1、专题02 圆锥曲线有关的取值范围与最值问题的解法解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数值域的求法，确定参数的取值范围例题1、已知如图，长为，宽为的矩形，以为焦点的椭圆恰好过两点设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆（1）在两个条件中任选一个条件，
2、求椭圆的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若圆的切线与椭圆相交于两点，线段的中点为，求的最大值.例题2、已知如图，长为，宽为的矩形，以为焦点的椭圆恰好过两点,设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆（1）在 两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若点是椭圆上的点，分别是椭圆M的左右焦点，求的最值.例题3已知为圆的圆心，是圆上的动点，点，若线段的中垂线与相交于点.（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；（2）过点的直线与点的轨迹分别相交于，两点，且与圆相交于，两点，求的取值范围.例题4.
3、在平面直角坐标系中，点，过动点作直线的垂线，垂足为，且.记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线交曲线于不同的两点、.若为线段的中点，求直线的方程；设关于轴的对称点为，求面积的取值范围.1如图，已知抛物线（）过点作直线，满足与抛物线恰有一个公共点C（不与x轴平行），交抛物线于B，D两点，且直线BC，DC的斜率互为相反数（1）求，的斜率之和；（2）设直线BC，DC分别交x轴于点P，Q，求面积的最小值2已知椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率为，过点作斜率不为0的直线，交椭圆于，两点（1）求椭圆的方程；（2）当时，求弦长(用表示)；已知点，若为定值，求面积的最大值3已知双曲
4、线与圆交于点第一象限，曲线为、上取满足的部分（1）若，求b的值；（2）当，与x轴交点记作点、，P是曲线上一点，且在第一象限，且，求；（3）过点斜率为的直线l与曲线只有两个交点，记为M、N，用b表示，并求的取值范围4在平面直角坐标系中，抛物线，点，为上的两点，在第一象限，满足.（1）求证：直线过定点，并求定点坐标；（2）设为上的动点，求的取值范围；（3）记的面积为，的面积为，求的最小值.5已知离心率为的椭圆经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点关于x轴的对称点为，过点斜率为的两条不重合的动直线与椭圆的另一交点分别为（皆异于点）.若，求点到直线的距离的取值范围.6如图，已知椭圆，抛物线，点是椭
5、圆与抛物线的交点，过点的直线交椭圆于点，交抛物线于点（，不同于）（1）求椭圆的焦距；（2）设抛物线的焦点为，为抛物线上的点，且、三点共线，若存在不过原点的直线使为线段的中点，求的最小值例题1【答案】（1）选：；选：，椭圆挖去两个点；（2）.【分析】（1）选：由题意知，将代入椭圆方程结合求得和的值即可求解；选：由圆的方程可得，半径，证明可得，由椭圆的定义即可求解；（2）设，讨论直线的斜率等于时，不符合题意，直线的斜率不等于时，的方程为：，由直线与圆相切额的，的关系，与椭圆方程联立，由，可得点的坐标，由结合函数的性质即可求解.【详解】（1）选：由题意可知：，所以，所以，解得： ，所以椭圆的标准方程
6、为：；选：由可得，半径，由题意可得：，所以因为，所以，可得，所以，所以，所以点的轨迹是以，、为焦点的椭圆，所以，所以椭圆的标准方程为： ；（2）设，当直线的斜率等于时，的方程为：，此时直线与椭圆只有一个公共点，不符合题意；当直线的斜率不等于时，的方程为：，因为直线与圆相切，所以，即，由可得：，则 ，则，即，所以 ，设，则，则，所以当即时，取得的最大值.例题2 【答案】（1）；（2）最大值为0，最小值为.【分析】（1）选：由点在椭圆上并代入椭圆方程求出椭圆参数，进而写出椭圆方程；选：由圆的性质知：为等腰三角形，结合可得，根据椭圆的定义写出椭圆方程；（2）设，求出，利用二次函数求最值得解.【详解】
7、（1）选：由已知，将代入椭圆方程得： 故椭圆方程为： 选：由题设可得如下示意图，易知：为等腰三角形且，又，即，则，椭圆定义知：动点到两定点的距离和为定值4，的轨迹方程为.（2）由（1）知：，所以，设，所以，二次函数的对称轴为，所以当时，函数取最大值0，当时，函数取最小值.所以最大值为0，最小值为.例题3【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用几何关系，转化为椭圆的定义，即可求得椭圆方程；（2）分两种情况：当直线的斜率不存在时，求得、的坐标，即可求出的值；当直线的斜率存在时，设直线方程为，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得，再结合相交弦公式求得，进而可求得的取值范围【详解】解：（1）由线段的垂直
