1、专题19 解三角形1（2021全国甲卷）在 中，已知 ，则 () A1BCD32（2020新课标文）在ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（） AB2 C4 D8 1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)2R(2)a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形(3)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(4)sin A，sin B，sin C；(5)abcsin Asin Bsin C；(6)asin Bbsin A，bsin
2、Ccsin B，asin Ccsin A(7)cos A；cos B；cos C2三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A.(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)3测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角方位角的范围是0360方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)例：(1)北偏东：(2)
3、南偏西：坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即itan 考点一 利用正弦、余弦定理解三角形【方法总结】(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系在b2aca2c2；acos Bbsin A；sin Bcos B这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题1已知ABC
4、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，A，b，求ABC的面积考点二 正弦定理、余弦定理的应用【方法总结】(1)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论2三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定3在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，a2，则ABC面积的最大值为 考点三 解三角形应用举例4(2020
5、宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则图中海洋蓝洞的口径为 5如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD m.一、单选题1（2022南昌模拟）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（）A8B6C5D32（2022吉林模拟）已知，内
6、角的对边分别是，则等于（）A45B30C45或135D30或1503（2022江西模拟）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（）A4B5C6D74（2022河南模拟）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米， ，则蜚英塔的高度是（）A30米B米C35米D米5（2022河南模拟）在长方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）ABCD
7、6（2022西安模拟）设的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则的形状是（）A等边三角形BC为直角的直角三角形CC为顶角的等腰三角形DA为顶角的等腰三角形或B为顶角的等腰三角形7（2022浙江模拟）如图，四边形中，现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（）ABCD8（2022上海市模拟）如图，在中，已知，D是边上的一点，则的长为（）ABCD9（2022泰州模拟）为庆祝神州十三号飞船顺利返回，某校举行“特别能吃苦，特别能战斗，特别能攻关，特别能奉献”的航天精神演讲比赛，其冠军奖杯设计如下图，奖杯由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm的正三角形铜
8、片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，则冠军奖杯的高度为（）cmABCD10（2021高三上广东月考）2021年7月份河南郑州地区发生水灾，灾后需要对市区所有街道进行消毒处理下面是消毒装备的示意图，MN为路面，PQ为消毒设备的高，OQ为喷杆， ， ，O处是喷洒消毒水的喷头，且喷头的喷射角 ，已知 ， ，则消毒水喷洒在路面上的宽度AB的最小值为（） ABCD二、填空题11（2022浙江模拟）如图，在重，点D是线段上靠近点C的三等分点.若，则 ； . 12（2022日照模拟）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且成等比数列，则 13（2022柯桥模拟）如图，在中，D为边上一近B点的三
9、等分点，则 ， 14（2022河南模拟）在中，的面积为，为边的中点，当中线的长度最短时，边长等于 .15（2022浙江模拟）如图，在中，P是内一点，且，则 ， 三、解答题16（2022吉林模拟）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角A的大小；（2）若，的内角平分线交边BC于点D，求17（2022南开模拟）已知中，角的对边分别为.（1）求：（2）求；（3）求的长.18（2022湛江模拟）如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.（1）
