1、2021 寒假作业-高二数学 数学作业第 17 天 一、单选题1若16x=，256x=是函数()sin()f xx=+()0 两个相邻的极值点，则=（）A3B 32C 34D 122已知函数2()2lnf xxx=，若在定义域内存在0 x，使得不等式()00fxm成立，则实数 m 的最小值是（）A2B 2C1D 13若函数321()13f xxx=+在区间(,3)m m+上存在最小值，则实数 m 的取值范围是（）A 5,0)B(5,0)C 3,0)D(3,0)4已知函数2()(0)xf xaxa=+在1,)+上的最大值为33，则 a 的值为（）A 3 1B 34C 43D 31+5若函数2xy
2、emx=有小于零的极值点，则实数 m 的取值范围是（）A12m B102mC12m D01m6若函数()2()1xf xxaxe=的极小值点是1x=，则()fx 的极大值为（）A eB22eC25eD 27若函数()21ln2f xxxax=+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（）A14a B104aC14a D104a8已知函数3211()32f xxaxbxc=+在1x 处取得极大值，在2x 处取得极小值，满2021 寒假作业-高二数学 足1(10)x ，2(01)x，则242aba+的取值范围是（）A(0 3)，B0 3，C(1)3，D1 3，9已知函数32()f xxaxx=+
3、(xR)，则下列结论错误的是（）A函数()f x 一定存在极大值和极小值 B若函数()f x 在1()x，、2()x，+上是增函数，则212 33xx C函数()f x 的图像是中心对称图形 D函数()f x 的图像在点00()(xf x，(0 xR)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 10已知函数()ln,01,0 xx xf xxx=+，若12xx且()()12f xf x=，则12xx的最大值为（）A2 2B2C 2D1二、多选题11已知函数()ln2xf xex=，则下列说法正确的是（）A()f x 有且仅有一个极值点 B()f x 有零点 C若()f x 的极小值点为0
4、 x，则()0102fx D若()f x 的极小值点为0 x，则()0112f x 12关于函数()sin,(,)xfex xx=+，下列结论正确的有（）A()f x 在(0,)+上是增函数 B()f x 存在唯一极小值点0 x C()f x 在(,)+上有一个零点 D()f x 在(,)+上有两个零点 2021 寒假作业-高二数学 三、填空题13函数32()32f xxx=+在 x=_处取得极小值 14已知1x=为函数322()3(39)(2)ln(2)6f xxxaxax=+的极值点，则 a=_15函数sin()54cosxf xx=+的值域是_ 16已知 113k，函数()311xkf
5、xk=+的零点分别为()1212,x xxx，函数()3121xkg xk=+的零点分别为()3434,x xxx，则()()4321xxxx+的最小值为_.四、解答题17已知函数()ln(1)1xf xexaxx=+.（）若0a=，求()fx 的最小值；（）函数()fx 在0 x=处有极大值，求 a 的取值范围.18已知函数()321f xxaxbx+，记 f（x）的导数为 f（x）若曲线 f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为3，且 x2 时 yf（x）有极值，（）求函数 f（x）的解析式；（）求函数 f（x）在1，1上的最大值和最小值 2021 寒假作业-高二数学 19已知函数1()(
6、2)ln2f xaxaxx=+，（1）当2a=时，求函数()fx 的极值；（2）当0a 时，讨论函数()fx 的单调性；（3）若对 a(-3，-2)，12,xx 1，3，不等式12(ln3)2ln3|()()|maf xf x+恒成立，求实数m 的取值范围.20已知函数2()ln24()f xaxxx a=+R.（1）若2x=是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间；（2）求()()g xf xax=在区间1,e 上的最小值()h a.2021 寒假作业答案-高二数学数学作业第 17 天答案1B【详解】解：由题意得，52663是函数 fx 周期的一半，则 243，得32 故选：B2C【
