1、分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法，在第n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法12nN=m+m+m分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，做第n步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法12nN=m mm分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成问题1 从甲、乙、丙3名同学中
2、选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？我们把上面问题中被取的对象叫做元素于是所提出的问题就是从3个不同的元素中任取2个，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法问题2 从a、b、c、d这四个字母中，取出3个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？解决这个问题，需分3个步骤：第1步，先确定左边的字母，在4个字母中任取1个，有4种方法；第2步，确定中间的字母，从余下的3个字母中去取，有3种方法；第3步，确定右边的字母，只能从余下的2个字母中去取，有2种方法根据分步计数原理，共有43224 一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个
3、元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列注意：1.我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有重复元素，也没有重复抽取相同的元素2.排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”“一定顺序”就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志3.根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同也就是说，如果两个排列所含的元素不完全一样，那么就可以肯定是不同的排列；如果两个排列所含的元素完全一样，但摆的顺序不同，那么也是不同的排列4.如果mn，这样的排列（也就是只选一部分元素作排列）
4、，叫做选排列；如果mn，这样的排列（也就是取出所有元素作排列），叫做全排列【总结提炼】排列问题，是取出m个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要排列顺序不同，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）由排列的定义可知，排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列练习2.写出从5个元素a，b，c，d，e中任取2个元素的所有排列解决办法是先画“树形图”，再由此写出所有的排列，共20个 若把这题改为：写出从5个元素a，b，c，d，e中任取4个元素的所有排列，结果如何呢？方法仍然照用，但数字将更大，写起来更“
5、啰嗦”练习1.在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果AB AC AD BC BD CD BA CA DA CB DB DC研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？这一节课我们将来共同探讨这个问题：排列数及其公式 1排列数的定义 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作mnA注意区别“一个排列”与“排列数”的不同：“一个排列”是指“从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列”，不
6、是数；“排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，是一个数因此符号只代表排列数，而不表示具体的排列2排列数公式mnA=n(n-1)(n-2)(n-m+1)*N这里m、n且mn，这个公式叫做排列数公式它有以下三个特点：（1）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1（2）最后一个因数是nm1（3）共有m个因数正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示。nnA=n(n-1)(n-2)321当m=n时!nnAn316A66A46A例1.计算 （1）（2）（3）3161615143360A666!720A466543360A 解：（1）（2）（3）mn=n(n-1)(n
7、-2)(n)A-m+1规定0！1n(n-1)(n-2)(n-m+1)(n-m)21=(n-m)21mnn!A=(n-m)!例2解方程322100 xxAA。解：原方程可化为2x(2x-1)(2x-2)=100 x(x-1)x0,x1 2x-1=25 解得x=13 经检验x=13 是原方程的根。例3证明：mmm-1n+1nnA=A+mA。证明：右边!()!(1)!nnmnmnm!(1)!(1)!nnmnmnm(1)!(1)!nnnm(1)!(1)!nnm1mnA 左mnn!A=(n-m)!1全排列数（阶乘）2阶乘变形1!1,2!2,3!6,4!24,5!120,6!720,7!5040(1)2 1!=2!,3 2!=3!(n+1)n!=(n+1)!(2)1!+1 1!=2!,2!+2 2n!+n n!=3!=(n+1)!2!3!(3)=1!,=2(n+1)!=n!n!+123(4)2!-1!=1!,3!-2!=2(n+1)!-n!=2!n n!111112(5)-=,-=,11n-=n!(n+11!2!2!2!3!3!)!(n+1)!例3：求证：1!22!+33!+nn!=(n+1)!-1分析：nn!=(n+1)!-n!2左（！1！）（3！2！）（4！3！）（n1）!-n!练习与作业