10、求、两地之间的距离；（2）求.19（2022浙江）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知 （）求 的值；（）若 ，求 的面积20（2022全国乙卷）记 的内角 的对边分别为 ，已知 （1）证明： ； （2）若 ，求 的周长专题19 解三角形1（2021全国甲卷）在 中，已知 ，则 () A1BCD3【答案】D【解析】解：由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos120，即19=4+BC2+2BC即BC2+2BC-15=0解得BC=3或BC=-5(舍去)故BC=3故答案为：D2（2020新课标文）在ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（） AB2 C4
11、D8 【答案】C【解析】设 故答案为：C1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)2R(2)a2b2c22bccos A；b2c2a22cacos B；c2a2b22abcos C变形(3)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(4)sin A，sin B，sin C；(5)abcsin Asin Bsin C；(6)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A(7)cos A；cos B；cos C2三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)(2)S
12、absin Cacsin Bbcsin A.(3)Sr(abc)(r为三角形内切圆半径)3测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角方位角的范围是00，sin A1，即A，ABC为直角三角形3在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，a2，则ABC面积的最大值为 【答案】2【解析】由余弦定理a2b2c22bccos A，得4b2c22bc2bcbc，所以bc4(2)，所以SABCb
13、csin A2，故ABC面积的最大值为2.考点三 解三角形应用举例4(2020宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则图中海洋蓝洞的口径为 【答案】80【解析】由已知得，在ADC中，ACD15，ADC150，所以DAC15，由正弦定理得AC40()在BCD中，BDC15，BCD135，所以DBC30，由正弦定理，得BC160sin 1540()在ABC中，由余弦定理，得AB21
14、600(84)1 600(84)21 600()()1 600161 60041 6002032 000，解得AB80，故图中海洋蓝洞的口径为80.5如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD m.【答案】100【解析】由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100 (m)一、单选题1（2022南昌模拟）在中，角A，B，C所对的边分别
15、为a，b，c，若，则（）A8B6C5D3【答案】B【解析】解：中，因为，所以，由正弦定理得，化简得6.故答案为：B.2（2022吉林模拟）已知，内角的对边分别是，则等于（）A45B30C45或135D30或150【答案】A【解析】解：， ，由正弦定理得： ，故答案为：A3（2022江西模拟）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值为（）A4B5C6D7【答案】C【解析】由已知及正弦定理得，所以，所以.故答案为：C.4（2022河南模拟）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省
16、级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米， ，则蜚英塔的高度是（）A30米B米C35米D米【答案】C【解析】设，在中，则， 在中，则，因为，所以由余弦定理得：，整理得：，解得。故答案为：C5（2022河南模拟）在长方体中，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（）ABCD【答案】A【解析】解：如图，连接，取的中点，连接，. 在长方体中，因为且，且，所以且，所以四边形是平行四边形，同理可得四边形平行四边形，所以，故是异面直线与所成的角（或补角）.设，则，故，即异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：A6（
17、2022西安模拟）设的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则的形状是（）A等边三角形BC为直角的直角三角形CC为顶角的等腰三角形DA为顶角的等腰三角形或B为顶角的等腰三角形【答案】D【解析】解：，即，合并得：，或，所以为以为顶角的等腰三角形或为顶角的等腰三角形；故答案为：D7（2022浙江模拟）如图，四边形中，现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】设向量与所成角为，二面角的平面角大小为，因为，所以，又，所以，则，所以，取中点E，连接，则，在中，即，所以，即，又因为，所以，因为直线夹角范围为，所以直线与所成角的余弦值范围是故答案为：D8
