1、2015年高考数学走出题海之黄金30题系列专题二 新题精选1. 已知全集，函数的定义域为，则 【答案】【解析】试题分析：由题意知，即，所以，即，由补集的定义知，2. 已知是定义域为的偶函数，当时，则不等式的解集为 【答案】【解析】试题分析：因为当时，所以，且在上单调递减，在上为单调递增，所以即，又因为函数是定义域为的偶函数，所以，解之得：3. 设，已知函数是定义域为的偶函数， 当时， 若关于的方程有且只有个不同实数根，则的取值范围是 【答案】.【解析】试题分析： 由题意知，函数在和上是减函数，在和上是增函数.所以当时，函数取得极大值1，在时，函数取得极小值，当时，所以关于的方程有且只有个不同实
2、数根，设，则必有两个根，其中，所以，所以，故应填.4. 设命题：函数的定义域为；命题：不等式对一切均成立。（）如果是真命题，求实数的取值范围；（）如果命题“或”为真命题，且“且”为假命题，求实数的取值范围【答案】（I）；（）.【解析】（）若命题为真命题，则恒成立； （）若命题为真命题，则；“或”为真命题且“且”为假命题，即，一真一假 ，故. 5. 已知函数.（）求在区间上的最大值；（）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围【答案】（）有最大值；（）.【解析】（）令得，.当时，单调递增；当时，单调递减；所以，当时，有最大值.（）设切点为，切线斜率，从而切线方程为.又过点，所以，整理得.令，则，
3、由得或，当变化时，与的变化如下表：极大值极小值于是， ，所以6. 已知函数，其中是自然对数的底数（）证明：是上的偶函数；（）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（）已知正数满足：存在，使得成立，试比较与的大小，并证明你的结论【答案】（）详见解析（）；（）当时，；当时，；当时，【解析】（），是上的偶函数. （）由题意，即，即对恒成立令，则对任意恒成立，当且仅当时等号成立 .（），当时，在上单调增，令，即在上单调减，存在，使得，即，设，则，当时，单调增；当时，单调减，因此至多有两个零点，而，当时，；当时，；当时，7. 是虚数单位，表示复数的共轭复数若，则 【答案】【解析】试题分析：因为，所
4、以.8. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，若，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】试题分析：当时，由，得；当时；由，得；所以当时.因为函数是奇函数，所以当时，.因为对于，都有，所以，所以.9. 已知函数的最小正周期为.（）求的值；（）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的最小值.【答案】（I）；（II）1.【解析】因为,所以 2分. 4分由于,依题意得,所以. 6分（）解：由（）知,所以. 8分当时,所以,即,12分故在区间的最小值为. 13分10. 已知椭圆：的焦距为，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形（）求椭圆的标准方程；（）设为
5、椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，证明：平分线段(其中为坐标原点)，当值最小时，求点的坐标【答案】（I）；（II）略；或.【解析】（）解：由已知可得， 2分解得， 4分所以椭圆的标准方程是. 5分（）证明：由（）可得，的坐标是，设点的坐标为，则直线的斜率.当时，直线的斜率.直线的方程是.当时，直线的方程是，也符合的形式6分设，将直线的方程与椭圆的方程联立，消去，得，其判别式.所以，. 8分设为的中点，则点的坐标为.所以直线的斜率，又直线的斜率，所以点在直线上，因此平分线段. 9分解：由可得， 10分所以12分当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值故当最小时，点的坐标是或
6、13分11. 已知，则方程的根的个数是 .【答案】512. 在中，分别为的重心和外心，且，则的形状是 .【答案】钝角三角形【解析】试题分析：如图所示，取的中点，连接，则 ，而即，即为钝角三角形13. 如图所示，是双曲线上的三个点， 经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是 .【答案】【解析】试题分析： 由题意，设双曲线的左焦点为，则由双曲线、过原点的直线的对称性，以及可得，又由在双曲线上且可得，故可得到14. 如图所示的一块长方体木料中，已知，设 为底面的中心，且，则该长方体中经过点的截面面积的最小值为【答案】【解析】试题分析：如图所示，经过点的截面为平行四边形设,则，为了求出平行四边
