1、凉山州2021届高中毕业班第一次诊断性检测数学(理科)满分150分，考试时间120分钟.一选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知结合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B2. 复数的实部和虚部分别为，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A3. 方程的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A4. 中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C5. 为正项等差数列的前项和，则（ ）A. 3B. C. 2D. 【答案】B6. 电路制造在半导体芯片表面上的集成电路称为薄膜(thin-film)集成电路，集成电
2、路对于离散晶体管有成本和性能两个主要优势.从存放有编号分别为1，2，3，8的芯片的盒子中，有放回地取1000次，每次取一张芯片并记下编号.统计结果如下：芯片编号12345678取到的次数127141110118150123109则取到号码为奇数的频率为（ ）A. 0.5B. 0.49C. 0.51D. 0.48【答案】B7. 直线和双曲线的渐近线相交于，两点，则线段的长度为（ ）A. B. C. D. 【答案】A8. 抛物线：在点处的切线方程为，则的焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B9. 已知等边三角形，设点，满足，与交于点，则（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】D10.
3、 日常生活中，有各式各样精美的糖果包装礼盒某个铁皮包装礼盒的平面展开图是由两个全等的矩形，两个全等的三角形和一个正方形所拼成的多边形(如图)，矩形的长为，矩形的宽和正方形的边长均为.若该包装盒内有一颗球形硬糖的体积为，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A11. 设椭圆：()的左右焦点分别为，直线：交椭圆于点，若的周长的最大值为12，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B12. 克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为(，).若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B二填空
4、题(共4小题，每小题5分，共20分)13. 展开式中的常数项是_.(用数字作答)【答案】14. 定义在上函数满足.当时，则不等式的解集用区间表示为_.【答案】15. 设为数列的前项和，且，则_.【答案】16. 在空间中，过点作平面的垂线，垂足为，记作：.关于两个不同的平面，有如下四个命题：若，则存在点满足.若，则存在点满足.若，则不存在点满足.若对空间任意一点，恒有，则.其中所有真命题的序号是_.【答案】 三解答题(解答过程应写出必要的文字说明，解答步骤共70分)17. 2020年1月24日，中国疾控中心成功分离中国首株新型冠状病毒毒种.6月19日，中国首个新冠mRNA疫苗获批启动临床试验，截
5、至2020年10月20日，中国共计接种了约6万名受试者，为了研究年龄与疫苗的不良反应的统计关系，现从受试者中采取分层抽样抽取100名，其中大龄受试者有30人，舒张压偏高或偏低的有10人，年轻受试者有70人，舒张压正常的有60人.（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否能够以99%的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关？大龄受试者年轻受试者合计舒张压偏高或偏低舒张压正常合计（2）在上述100人中，从舒张压偏高或偏低所有受试者中采用分层抽样抽取6人，从抽出的6人中任取3人，设取出的大龄受试者人数为，求的分布列和数学期望.运算公式：，对照表：()0.1000.0500.0100.0
6、012.7063.8416.63510.828【答案】（1）没有的把握认为受试者的年龄与舒张压偏高或偏低有关；（2）分布列见解析，18. 已知函数(，)的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，分别为图象的最高点和最低点，中，角，所对的边分别为，的面积.（1）求角的大小；（2）若，点的坐标为，求的最小正周期及的值.【答案】（1）；（2）最小正周期为，.19. 如图，四棱锥中，底面，且，分别为，的中点.（1）若，求证：平面；（2）若四棱锥的体积为2，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.20. 椭圆：()的左焦点为，且椭圆经过点，直线()与交于，两点（异于点）.（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线与直线的斜率之和为定值，并求出这个定值.【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为1.21. 设函数().（1）若，求的极值；（2）讨论函数的单调性；（3）若，证明：.【答案】（1）0，无极大值；（2）详见解析；（3）详见解析.22. 已知直线的参数方程为(为参数)，若以直角坐标系的点为极点，方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的倾斜角和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，设点，求.【答案】（1），；（2）.23. 已知，恒成立.（1）若，求的最小值；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.