7、详解】函数()f x 的定义域为(0,)，2()2fxxx.令()0fx，得1x 或1x （舍）.当(0,1)x时，()0fx；当(1,)x 时，()0fx.所以当1x 时，()f x 取得极小值，也是最小值，且最小值为 1.因为存在0 x，使得不等式00fxm 成立，所以1m，所以实数 m 的最小值为 1.故选：C3D【详解】函数321()13f xxx 的导函数为2()2fxxx，令()0fx，得2x 或0 x，故()f x 在(,2),(0,)上单调递增，在(2,0)上单调递减，2021 寒假作业答案-高二数学则0 x 为极小值点，2x 为极大值点.由()f x 在区间(,3)m m 上
8、存在最小值，可得03mm，解得 30m，此时32211()1(3)11(0)33f mmmm mf ，因此实数 m 的取值范围是(3,0)，故选：D.4A【详解】由2()xf xxa，得222()axfxxa，当1a 时，若 xa，则()0,()fxf x单调递减，若1xa，则()0,()fxf x单调递增，故当 xa时，函数()f x 有最大值1332 a，解得314a ，不符合题意.当1a 时，函数()f x 在1,)上单调递减，最大值为1(1)2f，不符合题意.当01a 时，函数()f x 在1,)上单调递减.此时最大值为13(1)13fa，解得3 1a=-，符合题意.故 a 的值为31
9、.故选：A.5B【详解】由2xyemx，得2xyem 因为函数2xyemx有小于零的极值点，2021 寒假作业答案-高二数学所以20 xem有小于零的实根，即12xme有小于零的实根，0 x，11022xe，102m故选：B6C【详解】由题意，函数2()1xf xxaxe，可得2()(2)1xfxexa xa ，所以(1)(22)0fa e，解得1a ，故2()1xf xxxe，可得)1(2xfxexx，则 fx 在(,2)上单调递增，在2,1上单调递减，在(1,)上单调递增，所以 fx 的极大值为2(2)5fe故选：C.7D【详解】解：因为21()2f xxxalnx有两个不同的极值点，所以
10、2()10axxafxxxx 在(0,)有 2 个不同的零点，所以20 xxa在(0,)有 2 个不同的零点，所以1 400aa ，解可得，104a故选：D 8C2021 寒假作业答案-高二数学【详解】3211()32f xxaxbxc，2()fxxaxb，函数()f x 在区间(10)，内取得极大值，在区间(0)1，内取得极小值，2()0fxxaxb在(10)，和(0)1，内各有一个根，所以(0)0f，(1)0f ，(1)0f，即01010babab ，在 aOb 坐标系中画出其表示的区域，2411222abbaa ，令12bma，其几何意义为区域中任意一点与点(21)，连线的斜率，由图可得
11、01m，即1012ba，则24132aba，242aba的取值范围是(1)3，故选：C.9D【详解】A 选项，2()3210fxxax 的24120a 恒成立，故()0fx必有两个不等实根，不妨设为1x、2x，且12xx，令()0fx，得1xx或2xx，令()0fx，得12xxx，所以函数()f x 在12()xx，上单调递减，在1()x，和2()x，上单调递增，2021 寒假作业答案-高二数学所以当1xx时，函数()f x 取得极大值，当2xx时，函数()f x 取得极小值，A选项正确；B 选项，令2()3210fxxax，则1223axx，1213xx，易知12xx，22211212442
12、 3()4933axxxxx x，B 选项正确；C 选项，易知两极值点的中点坐标为()33aaf，又23()(1)()333aaafxxxf，()()2()333aaafxfxf，函数()f x 的图像关于点()33aaf，成中心对称，C 选项正确；D 选项，令0ac得3()f xxx，()f x 在(0)0，处切线方程为 yx，且3yxyxx 有唯一实数解，即()f x 在(0)0，处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 选项错误.故选：D10B【详解】当0 x 时，lnfxxx，求导 ln1fxx，令 0fx，得1xe当10,ex时，0fx，fx 单调递减；当1,ex 时，0fx，fx单