7、形的高，先求的高，由等面积法可得，又由三垂线定理可得平行四边形的高，因此平行四边形的面积，当且仅当时15. 如图所示，椭圆与直线相切于点 （I）求满足的关系式，并用表示点的坐标； （II）设是椭圆的右焦点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求椭圆的标准方程【答案】（），（）试题解析：（I）联立方程组消元得： 相切 得： 将代入式得： 解得 （II）到直线的距离，是等腰直角三角形 由可得：代入上式得： 得 即 又 椭圆的标准方程为：16. 设满足约束条件，若目标函数 的最大值为，则的图 象向右平移后的表达式为 .【答案】【解析】试题分析：作出可行域与目标函数基准线，由线性规划知识，可得当直线过点
8、时，取得最大值，即，解得；则的图像向右平移个单位后得到的解析式为.17. 已知点是双曲线的右焦点，点是该双曲线的左顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是钝角，则该双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】【解析】试题分析：由题意，得为双曲线的通径，其长度为，因为,所以；则,即，即，即，解得.18. 已知函数，若，则的取值范围是 . 【答案】【解析】试题分析：当时，不等式化为，即，而，即；当，不等式化为，即，令，则；令，则；当时，即在为减函数，且，所以，即在为减函数，即无限接近0，则；所以的取值范围是.19. 设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则 的最大值等于 【答案】【解析】试题分析：
9、由题意，得，则，即，所以的最大值为.20. 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线的准线，且经过点. （）求椭圆的方程；()若直线的方程为.是经过椭圆左焦点的任一弦，设直线与直线相交于点，记的斜率分别为.试探索之间有怎样的关系式？给出证明过程.【答案】（1）；（2）.【解析】 (）设方程为，因为抛物线的准线， 1分由点在椭圆上， 3分椭圆C的方程为. 4分 ()由题意知，直线斜率存在.设直线的方程为，代入，得 ， 5分设由韦达定理得. 6分由题意知 8分，代人得 10分 12分 13分21. 已知函数，.（）设，求的单调区间；（）若对，总有成立.（1）求的取值范围；（2）
10、证明：对于任意的正整数，不等式恒成立.【答案】（1）当时，的增区间为，的减区间为；当时，的增区间为和，的减区间为；当时，的增区间为；当时，的增区间为和，的减区间为；（2）；证明略.【解析】（），定义域为， ， 1分（1）当时，令， 令， ； （2）当时，令，则或， 令， ； 3分 （3）当时，恒成立； （4）当时，令，则或，令， ； 4分综上：当时，的增区间为，的减区间为；当时，的增区间为和，的减区间为；当时，的增区间为；当时，的增区间为和，的减区间为. 5分（）（1）由题意，对任意，恒成立，即恒成立， 只需. 6分由第（）知： ，显然当时， ，此时对任意，不能恒成立； （或者分逐个讨论） 8
11、分当时，； 综上：的取值范围为. 9分（2）证明：由（1）知：当时，10分即，当且仅当时等号成立.当时，可以变换为， 12分在上面的不等式中，令，则有不等式恒成立. 14分22. 已知动点和定点， 的中点为若直线，的斜率之积为常数 (其中为原点，)，动点的轨迹为（1）求曲线的方程；（2）曲线上是否存在两点、，使得是以为顶点的等腰直角三角形？若存在，指出这样的三角形共有几个；若不存在，请说明理由【答案】（1）（）（2）当 时，有一个圆符合题意；当时，有三个符合题意的圆【解析】（1）设直线，的斜率分别为，因为，1分所以 （）， （）， 3分由可得：（）， 4分化简整理可得（），所以，曲线的方程为（
12、） 5分（2）由题意，且，当直线的斜率为，则与重合，不符合题意，所以直线、的斜率都存在且不为，设直线的斜率为，所以直线的斜率为，不妨设，所以直线的方程为，直线的方程为，6分将直线和曲线的方程联立，得，消整理可得，解得，所以，以替换，可得， 8分由，可得， 9分所以，即，10分（1）当 时，方程有，所以方程有唯一解； 11分（2）当时，解得； 12分（3）当时，方程有，且，所以方程有三个不等的根综上，当 时，有一个圆符合题意；当时，有三个符合题意的圆 14分（注：（3）也可直接求解：当时， 方程，因为，所以，又因为，所以，故方程有三个不等的根）23. 已知函数，对任意的，满足，其中为常数（1）若
13、的图像在处切线过点，求的值；（2）已知，求证：；（3）当存在三个不同的零点时，求的取值范围【答案】（1）（2）略（3）【解析】（1）在中，取，得，又，所以 1分从而，又，所以， 3分（2）令，则所以，时，单调递减， 5分故时，所以，时， 7分（3）当时，在上，递增，所以，至多只有一个零点，不合题意； 8分当时，在上，递减，所以，也至多只有一个零点，不合题意； 10分当时，令，得，此时，在上递减，上递增，上递减，所以，至多有三个零点 12分因为在上递增，所以又因为，所以，使得 13分又，所以恰有三个不同的零点：，综上所述，当存在三个不同的零点时，的取值范围是 14分24. 对于三次函数，给出定义
