1、2017-2018学年云南省曲靖市宣威八中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分共60分）1（5分）设Sn为等比数列an的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）A11B5C8D112（5分）在ABC中，若b=2asinB，则这个三角形中角A的值是（）A30或60B45或60C30或120D30或1503（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=11，a4+a6=6，则当Sn取最小值时，n等于（）A6B7C8D94（5分）已知Sn为等差数列an的前n项和，若a1+a7+a13的值是一确定的常数，则下列各式：a21；a7；S13；S14；S8S5其结果为确定常数的是（）A
2、BCD5（5分）某企业在今年年初贷款a万元，年利率为，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还（）A万元B万元C万元D万元6（5分）数列an的通项为an=2n+1，则由bn=所确定的数列bn的前n项和是（）An（n+2）Bn（n+4）Cn（n+5）Dn（n+7）7（5分）在ABC中，若|=2，|=5，=5，则SABC=（）ABCD58（5分）ABC中，abc分别为ABC的对边，如果abc成等差数列，B=30，ABC的面积为，那么b等于（）ABCD9（5分）目标函数z=2x+y，变量x，y满足，则有（）Azmax=12，zmin=3Bzmax=12，z无最小值Czmin=3，z
3、无最大值Dz既无最大值，也无最小值10（5分）等腰ABC底角B的正弦与余弦的和为，则它的顶角是（）A30或150B15或75C30D1511（5分）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A5B4C3D212（5分）等比数列an中，a1=512，公比q=，用Mn表示它的前n项之积，即Mn=a1a2a3an，则数列Mn中的最大项是（）AM11BM10CM9DM8二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）已知数列an满足a1=1，an=（nN*），则它的通项公式an= 14（5分）若数列an是等差数列，首项a10，a2003+a20040，a2003a20
4、040，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是 15（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=的最小值为 16（5分）在ABC中，给出下列5个命题：若AB，则sinAsinB；若sinAsinB，则AB；若AB，则sinAsinB；若AB，则cos2Acos2B；若AB，则tantan，其中正确的命题的序号是 三、解答题17（10分）在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若tanA=3，cosC=（1）求角B的大小；（2）若c=4，求ABC面积18（12分）设数列bn的前n项和为Sn，且bn=2Sn；数列an 为等差数列，且a5=9，a7=13（）求数列 bn的通项公式；（）
5、若cn=bnan（n=1，2，3，），Tn为数列cn的前n项和，求Tn19（12分）从盛满a（a1）升纯酒精的容器里倒了1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：（1）第n次操作后溶液的浓度是多少？（2）若a=2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%？20（12分）人们生活水平的提高，越来越注重科学饮食营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14
6、kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，每天需要同时食用食物A和食物B多少kg？最低花费是多少？21（12分）已知数列xn的首项x1=3，通项，且x1，x4，x5成等差数列，求：（）p，q的值； （）数列xn前n项和Sn的公式22（12分）已知等差数列an的首项a1=1，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由2017-2018学年云南省曲靖市宣威八中高二（上）第二次月考数学
7、试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分共60分）1（5分）设Sn为等比数列an的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）A11B5C8D11【分析】由题意可得数列的公比q，代入求和公式化简可得【解答】解：设等比数列an的公比为q，（q0）由题意可得8a2+a5=8a1q+a1q4=0，解得q=2，故=11故选D【点评】本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和公式，属中档题2（5分）在ABC中，若b=2asinB，则这个三角形中角A的值是（）A30或60B45或60C30或120D30或150【分析】在ABC中，利用正弦定理解得sinA=，从而求得 A的值【解答】解：在ABC中，若