13、调递增；如下图所示：2021 寒假作业答案-高二数学设点 A的横坐标为1x，过点 A作 y 轴的垂线交函数 yf x于另一点 B，设点B 的横坐标为2x，并过点 B 作直线1yx 的平行线l，设点 A到直线l 的距离为 d，122xxd，由图形可知，当直线l 与曲线lnyxx相切时，d 取最大值，令 ln1 1fxx ，得1x ，切点坐标为1,0，此时，1 0 122d，12 max222xx，故选：B.11AC【详解】由题意得，()f x 的定义域为(0,)，且1()xfxex，设()()h xfx，则21()0 xh xex，()h x 在(0,)上单调递增，又1212202hee，1(1
14、)10he，0h x存在唯一零点，设为0 x，当00 xx时，()0,()fxf x单调递减，当0 xx时，()0,()fxf x单调递增，()f x 有唯一极小值点0 x，故选项 A 正确2021 寒假作业答案-高二数学令00010 xfxex，得001xex，两边同时取对数可得0001lnlnxxx 000000011ln22220 xf xexxxxx（当且仅当01x 时等号成立），又0112x，00fx，即min()0f x，()f x 无零点，故选项 B 错误由0000112,12fxxxx，可设1()2g xxx，则21()1g xx 当 112x 时，()0g x，()g x 在
15、1,12 上单调递减1(1)()2gg xg ，即0102fx，故选项 C 正确，选项 D 错误，故选：AC12ABD【详解】由已知()sin,(,)xfex xx 得()cosxfxex，()sinxfxex，(,)x ，()0fx恒成立，()fx 在(,)上单调递增，又34232()0,()0,(0)20422fefef(0,)x 时()(0)0fxf，且存在唯一实数03(,)42x，使0()=0fx，即00cosxex，2021 寒假作业答案-高二数学所以()f x 在(0,)上是增函数，且()f x 存在唯一极小值点0 x，故 A,B 选项正确.且()f x 在0(,)x单调递减，0(
16、,)x 单调递增，又()00fe，000000()sinsincos2 sin()04xf xexxxx，(0)10 f，所以()f x 在(,)上有两个零点，故 D 选项正确，C 选项错误.故选：ABD.132【详解】236fxxx，令 2360fxxx，得10 x，2 2x ，且,0 x 时，0fx；0,2x时，0fx；2,x 时，0fx，故 fx 在2x 处取得极小值故答案为：21473【详解】322()3(39)(2)ln(2)6f xxxaxax222()36(39)2afxxxax，由题意可知：(1)0f ，所以解得73a 或2a，而当2a 时，32()336f xxxx，所以22
17、()3633(1)0fxxxx 恒成立，故舍去故答案为：73151 1,2 2【详解】令 cos xt，则1,1t ，2021 寒假作业答案-高二数学 222sin1 cos54cos54cosxxfxxx，不妨设 21,1,154tg ttt，则 2222544 122215454tttttg ttt，由 0g t，得112t ，由 0g t，得112t ，所以函数 g t 在11,2 上为增函数，在1,12 上为减函数，且 10g，1124g，10g，104g t，即 2104fx，1 1,2 2fx ，故答案为：1 1,2 21635log 2【详解】()3103111xxkkf xkk
18、，因为12xx，所以113111xkkk ，2213111xkkkk.()310312121xxkkg xkk，又因为34xx，所以33121xkk ，43121xkk ，2021 寒假作业答案-高二数学所以21321xxk，433131xxkk，所以 4321(21)(31)31xxxxkkk.令1kt ，4,2)3t，则1kt ，所以(21)(31)(21)(32)2671kktttktt.设2()67h ttt，4,2)3t，则222262()60th ttt，h t 在 4,2)3上单调递增，所以5(),6)2h t，432153,6)2xxxx，故 4321335log,log 6)
19、2xxxx.故答案为：35log 217（）0；（）1,2.【详解】解：（）0a，2()1xf xex，()1xfxe当(1,0)x 时，()0fx；当(0,)x 时，()0fx；()f x在(1,0)上递减，在(0,)上递增.()f x 的极小值也是最小值为min()(0)0f xf（）()1ln(1)(1)1xxfxeaxxx .设()()g xfx，则211()1(1)xg xea xx.当0a 时，0gx，g x 在(1,)上单调递增，(1,0)x 时，()(0)0g xg；(0,)x 时，()(0)0g xg()f x在(1,0)上递减，在(0,)上递增，0 x 是 fx 的极小值点
