 1 。5、 已知向量与的夹角为，且，则向量的模为 5 。6、 当点P在曲线上运动时，则点P关于直线对称的点的轨迹方程是。7、 （理）极坐标系中，过圆的圆心，且与极轴垂直的直线的极坐标方程是 。（文）已知、满足，目标函数的最大值是 4 。8、设集合,在中任取一个元素,则这个元素的模大于1的概率是 。9、设函数对一切实数都有，若方程恰好有5个不同的实
2、根，那么这些实根的和为 15 。10、符号表示不大于的最大整数，若方程的根为，则的值为 2 。11、（理）在和的展开式中，各项系数之和分别记为，（），则 。 （文）某工程由下列工序组成，则工程总时数为 11 天。 12、某纺织厂的一个车间有台织布机，编号分别为1，2，3，；该车间有技术工人名，编号分别为1，2，3，。定义记号，如果第名工人操作了第号织布机，此时规定，否则。例如第3号织布机有且仅有一个人操作，则，那么，7号工人操作了二台机器，请用一个等式来表示 。二、选择题（每小题4分，共16分）13、关于直线和平面，下列命题中正确的是 （ D ） A、若，则 B、，则 C、若，且，则 D、若，
3、则14、函数，对于任意的，都有，则的最小值是 （ C ） A、 B、 C、 D、15、不等式的解集为，则函数的图象为 ( B )16、设数集，且，如果把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值是 （ C ） A、 B、 C、 D、三、解答题（12分+12分+14分+14分+16分+18分）17、求复数，使得是实数，的实部与虚部互为相反数。解： 的实部与虚部互为相反数， 。18、已知向量，函数的最小正周期为， （1）求； （2）当时，求的值域。解：（1） ， （2）， 。19、已知正方体的棱长为3，点K，L，M分别在 棱上，且。（1）试画出过K，L，M三点的平面截此正方体所得的截面；（2）当时，所
4、作截面将正方体分成两部分，设其中较小 部分的几何体体积为，写出关于的函数表达式，并求出它的最小值。解：（1）见右图。 （2） 时，有最小值 。20、设， （1）求的值，使点到直线的距离最短为； （2）若不等式对恒成立，求的取值范围。解（1） 当时，舍去；当时， 。 （2），即，即， 解之，得 ， 。21、已知定理：如果二次曲线与直线有两个公共点、， 是坐标原点，则的充要条件是 （1）试根据上述定理，写出直线与圆相交于，坐标原点为，且的充要条件，并求的值； （2）若椭圆与直线相交两点、，而且，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由。解：（1）， （2），即 ，直线与圆相切。22、如图的顶点坐标分别为，设为线段的中点，为线段中点，为线段的中点，为的中点，对于每一个正整数，为线段的中点，坐标为，设 。 （1）求的值； （2）猜测的值，并加以证明； （3）证明：； （4）若记，证明：是等比数列。解：（1）, 则 （2） 是常数列，即 。（3） （4）， ，又， 是首项为、公比为的等比数列。