8、b=2asinB，则由正弦定理可得 sinB=2sinAsinB，解得sinA=，A=30或150故选D【点评】本题主要考查正弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题3（5分）设等差数列an的前n项和为Sn，若a1=11，a4+a6=6，则当Sn取最小值时，n等于（）A6B7C8D9【分析】条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得【解答】解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2（11）+8d=6，解得d=2，所以，所以当n=6时，Sn取最小值故选A【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力4（5分）已
9、知Sn为等差数列an的前n项和，若a1+a7+a13的值是一确定的常数，则下列各式：a21；a7；S13；S14；S8S5其结果为确定常数的是（）ABCD【分析】直接利用等差数列的性质以及已知条件求出a7是常数，即可判断选项正确【解答】解：等差数列an中，a1+a7+a13的值是一确定的常数，可得3a7是常数，故正确；S13=13a7，所以S13是常数，故正确；S8S5=a6+a7+a8=3a7是常数，故正确故选：A【点评】本题考查等差数列的基本性质的应用，考查计算能力5（5分）某企业在今年年初贷款a万元，年利率为，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还（）A万元B万元C万
10、元D万元【分析】设每年偿还x万元，由题意可得a（1+）5=x（1+）4+x（1+）3+x（1+）+x，由等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：设每年偿还x万元，由题意可得a（1+）5=x（1+）4+x（1+）3+x（1+）+x，由等比数列的求和公式可得a（1+r）5=x，解得x=故选：B【点评】本题考查等比数列的求和公式，属基础题6（5分）数列an的通项为an=2n+1，则由bn=所确定的数列bn的前n项和是（）An（n+2）Bn（n+4）Cn（n+5）Dn（n+7）【分析】由数列an的通项为an=2n+1，知a1+a2+an=n（n+1）+n，故bn=n+2，由此能求出数列bn的前n项和
11、【解答】解：数列an的通项为an=2n+1，a1+a2+an=2（1+2+n）+n=n（n+1）+n，bn=n+2，数列bn的前n项和Sn=（1+2）+（2+2）+（3+2）+（n+2）=（1+2+3+n）+2n=+2n=，故选C【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用7（5分）在ABC中，若|=2，|=5，=5，则SABC=（）ABCD5【分析】利用数量积运算性质可得A，再利用三角形面积计算公式即可得出【解答】解：|=2，|=5，=5，25cosA=5，化为cosA=，A（0，）解得A=sinA=SABC=sinA=故选：A【
12、点评】本题考查了数量积运算性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8（5分）ABC中，abc分别为ABC的对边，如果abc成等差数列，B=30，ABC的面积为，那么b等于（）ABCD【分析】由题意可得2b=a+c平方后整理得a2+c2=4b22ac利用三角形面积可求得ac的值，代入余弦定理可求得b的值【解答】解：a，b，c成等差数列，2b=a+c平方得a2+c2=4b22ac又ABC的面积为，且B=30，由SABC=acsinB=acsin30=ac=，解得ac=6，代入式可得a2+c2=4b212，由余弦定理cosB=解得b2=4+2，又b为边长，b=1+故选：B【点评
13、】本题考查等差数列和三角形的面积，涉及余弦定理的应用，属基础题9（5分）目标函数z=2x+y，变量x，y满足，则有（）Azmax=12，zmin=3Bzmax=12，z无最小值Czmin=3，z无最大值Dz既无最大值，也无最小值【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值情况即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由得A（5，2），由得B（1，1）当直线z=2x+y过点A（5，2）时，z最大是12，当直线z=2x+y过点B（1，1）时，z最小是3，但可行域不包括A点，故取不到最大值故选C【点评】借助于平面区域
14、特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定10（5分）等腰ABC底角B的正弦与余弦的和为，则它的顶角是（）A30或150B15或75C30D15【分析】根据题意知sinB+cosB=，再两边平方得出sin2B的值，进而由诱导公式可知sinA=sin（1802B）=sin2B，即可得出结果【解答】解：由题意：sinB+cosB=两边平方得sin2B=，设顶角为A，则A=1802BsinA=sin（1802B）=sin2B=，A=30或150故选：A【点评】此题考查了同角三角函数的基本关系，解题过程要注意三角形中角的范围，属于中档题11（