20、，与题意矛盾2021 寒假作业答案-高二数学当0a 时，211()1(1)xg xea xx在(1,)上是增函数，且(0)1 2ga 当102a时、(0,)x 时，()(0)1 20g xga.从而()fx 在(0,)上是增数，故有()(0)0fxf.所以()f x 在(0,)上是增函数，与题意矛盾当12a 时，若(1,0)x，则()(0)1 20g xga，从而()fx 在1,0上是减函数，故有()(0)0fxf，所以()f x 在1,0上是增函数，若(0,)xa，由（1）知，1aea，则32222111121()101(1)1(1)1aaaag aeaaaaaaaa 又(0)1 20ga，
21、所以，存在0(0,)xa使得00gx.从而当00,xx时()0g x所以，()()fxg x在00,x上是减函数，从而()(0)0fxf，()f x 在00,x上减函数，故0 x 是 fx 的极大值点，符合题意.综上所述，实数 a 的取值范围为 1,2.18（）f（x）x33x2+1；（）最大值为 1，最小值为3【详解】（）由题意得：f（x）3x2+2ax+b，所以 k=f（1）3+2a+b3，f（2）12+4a+b0，解得 a3，b0，所以 f（x）x33x2+1；（）由（）知，令 f（x）3x26x0，解得 x0 或 x2，当1x0 时，f（x）0，f（x）在（1，0）是增函数，当 0 x
22、1 时，f（x）0，f（x）在（0，1）是减函数，2021 寒假作业答案-高二数学所以 f（x）的极大值为 f（0）1，又 f（1）1，f（1）3，所以 f（x）在1，1上的最大值为 1，最小值为319（1）极小值为 4，无极大值（2）答案见解析（3）133m 【详解】（1）当2a 时，1()4f xxx(0)x，222141()4xfxxx，当102x时，()0fx，当12x 时，()0fx，所以()f x 在1(0,)2 上递减，在 1(,)2 上递增，所以()f x 在12x 处取得极小值1()42f，无极大值.（2）当0a 时，1()(2)ln2f xaxaxx，定义域为(0,)，22
23、1()2afxaxx222(2)1axa xx2(1)(21)axxx，令()0fx得1xa 或12x，当112a，即 20a 时，由()0fx得102x或1xa，由()0fx得112xa，所以()f x 在1(0,)2 和1(,)a 上单调递减，在 11(,)2a上单调递增，当112a，即2a 时，22(21)()xfxx0，所以()f x 在(0,)上单调递减，当112a，即2a 时，由()0fx得10 xa 或12x，由()0fx得112xa，所以()f x 在1(0,)a和 1(,)2 上单调递减，在1 1(,)2a上单调递增，（3）由（2）可知对 a(-3，-2)，()f x 在1,
24、3上单调递减，2021 寒假作业答案-高二数学因为不等式12(ln3)2ln3|()()|maf xf x恒成立，等价于12max(ln3)2ln3()()maf xf x1 max2min()()f xf x，而1 max()(1)12f xfa，2min1()(3)(2)ln363f xfaa，所以1(ln3)2ln312(2)ln363maaaa，即2(4)03ma对 a(-3，-2)恒成立，所以23(4)0322(4)03mm，解得133m .20解：（1）fx 的定义域为(0,)，244()44axxafxxxx.因为2x 是 fx 的极值点，所以168(2)02af，解得8a ，所
25、以24484(2)(1)()xxxxfxxx，当2x 时，()0fx；当02x时，()0fx，所以 fx 的单调递减区间为0,2，单调递增区间为(2,).（2）2()ln24g xaxxaxx，则(4)(1)()44axa xg xxaxx，令()0g x，得4ax 或1x .当14a ，即4a 时，g x 在1,e 上为增函数，12h aga ；当14ae，即44ae时，g x 在 1,4a 上单调递减，在,e4a 上单调递增，2021 寒假作业答案-高二数学所以21()ln448aah agaaa；当 4ae，即4ae时，g x 在1,e 上为减函数，所以2()()(1)24h ag ee aee.综上所述，222,41()ln,4448(1)24,4aaah aaaaaee aee ae.
