1、微专题27以解析几何为载体的应用题数学源于生活，应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现数学应用问题是江苏数学高考的突出亮点，常以中档题(17或18题)的形式呈现，具有良好的区分度，是高考的重点与热点本专题集中介绍以解析几何为载体的应用问题，常见的处理手段是结合实际问题，利用图形中的几何关系，通过解析法建立数学模型，应用相关数学知识予以解决.例题：如图，为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m经测量，点A位于点O正北方向60
2、m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tanBCO.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？变式1如图所示，为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG(图中阴影部分)以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图所示)景观湖的边界曲线符合函数yx(x0)模型，园区服务中心P在x轴正半轴上，PO百米(1)若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM，求OM的最短长度；(2)若在线段DE上设置一园区出口Q，试确定Q的位置，使通道PQ最短变式2如图所示，有一
3、矩形钢板ABCD缺损了一角(图中阴影部分)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，已知AB4米，AD2米(1)如图所示建立直角坐标系求边缘线OM的轨迹方程；(2)设点P(t，m)为边缘线OM上的一个动点，试求出点P处切线EF的方程(用t表示)求AF的值，使截去的DEF的面积最小串讲1如图，相距14 km的两个居民小区M和N位于河岸l(直线)的同侧，M和N距离河岸分别为10 km和8 km.现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站，从P排直线水管PM，PN分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ，使小区污水经处理后排
4、入河道，设PQ段长为t(0t8)km.(1)求污水处理站到两小区的水管的总长最小值(用t表示)；(2)请确定污水处理站的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度串讲2为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端(如图)，渠宽为4 m，渠深为2 m.(1)考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行(不改变渠宽)，问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？(2)考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖(不
5、能填土)成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行(不改变渠深)，要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽(2018九章密卷)如图所示，有一块扇形区域的空地，其中AOB90，OA120 m现要对该区域绿化升级改造设计要求建造三座凉亭供市民休息，其中凉亭C位于OA上，且AC40 m，凉亭D位于OB的中点，凉亭E位于弧AB上(1)现要在四边形OCED内种植花卉，其余部分种植草坪，试确定E点的位置，使种植花卉的面积最大；(2)为了便于市民观赏花卉，现修建两条小道EC和ED，其中EC小道铺设塑胶，造价为每米a元，ED为离开地面高1 m的木质栈道，造价为每米2a元，试确定
6、E点的位置，使两条小道总造价最小某湿地公园内有一条河，现打算建一座桥(图1)将河两岸的路连接起来，剖面设计图纸(图2)如下：其中，点A，E为x轴上关于原点对称的两点，曲线段BCD是桥的主体，C为桥顶，且曲线段BCD在图纸上的图形对应函数的解析式为y(x2，2)，曲线段AB，DE均为开口向上的抛物线段，且A，E分别为两抛物线的顶点设计时要求：保持两曲线在各衔接处(B，D)的切线的斜率相等(1)求曲线段AB在图纸上对应函数的解析式，并写出定义域；(2)定义车辆在上桥过程中通过某点P所需要的爬坡能力(ClimbingAbility)为MP(该点P与桥顶间的水平距离)(设计图纸上该点P处的切线的斜率)
7、，其中MP的单位：米若该景区可提供三种类型的观光车：游客踏乘；蓄电池动力；内燃机动力，它们的爬坡能力分别为0.8米，1.5米，2.0米，又已知图纸上一个单位长度表示实际长度1米，试问三种类型的观光车是否都可以顺利过桥？答案：(1)y(x6)2(6x2)；(2)“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥解析：(1)据题意，抛物线段AB与x轴相切，且A为抛物线的顶点，设A(a，0)(a0)，2分其导函数为y2(xa)由曲线段BD的图象对应函数的解析式为y(x2，2)，又y，且B(2，1)，所以曲线在B点处的切线斜率为，因为B点为衔接点，则解得4分所以
8、曲线段AB在图纸上对应函数的解析式为y(x6)2(6x2).5分(2)设P(x，y)是曲线段AC上任意一点，若P在曲线段AB上，则通过该点所需要的爬坡能力(MP)1(x)(x6)(x3)29(6x2)，6分令y1(x3)29(6x2)，所以函数y1(x3)29(6x2)在区间6，3上为增函数，在区间3，2上是减函数，所以(MP)1max(米)9分若P在曲线段BC上，则通过该点所需要的爬坡能力(MP)2(x)(2x0)，10分令tx2，t0，4，则(MP)2，t0，4，记y2，t0，4，当t0时，y20，而当0t4时，y2，所以当t4时，t有最小值16，从而y2取最大值1，此时(MP)2max1