14、：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数，则 ( )【答案】【解析】试题分析：依题意得：，由，可得，而，即函数的拐点为，即，所以所以所求为25. 在直角坐标系中，曲线上的点均在圆外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值（1）求曲线的方程；（2）设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和证明：当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值【答案】（1）；（2）证明详见解析.【解析】（）解法1 ：设的坐标为，由已知得，1分易知圆上的点位于
15、直线的右侧.于是，所以.化简得曲线的方程为. 4分解法2 ：曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线， 2分故其方程为. 4分（）当点在直线上运动时，P的坐标为，又，则过且与圆相切得直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为，即于是整理得 6分设过所作的两条切线的斜率分别为，则是方程的两个实根，故 7分由得 8分设四点的纵坐标分别为，则是方程的两个实根，所以 9分同理可得 10分于是由，三式得 .13分所以，当在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值6400. 14分26. 已知，函数（1）记在区间上的最大值为，求的表达式；（2
16、）是否存在，使函数在区间内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在a使函数在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是. 【解析】 (1)当时，；当时，. 2分因此，当时，0，在上单调递减； 3分当时，0，在上单调递增4分若，则在上单调递减，. 5分若，则在上单调递减，在上单调递增所以，而， 6分故当时，；当时，. 8分综上所述， 9分(2)由(1)知，当时，在上单调递减，故不满足要求10分当时，在上单调递减，在上单调递增若存在， ()，使曲线y在，两点处的切线互相垂直，则，且1，即，亦即
17、.(*) 11分由，得，.故(*)成立等价于集合A与集合B的交集非空因为，所以当且仅当，即时，AB.13分综上所述，存在使函数在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且的取值范围是. 14分27. 已知椭圆（）的左、右焦点分别为、,点,过点且与垂直的直线交轴负半轴于点,且（1）求证：是等边三角形；（2）若过、三点的圆恰好与直线：相切,求椭圆的方程；（3）设过（2）中椭圆的右焦点且不与坐标轴垂直的直线与交于、两点,是点关于轴的对称点在轴上是否存在一个定点,使得、三点共线,若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由【答案】（1）见试题解析；（2）；（3）存在点,使得、三点共线
18、【解析】（1）设（）,由,故,因为,所以, （1分）,故,（2分）又,故由得,所以,（3分）所以,即是等边三角形（4分）（2）由（1）知,故,此时,点的坐标为,（1分）又是直角三角形,故其外接圆圆心为,半径为,（3分）所以, （5分）所求椭圆的方程为 （6分）（3）由（2）得,因为直线过且不与坐标轴垂直,故可设直线的方程为：, （1分）由得, （2分）设,则有,（3分）由题意,故直线的方向向量为,所以直线的方程为, （4分）令,得（5分）即直线与轴交于定点所以,存在点,使得、三点共线 （6分）28. 在平面直角坐标系中,点和点满足按此规则由点得到点,称为直角坐标平面的一个“点变换”在此变换下,
19、若,向量与的夹角为,其中为坐标原点,则的值为_【答案】【解析】试题分析：依题意可得,所以 .故.29. 设定义域为的函数若关于的函数有个不同的零点,则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：由可知,设,当且仅当时对应的x值有4个,因此问题可转化为在上有两个不同实根,结合二次函数图像可得 .30. 某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数与时刻（时）的关系为,其中是与气象有关的参数,且若用每天的最大值为当天的综合污染指数,并记作（1）令,求的取值范围；（2）求的表达式,并规定当时为综合污染指数不超标,求当在什么范围内时,该市市中心的综合污染指数不超标【答案】（1）；（2）,.【解析】（1）当时,； （2分）当时,因为,所以, （4分）即的取值范围是 （5分）（2）当时,由（1）,令,则, （1分）所以 （3分）于是,在时是关于的减函数,在时是增函数,因为,由,所以,当时,； 当时,即 （6分）由,解得 （8分）所以,当时,综合污染指数不超标 （9分）