18、（2022上海市模拟）如图，在中，已知，D是边上的一点，则的长为（）ABCD【答案】D【解析】在中，由余弦定理得：，因为，所以，在中，由正弦定理得：，即，解得：故答案为：D9（2022泰州模拟）为庆祝神州十三号飞船顺利返回，某校举行“特别能吃苦，特别能战斗，特别能攻关，特别能奉献”的航天精神演讲比赛，其冠军奖杯设计如下图，奖杯由一个半径为6cm的铜球和一个底座组成，底座由边长为36cm的正三角形铜片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，则冠军奖杯的高度为（）cmABCD【答案】C【解析】A，B，C在底面内的射影为M，N，P分别为对应棱的中点，ABC是边长为9的等边三角形，设ABC外接圆圆心O
19、，半径r，则，到平面DEF距离9，冠军奖杯的高度为，故答案为：C10（2021高三上广东月考）2021年7月份河南郑州地区发生水灾，灾后需要对市区所有街道进行消毒处理下面是消毒装备的示意图，MN为路面，PQ为消毒设备的高，OQ为喷杆， ， ，O处是喷洒消毒水的喷头，且喷头的喷射角 ，已知 ， ，则消毒水喷洒在路面上的宽度AB的最小值为（） ABCD【答案】B【解析】过点O作OCAB于点C，过点Q作QDOC于点D，因为 ， ，所以 ，因为 ， ，所以 ， ，所以 ，因为 ，由面积公式得： ，又因为 ，所以 ，即 ，要想使得消毒水喷洒在路面上的宽度AB的最小值，只需 最小，由余弦定理得： ，即 ，
20、化简为： ，因为 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，解得： 或 （舍去），故 ，此时 。故答案为：B二、填空题11（2022浙江模拟）如图，在重，点D是线段上靠近点C的三等分点.若，则 ； . 【答案】60；【解析】设，则，故从而，从而，故.由余弦定理得，故.故答案为：60，.12（2022日照模拟）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且成等比数列，则 【答案】【解析】解：由成等比数列，得，又所以，所以.故答案为：13（2022柯桥模拟）如图，在中，D为边上一近B点的三等分点，则 ， 【答案】；【解析】D为边上一近B点的三等分点，即故，又故答案为：；14（2022河南模拟）在中，的面积
21、为，为边的中点，当中线的长度最短时，边长等于 .【答案】【解析】如图所示：，当且仅当，即，时，等号成立.此时，所以.故答案为：15（2022浙江模拟）如图，在中，P是内一点，且，则 ， 【答案】；【解析】在中，利用余弦定理； 在中， 得，在中， ，故，故 ， ，故填：，三、解答题16（2022吉林模拟）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角A的大小；（2）若，的内角平分线交边BC于点D，求【答案】（1）解：由正弦定理得，（2）解：方法一：方法二：在ABD中，由正弦定理，在ADC中，由正弦定理，方法三：在ABC中，由余弦定理：在ABD中，由正弦定理，在ADC中，由正弦定
22、理，在ADC中，由余弦定理：设，则即解得或在ABC中，由余弦定理：，C是钝角在ADC中，【解析】(1)根据题意由正弦定理整理化简原式，然后由两角和的正弦公式计算出tanA的取值，进而求解出角A的大小。(2)方法一：根据题意由三角形面积公式代入数值计算出边的大小，并把结果代入到数量积的坐标公式计算出结果即可。方法二：首先由正弦定理代入整理计算出边之间的大小，并把结果代入到正弦定理计算出边的大小，然后代入到余弦定理计算出角C的取值范围，结合三角形的几何性质即可得出边的大小，并代入到数量积的坐标公式计算出答案即可。17（2022南开模拟）已知中，角的对边分别为.（1）求：（2）求；（3）求的长.【答
23、案】（1）解：，由正弦定理可得，（2）解：且，（3）解：，由正弦定理，可得【解析】(1)由tanB= 1，结合范围B(0， )，可得 ，由正弦定理可得sinA的值； (2)由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosA的值，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，进而根据两角差的余弦公式即可求解 的值； (3)由题意利用两角和的正弦公式可求sinC的值，进而根据正弦定理可求c的值.18（2022湛江模拟）如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点.（1）求
24、、两地之间的距离；（2）求.【答案】（1）解：由余弦定理可得，所以，.（2）解：由余弦定理可得，所以，则为锐角，故，因此，.【解析】(1)根据题意由余弦定理代入数值计算出边的大小即可。(2)首先由余弦定理代入数值计算出，再由同角三角函数的基本关系式计算出的取值，并把结果代入到正切公式计算出结果即可。19（2022浙江）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c 已知 （）求 的值；（）若 ，求 的面积【答案】解：（） 由于 ，则 . 由正弦定理可知 ，则 .（）因为 ，则 .故 ，则 ， 的面积 .【解析】【分析】（）由，易知，再根据同角三角函数基本关系求出sinC，最后由正弦定理可求得sinA；（）根据A，C的正、余弦值，求出sinB，再由正弦定理求出a，代入面积公式计算即可20（2022全国乙卷）记 的内角 的对边分别为 ，已知 （1）证明： ； （2）若 ，求 的周长 【答案】（1）证明：因为 ， 所以 ，所以 ，即 ，所以 ；（2）解：因为 ， 由（1）得 ， 由余弦定理可得 ， 则 ，所以 ，故 ，所以 ，所以 的周长为 .【解析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出 ，从而可求得 ，即可得解
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