1、双基限时练(七)1函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数 f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内极小值有()A1 个 B2 个C3 个D4 个解析 设 x0 为 f(x)的一个极小值点，则在 x0 左侧 f(x)0，由 yf(x)的图象知，只有一个适合答案 A2已知实数 a，b，c，d 成等比数列，且曲线 y3xx3 的极大值点坐标为(b，c)，则 ad 等于()A2 B1C1 D2解析 y33x2，令 y0，得 x1.可判断函数 y3xx3在 x1 处取得极大值，因此极大值点的坐标为(1,2)，即 b1，c2，又 adbc，ad2.答案 A3三次函
2、数当 x1 时，有极大值，当 x3 时，有极小值，且函数的图象过原点，则该三次函数为()Ayx36x29xByx36x29xCyx36x29xDyx36x29x解析 本题若直接求解，相当于解一个大题，本题按照小题小做的原则，可采用试验找答案，显然四个函数的图象都过原点，下面分别求导函数，验证 x1 和 x3 都是导函数的根，对于 B，y3x212x93(x1)(x3)当 x1 和 x3 时，有 y0.而其他不适合题意答案 B4已知函数 y2x3ax236x24 在 x2 处有极值，则该函数的一个递增区间是()A(2,3)B(3，)C(2，)D(，3)解析 y6x22ax36.依题意知 6224
3、a360，a15，y6x230 x366(x2)(x3)，易知当 x3 时，y0，函数的一个增区间为(3，)答案 B5函数 f(x)13x32ax23a2x 在(0,1)内有极小值，则实数 a 的取值范围是()A(0，)B(，3)C.0，13D.0，32解析 f(x)x24ax3a2(xa)(x3a)，易知 a0，f(0)3a20，(4a)2 12a2 4a20，依 题 意 可 得03a0.解得 0a0，解得 a2.答案 a2 或 a17已知函数 f(x)x33x29xm，在 R 上的极大值为 20，则实数 m_.解析 f(x)3x26x93(x1)(x3)，当1x0，当 x3 时，f(x)0
4、)，令 g(x)x4x，则 g(x)14x2.令 g(x)0，得 x2.当 x(0,2)时，g(x)0，当 x2 时，g(x)有极小值 g(2)2424.答案 49函数 yf(x)的导函数 f(x)的图象如图所示，给出下列命题：3 是函数 yf(x)的极值点；1 是函数 yf(x)的最小值点；yf(x)在区间(3,1)上单调递增；yf(x)在 x0 处切线的斜率小于零以上正确命题的序号是_解析 由 f(x)的图象知，在3 的左右两侧 f(x)符号左负右正，是极值点，故正确；错；在(3,1)上 f(x)0，故正确；kf(0)0，故错答案 10设 x2，x4 是函数 f(x)x3ax2bx 的两个
5、极值点(1)求常数 a，b；(2)判断 x2，x4 是函数 f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由解(1)f(x)3x22axb，由极值点的必要条件可知，x2，x4 是方程f(x)0 的两根a3，b24.(2)f(x)3x26x243(x2)(x4)当 x0，当2x4 时，f(x)4 时，f(x)0，x2 是 f(x)的极大值点，x4 是 f(x)的极小值点11设函数 f(x)2x33(a1)x21，其中 a1.(1)求 f(x)的单调区间；(2)讨论 f(x)的极值解 由已知得，f(x)6xx(a1)，令 f(x)0，解得 x10，x2a1，(1)当 a1 时，f(x)6x2，f(x)在
6、(，)上单调递增当 a1 时，f(x)6xx(a1)f(x)，f(x)随 x 的变化情况如下表：x(，0)0(0，a1)a1(a1，)f(x)00f(x)极大值极小值从表上可知，函数 f(x)在(，0)上单调递增；在(0，a1)上单调递减；在(a1，)上单调递增(2)由(1)知，当 a1 时，函数 f(x)没有极值当 a1 时，函数在 x0 处取得极大值 1，在 xa1 处取得极小值 1(a1)3.12设 f(x)x3ax2bx1 的导数 f(x)满足 f(1)2a，f(2)b，其中常数 a，bR.(1)求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)设 g(x)f(x)ex，求函数
7、g(x)的极值解 f(x)x3ax2bx1，f(x)3x22axb.令 x1，得 f(1)32ab，又 f(1)2a，32ab2a，b3.令 x2，得 f(2)124ab，又 f(2)b，124abb，解得 a32.f(x)x332x23x1.从而 f(1)52.又f(1)2(32)3.故曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y(52)3(x1)，即 6x2y10.(2)由(1)知，g(x)(3x23x3)ex，g(x)(3x29x)ex3x(x3)ex.令 g(x)0，得 x10，x23.当 x(，0)时，g(x)0，故 g(x)在(0,3)上为增函数；当 x(3，)时，g(x)0，故 g(x)在(3，)上为减函数从而可知，函数 g(x)在 x0 处取得极小值 g(0)3，在 x3 处取得极大值 g(3)15e3.