8、平分线可得：，所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）可知，椭圆的右焦点为，若直线的斜率不存在，直线的方程为，则，所以，.若直线的斜率存在，设直线的方程为，.联立，可得，则，所以.因为圆心到直线的距离，所以，所以.因为，所以.综上，.例题4【答案】（1）；（2）或；.【分析】（1）设点，则，利用平面向量数量积的坐标运算化简可得出曲线的方程；（2）分析可知直线不与轴垂直，可设直线的方程为，设点、，将直线的方程代入曲线的方程，列出韦达定理，分析可知，结合韦达定理可求得实数的值，即可得出直线的方程；求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式以
9、及韦达定理可得出关于的表达式，结合的取值范围可求得的取值范围.【详解】（1）设，则.因为，所以，则，所以，所以曲线的方程为；（2）若的斜率为，则与曲线只有一个公共点，因此的斜率不为.设直线的方程为，设点、，由得，所以，解得或，由韦达定理可得，因为为线段的中点，所以.所以，可得，解得，满足，所以，直线的方程为，即或；因为点、关于轴对称，所以，于是点到直线的距离为，又，所以，因此，面积的取值范围是.跟踪训练 1 【答案】（1）0；（2）.【分析】（1）利用与抛物线只有一个公共点，且不与x轴平行，得到，根据直线BC、DC的斜率互为相反数，得到，得到，即得解；（2）先求出，再换元利用导数求解.【详解】
10、（1）设直线的方程：，代入抛物线得，因为与抛物线只有一个公共点，且不与x轴平行，所以，所以，设直线的方程：，代入抛物线得故因为直线BC、DC的斜率互为相反数，故，即，进而，所以，所以，所以.所以，的斜率之和是（2）由（1）知，是方程的两根又，故，设直线BC的方程，即直线BC交x轴于点P，则，同理可得，所以进而的面积令，设，则，故当，时，的面积取到最小值跟踪训练 2 【答案】（1）；（2），【分析】（1）根据已知求出的值即得解；（2）直接利用弦长公式求解；求出，化简再把韦达定理代入即得,求出面积的表达式，再利用基本不等式求解.【详解】解：（1）设，抛物线的焦点坐标为，且椭圆的左焦点与抛物线的焦点
11、重合，又椭圆的离心率为，得，于是有，故椭圆的标准方程为（2）设，直线的方程为，由，整理可得，所以，当时，；，所以，要使为定值，则，解得或(舍)，所以点到直线的距离，的面积，当且仅当时取等号，故面积的最大值为跟踪训练 3【答案】（1）；（2）；（3），【分析】（1）联立曲线与曲线的方程，以及，解方程可得b；（2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角；（3）设直线，求得O到直线l的距离，判断直线l与圆的关系：相切，可设切点为M，考虑双曲线的渐近线方程，只有当时，直线l才能与曲线有两个交点，解不等式可得b的范围，由向量投影的定义求得，进而得到所求范围【详解】（1）由，点A为曲线与曲线的交
12、点，联立，解得，；（2）由题意可得，为曲线的两个焦点，由双曲线的定义可得，又，所以，因为，则，所以，在中，由余弦定理可得，由，可得；（3）设直线，可得原点O到直线l的距离，所以直线l是圆的切线，设切点为M，所以，并设与圆联立，可得，可得，即，注意直线l与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当时，直线l才能与曲线有两个交点，由，可得，所以有，解得或舍去，因为为在上的投影可得，所以，则跟踪训练 4【答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）.【分析】（1）设，由已知并结合向量数量的坐标表示易得，再设为联立抛物线，应用韦达定理有，求得，即可证结论.（2）设并求，关于参数a的表达式，由目标式化简，应用
13、换元法并结合二次函数的性质求范围.（3）由（1），用参数k表示、到的距离、，由、可得关于k的函数，应用判别式法求值域，进而可得最小值.【详解】（1）令，则，由知：，又，则，设直线为，联立抛物线方程整理得：，则，故直线为，即直线过定点.（2）设，则， ，令， 且，当时，；当时，.（3）由（1），直线为， 联立抛物线整理得：，有，由在第一象限，则，即，可得.，又到的距离，而，整理得，即，又，得：.的最小值为.跟踪训练 5【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由椭圆的离心率、所过的点及椭圆参数关系求椭圆参数a、b，写出椭圆方程即可.（2）设：并联立椭圆方程，可得关于的表达式，同理得关于的表达式，结合
14、已知得关于的表达式，进而求、，写出的方程及的坐标，应用点线距离公式及对勾函数的性质求范围，注意、的取值对范围的影响.【详解】（1）由题意：，得：，椭圆的标准方程为：；（2）设过的直线的方程：，与椭圆联立，整理得，由，即，得，由题设易知：，则，即，同理，由，可得，故直线的方程为，整理得：，由题意知：，点到直线的距离，当且仅当，即取等号，而，此时，与题意矛盾，等号不成立，即，综上：.跟踪训练 6【答案】（1）2；（2）【分析】（1）求出焦点坐标后可得焦距.（2）设直线，则可得，设，利用点差法可得，从而可得，故可求的最大值，从而可求的最小值.【详解】（1）由椭圆的方程可得焦点坐标为，故焦距为2.（2）由抛物线方程可得，由抛物线和椭圆的对称性可不妨设，则.设直线，则，由可得，故.设，则 ，所以即，所以，而，所以，因为直线不过原点，故，所以，故即，整理得到，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立.故即，由可得，故，所以，所以，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为.【点睛】方法点睛：对于直线与椭圆位置关系中的中点弦问题，可利用点差法得到直线的斜率与中点的关系式，在最值问题的处理中，注意根据等式关系结合基本不等式并利用放缩法得到参数的取值的范围，从而得到相应的最值.