9、(米).13分所以由，可知，车辆过桥所需要的最大爬坡能力为米，14分答：因为0.81.52，所以“游客踏乘”的车辆不能顺利通过该桥，而“蓄电池动力”和“内燃机动力”的车辆可以顺利通过该桥.16分微专题27例题答案：(1)150；(2)10.解析：(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0，60)，C(170，0)，直线BC的斜率kBCtanBCO.又因为ABBC，所以直线AB的斜率kAB.设点B的坐标为(a，b)，则kBC，kAB.解得a80，b120.所以BC150.答：新桥BC的长为150 m.(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，OMd m
10、(0d60)由条件知，直线BC的方程为y(x170)，即4x3y6800.由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以即解得10d35.故当d10时，r最大，即圆面积最大答：当OM10m时，圆形保护区的面积最大变式联想变式1答案：(1)百米；(2)点Q在线段DE上且距离y轴百米解析：(1)设直线OM：ykx(其中k一定存在)，代入yx，得kxx，化简为(k1)x21.设M(x1，y1)，则x1，(k1)，所以OM.令tk1(t0)，则t222，当且仅当t时等号成立，即k1时成立综上，OM的最短长度为百米(2)当直线P
11、Q与边界曲线相切时，PQ最短若直线PQ斜率不存在，则直线方程为x，不符合题意；若直线PQ斜率存在，设PQ方程为yk，代入yx，化简得(k1)x2kx10.当k1时，方程有唯一解x(舍去)，当k1时，因为直线与曲线相切，所以4(k1)0，解得k3或k(舍去)，此时直线PQ方程为y3x4，令y5，得x，即点Q在线段DE上且距离y轴百米答：当点Q在线段DE上且距离y轴百米，通道PQ最短变式2答案：(1)yx2(0x2)；(2)ytxt2; AF.解析：(1)因为边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离，所以边缘线OM是以点D为焦点，直线AB为准线的抛物线的一部分因为D(0，1)，M(2，
12、1)，所以边缘线OM的方程为yx2(0x2)(2)设切点为P(0t2)，则点P处的切线斜率为t.所以直线EF的方程为yt2t(xt)，即ytxt2.点E，F的坐标分别为E，F.所以SDEF，t(0，2)因为SDEF，令SDEF0，得t.当t时，SDEF0；当x时，SDEF0，所以SDEF在上是减函数，在上是增函数所以当t时，SDEF最小，此时F.答：取AF时，沿直线EF画线段切割，可使截去的DEF的面积最小说明：很多实际问题都与曲线有关(如直线、圆、抛物线以及由函数关系给出的曲线)，通常的处理方法是仔细审题，明确解题方向，根据题意，结合所给图形的结构特征，建立直角坐标系，把要解决的问题放在坐标
13、平面上使之与有关曲线相联系，根据相关等量关系建立数学模型(函数模型、不等式模型等)，运用解析几何的基本知识、思想和方法予以解决，此类问题通常涉及确定最优解的点的位置，如例题和变式题就是这样的问题串讲激活串讲1答案：(1)2(0t8)；(2)满足题意的P点距河岸5 km，距小区M到河岸的垂线5 km，此时污水处理站到小区M和N的水管长度分别为10 km和6 km.解析：(1)如图，以河岸l所在直线为x轴，以过M垂直于l的直线为y轴建立直角坐标系，则可得点M(0, 10)，点N(8，8)设点P(s，t)，过P作平行于x轴的直线m，作N关于m的对称点N，则N(8，2t8)则PMPNPMPNMN2(0
14、t8)即为所求(2)设三段水管总长为L，则由(1)知LPMPNPQMNPQt2(0t8)，所以(Lt)24(t218t129)，即方程3t2(2L72)t(516L2)0在t(0，8)上有解故(2L72)212(516L2)0，即L218L630，解得L21或L3，所以L的最小值为21，此时对应的t5(0，8)故N(8，2)，MN方程为y10x，令y5得x5，即P(5，5)从而PM10，PN6.答：满足题意的P点距河岸5 km，距小区M到河岸的垂线5 km，此时污水处理站到小区M和N的水管长度分别为10 km和6 km.串讲2答案：(1)m；(2)m.解析：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的
15、方程为x22py(p0)，由已知点P(2，2)在抛物线上，得p1，所以抛物线的方程为yx2.(1)为了使填入的土最少，内接等腰梯形的面积要最大，如图1，设点A(0t2)，则此时梯形APQB的面积S(t)(2t4)t3t22t4，S(t)t22t2，令S(t)t22t20，得t，当t时，S(t)0，S(t)单调递增，当t时，S(t)0，S(t)单调递减，所以当t时，S(t)有最大值.答：改挖后的水渠的底宽为m时，可使填土的土方量最少(2)为了使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与抛物线相切，如图2，设切点M(t0)，则函数在点M处的切线方程为yt2t(xt)，分别令y0，y2得A，B，所以此时梯形
16、OABC的面积S(t)2t2，当且仅当t时，等号成立，此时OA.答：设计改挖后的水渠的底宽为m时，可使挖土的土方量最少新题在线答案：(1)E点为过圆O与直线CD的垂线与扇形弧的交点(2)C，E，M三点共线解析：(1)以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则C(0，80)，D(60，0)，CD：1即4x3y240，弧AB所在圆的方程为x2y21202；设与CD平行且与弧AB相切的直线为l：4x3ym，当面积最大时，E为切点，此时E点为过圆O与直线CD的垂线与扇形弧的交点当面积最大时，E为切点，此时E点为过圆心O与直线CD的垂线与扇形弧的交点(2)设总造价为S元，E(x，y)，由题意得，SaCE2aDE.在x轴上取一点M(m，0)，使得2，则EM24ED2，即(xm)2y24(x120)2y2，整理得3x2(2m480)x3y2m21202(*)，当2m4800即m240时(*)可化为x2y21202，此即为弧AB所在圆的方程，即弧AB上所有的点都满足，EM2ED.所以M(240，0)，此时CE2DECEEM，当且仅当C，E，M三点共线时总造价最小
