1、外接球汉堡模型（圆柱、直棱柱）一、知识要点：（特征：一条棱垂直于底面）公式： 方法：第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出二、例题精讲：例1、已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积等于 例2、在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（）ABCD例3、设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（）ABCD例4、已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，则球O的表面积为（）ABCD三、习题精练：1、表面积为81的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是7，则这
2、个正四棱柱的底面边长为_2、已知正三棱柱的外接球表面积为，则正三棱柱的所有棱长之和的最大值为_3、在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为_4、已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（）A3B2CD15、九章算术中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥为鳖臑，平面，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）A BCDB6、已知三棱锥中， 平面，三棱锥外接球的表面积为，则球的体积为_，异面直线，所成角的余弦值为_7、已知三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积
3、为_8、已知在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积是（）ABCD9、已知三棱锥中，底面，则该三棱锥的外接球的体积为（）A BCD10、已知在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为（）A BCD11、三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，则球的表面积为（ ）A BCD12、如图，在中，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A BCD13、已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为A BCD14、正三角形的边长为,将它沿高翻折,使点与点间的距离为,此时四面体外接球表面积为（ ）A BCD15、已知三棱锥的四
4、个顶点在球的球面上，平面，与平面所成的角为，则球的表面积为ABCD16、在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球体积的最小值为（ ）ABCD17、直三棱柱ABCA1B1C1外接球表面积为16，AB=2，若ABC，矩形ABB1A1外接圆的半径分别为r1,r2，则r1+r2的最大值为（ ）A22B3C10D2318、已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）ABCD19、已知直三棱柱外接球的表面积为，若分别为棱上的动点，且，则直线被该三棱柱外接球球面截得的线段长为（ ）AB2C4 D不是定值20、已知三棱锥中，则点到平面的距离为 ，该三棱锥的外接球的体积为 外接球汉堡模型（圆柱
5、、直棱柱）一、知识要点：（特征：一条棱垂直于底面）公式： 方法：第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出二、例题精讲：例1、已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积等于 【解答】解：设直三棱柱的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点，设的外接圆半径为，直三棱柱的外接球的半径为，如图所示：，直三棱柱的外接球的球心为线段的中点，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得：，在中，直三棱柱的外接球的表面积为：，故答案为：例2、在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（）ABCD【答案】C【解析】由题意可得三棱柱的上下底面
6、为直角三角形，取直角三角形斜边的中点，直三棱柱的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接AO，设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，r=，则，该直三棱柱外接球的表面积为，故选：C例3、设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且底面的面积为，则此直三棱柱外接球的表面积是（）ABCD【答案】C【解析】设，因为，所以，而，所以（于是是外接圆的半径），即，如图，设分别是和的外接圆圆心，由直棱柱的性质知的中点是三棱柱的外接球球心，所以外接球为于是球的表面积为故选：C例4、已知正六棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且，则球O的表面积为（）ABCD【答案】D【解析】因为，所以正六边形ABCDE
7、F外接圆的半径，所以球O的半径，故球O的表面积为故选：D三、习题精练：1、表面积为81的球，其内接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是7，则这个正四棱柱的底面边长为_【答案】4【解析】由题意知：正四棱柱的体对角线即为球的直径，设球的半径为，则，解得，设正四棱柱的底面边长为，则，解得故答案为：42、已知正三棱柱的外接球表面积为，则正三棱柱的所有棱长之和的最大值为_【答案】【解析】由已知可得正三棱柱的外接球的球心为上下底面中心连线的中点，由外接球的表面积求出外接球半径，由底面边长求出底面外接圆半径，求出球心到底面的距离，进而求出正三棱柱的高，即可求出结论，【详解】设正三棱柱上下底面中心分别为，连
8、，取中点为正三棱柱外接球的球心，连为外接球的半径，如图，设正三棱柱的底面边长为x，在中，三棱柱的所有棱长之和为，令，解得，当时，当时，所以是函数在定义域内有唯一极大值点，故当时，有最大值故答案为： 3、在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为_【答案】【解析】设BC的中点为D，的中点为，由题，得三棱柱外接球的球心在线段的中点O处，由三棱柱的体积为2，得，即，由题，得，所以，外接球表面积故答案为：4、已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（）A3B2CD1【答案】D【解析】设