15、5分）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A5B4C3D2【分析】写出数列的第一、三、五、七、九项的和即5a1+（2d+4d+6d+8d），写出数列的第二、四、六、八、十项的和即5a1+（d+3d+5d+7d+9d），都用首项和公差表示，两式相减，得到结果【解答】解：，故选C【点评】等差数列的奇数项和和偶数项和的问题也可以这样解，让每一个偶数项减去前一奇数项，有几对得到几个公差，让偶数项和减去奇数项和的差除以公差的系数12（5分）等比数列an中，a1=512，公比q=，用Mn表示它的前n项之积，即Mn=a1a2a3an，则数列Mn中的最大项是（）AM1
16、1BM10CM9DM8【分析】确定数列的通项，求出Mn，即可求得数列Mn中的最大项【解答】解：由题设an=512（）n1，Mn=a1a2a3an=512（）0512（）1512（）2512（）n1=512n（）1+2+3+（n1）=，n=9或10时，取最大值，且n=9时，=1；n=10时，=1，M9最大故选C【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查学生的计算能力，属于基础题此题若直接用列举法可很简明求解：a1=512，a2=256，a3=128，a4=64，a5=32，a6=16，a7=8，a8=4，a9=2，a10=1，当n11时，|an|1，又M90，M100，故M9最大二、填空题（每小题
17、5分，共20分）13（5分）已知数列an满足a1=1，an=（nN*），则它的通项公式an=【分析】判断数列的项的符号，利用平方关系转化求解它的通项公式an即可【解答】解：数列an满足a1=1，an=（nN*），可知an0，可得：，所以数列an2是等差数列，公差为1，可得an2=n，解得：an=故答案为：【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力14（5分）若数列an是等差数列，首项a10，a2003+a20040，a2003a20040，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是4006【分析】由已知条件推导出a20140，S4006=，0，由此能求出使前n项和Sn0成立的最大自然数n
18、=4006【解答】解：数列an是等差数列，首项a10，a2003+a20040，a2003a20040，a20140，a1+a4005=2a20130，a1+a4007=2a20140，a1+a4006=a2003+a20040，S4006=，0，使前n项和Sn0成立的最大自然数n=4006故答案为：4006【点评】本题考查使得等差数列的前n项和取得最大值的项数n的值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用15（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=的最小值为1【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论【解答】解：z的几何意义为区域内点到点G（
19、0，1）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知，AG的斜率最小，由解得，即A（2，1），则AG的斜率k=，故答案为：1【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及直线斜率的计算，利用数形结合是解决本题的关键16（5分）在ABC中，给出下列5个命题：若AB，则sinAsinB；若sinAsinB，则AB；若AB，则sinAsinB；若AB，则cos2Acos2B；若AB，则tantan，其中正确的命题的序号是【分析】根据正弦定理，同角三角函数的基本关系，正切函数的单调性，逐一分析五个命题的真假，可得答案【解答】解：在ABC中，ABab2RsinA2RsinBsinAsinB
20、，故若AB，则sinAsinB正确；若sinAsinB，则AB正确；若AB，则sinAsinB错误；ABsinAsinBsin2Asin2B1cos2A1cos2Bcos2Acos2B，故若AB，则cos2Acos2B，正确；若AB，则，故tantan，正确故答案为：【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了正弦定理，同角三角函数的基本关系，正切函数的单调性，难度中档三、解答题17（10分）在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若tanA=3，cosC=（1）求角B的大小；（2）若c=4，求ABC面积【分析】（1）求出C的正切函数值，利用两角和的正切函数求解即可（2）利用正弦定
21、理求出b，然后求解A的正弦函数值，然后求解三角形的面积【解答】解：（1）cosC=，sinC=，tanC=2tanB=tan（A+C）=1，又0B，B=（2）由正弦定理，得=，b=B=，A=CsinA=sin（C）=sincosCcossinC=（）=SABC=bcsinA=4=6【点评】本题考查正弦定理以及三角形的解法，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力18（12分）设数列bn的前n项和为Sn，且bn=2Sn；数列an 为等差数列，且a5=9，a7=13（）求数列 bn的通项公式；（）若cn=bnan（n=1，2，3，），Tn为数列cn的前n项和，求Tn【分析】（I）先计算b1，再判断
22、bn为等比数列，从而得出通项公式；（II）求出an，cn，利用错位相减法求和【解答】解：（）令n=1得b1=2b1，b1=1，当n2时，bnbn1=Sn1Sn=bn，bn=bn1，bn是以1为首项，以为公比的等比数列，bn=（）数列an的公差为d，则d=（a7a5）=2，an=a5+（n5）d=2n1，cn=，Tn=1+，=+，得：=1+1+=1+=3，Tn=6【点评】本题考查了等比数列的判断，等差数列的性质，错位相减法求和，属于中档题19（12分）从盛满a（a1）升纯酒精的容器里倒了1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：（1）第n次操作后溶液的浓度是多少？
23、（2）若a=2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%？【分析】（1）设开始的浓度为1，操作n次后的浓度为an，可得数列an构成a1=1为首项，q=1为公比的等比数列，得通项公式即可得结论；（2）当a=2时，解不等式an=（）n可得【解答】解：（1）设开始的浓度为1，操作1次后的浓度为a1=1，操作n次后的浓度为an，则an+1=an（1），数列an构成a1=1为首项，q=1为公比的等比数列，an=（1）n，即第n次操作后溶液的浓度为（1）n；（2）当a=2时，可得an=（1）n=（）n，由an=（）n，解得n4至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉
24、及指数不等式的解集，属基础题20（12分）人们生活水平的提高，越来越注重科学饮食营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，每天需要同时食用食物A和食物B多少kg？最低花费是多少？【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画
25、可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解【解答】解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总花费为z元，那么则目标函数为z=28x+21y，且x，y满足约束条件，（3分）整理，（5分）作出约束条件所表示的可行域，如右图所示（7分）将目标函数z=28x+21y变形如图，作直线28x+21y=0，当直线平移经过可行域，在过点M处时，y轴上截距最小，即此时z有最小值（9分）解方程组，得点M的坐标为（11分）每天需要同时食用食物A约kg，食物B约kg（12分）能够满足日常饮食要求，且花费最低16元（13分）【点评】本题考查简单线性规划的应用，用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条
26、件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解21（12分）已知数列xn的首项x1=3，通项，且x1，x4，x5成等差数列，求：（）p，q的值； （）数列xn前n项和Sn的公式【分析】（）由x1=3，得2p+q=3再由x1，x4，x5成等差数列，得3+（32+5q）=2（16p+4q）联立求得p，q的值；（）把（）中求得的p，q值代入xn，然后分组，再由等差数列与等比数列的前n项和公式求解【解答】解：（）由x1=3，得2p+q=3（1）由x1，x4，
27、x5成等差数列，得x1+x5=2x4，又x4=16p+4q，x5=32p+5q，3+（32+5q）=2（16p+4q）（2）由（1）、（2）解得p=1，q=1；（）p=1，q=1，=（2+22+2n）+（1+2+n）=【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的分组求和及等差数列与等比数列的前n项和，是中档题22（12分）已知等差数列an的首项a1=1，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由【分析】（1）依已知可先求首项和公差，
28、进而求出通项an和bn，在求首项和公差时，主要根据先表示出等差数列的三项，根据这三项是等比数列的三项，且三项成等比数列，用等比中项的关系写出算式，解出结果（2）由题先求出bn的通项公式后再将其裂成两项的差，利用裂项相消的方法求出和Sn，利用递增数列的定义判断出数列Sn是单调递增的，求出其最小值得到t的范围【解答】解：（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，（2分）整理得2a1d=d2a1=1，解得（d=0舍），d=2（4分）an=2n1（nN*）（6分）（2），=（10分）假设存在整数总成立又，数列Sn是单调递增的 （12分）又tN*，适合条件的t的最大值为8（14分）【点评】本题主要考查了数列的基本知识和解决数列问题的基本方法，如基本量法，错位相减求和法等本题是一个综合题，若在高考题中出现时，应该是一个合格的题目