9、四棱锥P-ABCD外接球的半径为R，则，即由题意，易知，得，设，得，解得，所以四棱锥P-ABCD的体积为故选：D5、九章算术中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥为鳖臑，平面，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）ABCD【答案】D【解析】如图所示，作边上的中点，边上的中点，连接平面，可得：，可得：为球的球心，为球的半径在直角三角形中，可得：在直角三角形中，可得：故球的表面积为：故选：D6、已知三棱锥中， 平面，三棱锥外接球的表面积为，则球的体积为_，异面直线，所成角的余弦值为_【答案】 ；【解析】由外接球表面积可知，解得，所以球的体积，如图，设球心为，为中点，为中心，
10、连接，因为为中心，球心为，所以平面，又平面，所以，由可知，异面直线，所成角为，在中，故答案为：；7、已知三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为_【答案】【解析】如下图所示：圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心，球的半径为，可将三棱锥置于圆柱内，使得圆为的外接圆，如下图所示：由正弦定理可知圆的直径为，所以，三棱锥外接球的半径，因此，三棱锥外接球的表面积为故答案为：8、已知在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球的表面积是（）ABCD【答案】A【解析】在中，由余弦定理得：，外接圆半径，又平面，三棱锥的外接球半径，则三棱锥的外接球的表面积故选：A9、
11、已知三棱锥中，底面，则该三棱锥的外接球的体积为（）ABCD【答案】B【解析】解：如图所示，将三棱锥放在长、宽、高分别为，的长方体中，则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球，所以外接球的直径，该球的体积为故选：B10、已知在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为（）ABCD【答案】C【解析】因平面，平面，则，而，则，三棱锥的外接球截平面所得小圆圆心是正的中心，连，则平面，取线段的中点，则球的球心在过E垂直于直线的垂面上，连，如图， 则四边形是矩形，因此，球的半径有：，所以三棱锥外接球的表面积故选：C11、三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面，则球的表面积为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，所
12、以，因此三角形外接圆半径为，设外接球半径为，则，故选D12、如图，在中，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意得该三棱锥的面是边长为的正三角形，且平面，设三棱锥外接球的球心为，外接圆的圆心为，则面，四边形为直角梯形，由，及，得，外接球半径为，该球的表面积故选A13、已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面，则球的表面积为ABCD【解答】解：如图，平面，、平面，又，即，取中点，则为的外心，设球的半径为，三角形的外接圆半径为，则，球的表面积为故选：14、正三角形的边长为,将它沿高翻折,使点与点间
13、的距离为,此时四面体外接球表面积为（ ）ABCD【答案】C【分析】三棱锥BACD的三条侧棱BDAD、DCDA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积【详解】根据题意可知三棱锥BACD的三条侧棱BDAD、DCDA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离就是球的半径，三棱柱的底面边长为1，1，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，三棱柱的外接球的球心为O，外接球的半径为r，球心到底面的
14、距离为，底面中心到底面三角形的顶点的距离为，球的半径为r外接球的表面积为：4r25故答案为C15、已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，平面，与平面所成的角为，则球的表面积为ABCD【解答】解：如图，由平面，得平面平面，取中点，连接，则，可得平面，则，得，求得，则为底面三角形的外心，过作底面，且在球内部），则为三棱锥的外接球的球心，可得球的表面积为故选：16、在三棱锥中，平面，则三棱锥的外接球体积的最小值为（ ）ABCD【答案】D【分析】设，由的面积为2，得，进而得到外接圆的半径和到平面的距离为，在利用球的性质，得到球的半径，即可求解.【详解】如图所示，设，由的面积为2，得，因为，外接圆的半径，因
15、为平面，且，所以到平面的距离为，设球的半径为R，则，当且仅当时等号成立，所以三棱锥的外接球的体积的最小值为，故选D.17、直三棱柱ABCA1B1C1外接球表面积为16，AB=2，若ABC，矩形ABB1A1外接圆的半径分别为r1,r2，则r1+r2的最大值为（ ）A22B3C10D23【答案】C【解析】【分析】设AB中点为M，ABC，矩形ABB1A1外接圆的圆心分别为O1,O2，球心为O，则由OO1平面ABC与O2M平面ABC得OO1MO2为矩形，O1M+O2M=OM2+AO2AM2=2212=3，可得r12+r22=O1A2+O2A2=O1M2+AM2+O2M2+AM2=5，可得r1+r2的最
16、大值.【详解】解：由外接球表面积为16，可得外接球半径为2.设AB中点为M，ABC，矩形ABB1A1外接圆的圆心分别为O1,O2，球心为O，则由OO1平面ABC与O2M平面ABC得OO1MO2为矩形，O1M2+O2M2=OM2=AO2AM2=2212=3，r12+r22=O1A2+O2A2=O1M2+AM2+O2M2+AM2=5，r1+r22r12+r22252，r1+r210，当且仅当r1=r2时取等号.故选C.18、已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为（ ）ABCD【答案】D【详解】分析：先求出底面三角形的外接圆的半径，再求三棱柱外接球的表面积，再利用基本不等式求
17、最小值.详解：设BC=a,则ab=.底面三角形外接圆的半径为r,则所以所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为故答案为D19、已知直三棱柱外接球的表面积为，若分别为棱上的动点，且，则直线被该三棱柱外接球球面截得的线段长为（ ）AB2C4D不是定值【答案】A【详解】直三棱柱中，取的中点为，的中点为，连接，取的中点为，则为直三棱柱外接球的球心.由外接球的表面积为，设球半径为，则，所以.由分别为棱上的动点，且，所以经过点，即直线经过球心，所以截得的线段长为球的直径.故选A.20、已知三棱锥中，则点到平面的距离为 ，该三棱锥的外接球的体积为 【解答】解：如图所示，因为，可得DAAB，DAAC，又因为ABACA，所以AD平面ABC，由ABACAD2，可得，取BC的中点E，连接AE和DE，在直角BDE中，可得，且DEBC，设A到平面BCD的距离为h，又由VBACDVABCD，即，解得，即点A到平面BCD的距离为；在ACD中，设ABC外接圆的圆心为O1，半径为r，可得外接圆的直径为，可得r2，即AO12，设外接球的球心为O，半径为R，因为AD平面ABC，且AD2，可得OO11，在直角AOO1中，可得，可得，所以外接球的体积为故答案为：；
