1、课时规范练38空间向量在立体几何中的应用基础巩固组1.已知平面的一个法向量为(1,2,-2),平面的一个法向量为(-2,-4,k),若,则k等于()A.2B.-4C.4D.-22.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1所在直线旋转一周形成圆柱,如图,AC长为23,A1B1长为3,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为()A.6B.4C.3D.23.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为()A.35B.56C.3310D.36104.(多选)设三棱锥
2、V-ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成的角为,直线PB与平面ABC所成的角为,二面角P-AC-B的平面角为,则,大小关系正确的是()A.B.=C.D.5.(多选)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1=2,ACB=90,D,E,F分别为AC,AA1,AB的中点.则下列结论正确的是()A.AC1与EF相交B.B1C1平面DEFC.EF与AC1所成的角为90D.点B1到平面DEF的距离为3226.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,BB1的中点,M为棱A1B1上的一点,且A1M=(02)
3、,设点N为ME的中点,则点N到平面D1EF的距离为()A.3B.22C.23D.557.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,二面角B-AA1-C1的大小为60,点B到平面ACC1A1的距离为3,点C到平面ABB1A1的距离为23,则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为.8.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC为等腰直角三角形,ACB=90,AA1=2AC,P是侧棱CC1上的点.(1)若APB=60,证明:P是CC1的中点;(2)若CP=3PC1,求二面角B-AP-C的余弦值.9.如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面AA1C1C平面ABC,ABC=90,BAC=30
4、,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.(1)证明:EFBC;(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.10.如图所示,多面体是由底面为ABCD的直四棱柱被截面AEFG所截而得到的,该直四棱柱的底面为菱形,其中AB=2,CF=5,BE=1,BAD=60.(1)求BG的长;(2)求平面AEFG与底面ABCD的夹角的余弦值.综合提升组11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是棱B1C1的中点,点F是线段CD1上的一个动点.有以下三个命题:异面直线AC1与B1F所成的角是定值;三棱锥B-A1EF的体积是定值;直线A1F与平面B1CD1所成的角是定值.其中真命题的个数是(
5、)A.3B.2C.1D.012.(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点E,O分别是A1B1,A1C1的中点,P在正方体内部,且满足AP=34AB+12AD+23AA1,则下列说法正确的是()A.点A到直线BE的距离是55B.点O到平面ABC1D1的距离为24C.平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33D.点P到直线AB的距离为253613.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1平面ABC,ACBC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点.(1)求证:C1MB1D;(2)求二面角B-B1E-D的正弦值
6、;(3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.14.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,DAB=60,PD平面ABCD,点F为棱PD的中点.(1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF平面PAE,并说明理由;(2)当二面角D-FC-B的余弦值为66时,求直线AF与平面BCF所成的角的正弦值.创新应用组15.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形,ADBC,ABBC,AB=3,BC=2AD=2,E为CD的中点,PBAE.(1)证明:平面PBD平面ABCD;(2)若PB=PD,PC与平面ABCD所成的角为4,试问“在侧面PCD内是否存在一点N,使得BN平面PCD?”若
7、存在,求出点N到平面ABCD的距离;若不存在,请说明理由.16.如图,在等腰直角三角形ADP中,A=90,AD=3,B,C分别是AP,DP上的点,且BCAD,E,F分别是AB,PC的中点.现将PBC沿BC折起,得到四棱锥P-ABCD,连接EF.(1)证明:EF平面PAD;(2)是否存在点B,当将PBC沿BC折起到PAAB时,二面角P-CD-E的余弦值等于155?若存在,求出AB的长;若不存在,请说明理由.参考答案课时规范练38空间向量在立体几何中的应用1.C因为,所以1-2=2-4=-2k,解得k=4.2.B以O为坐标原点建系,如图,则A(0,1,0),A1(0,1,1),B132,12,1,
8、C32,-12,0.所以AA1=(0,0,1),B1C=(0,-1,-1),所以cos=AA1B1C|AA1|B1C|=00+0(-1)+1(-1)102+(-1)2+(-1)2=-22,所以=34,所以异面直线B1C与AA1所成的角为4.故选B.3.A设正三棱柱的棱长为2,取AC的中点D,连接DG,DB,分别以DA,DB,DG所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B1(0,3,2),F(1,0,1),E12,32,0,G(0,0,2),B1F=(1,-3,-1),EF=12,-32,1,GF=(1,0,-1).设平面GEF的法向量n=(x,y,z),则EFn=0,GFn
9、=0,即12x-32y+z=0,x-z=0,取x=1,则z=1,y=3,故n=(1,3,1)为平面GEF的一个法向量,所以cos=1-3-155=-35,所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为35,故选A.4.AC过点B作直线lAC,过点P作底面ABC的垂线PD,D为垂足,过点D作DFAB于点F,作DEl于点E,连接AD,BD,PF,PE.由题意可知,二面角P-AC-B的大小与二面角P-AB-C的大小相等,结合空间角的定义知PBE=,PBD=,PFD=,在RtPEB与RtPDB中,由PEPD,得sinsin,(,均为锐角).故A正确,B错误;在RtPDB与RtPDF中,由PBPF,得sin(,
10、均为锐角).故C正确;由于不存在PB=PF的可能,故D错误,故选AC.5.BCD对选项A,由图知AC1平面ACC1A1,EF平面ACC1A1=E,且EAC1.由异面直线的定义可知AC1与EF异面,故A错误;对于选项B,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1BC.D,F分别是AC,AB的中点,FDBC,B1C1FD.又B1C1平面DEF,DF平面DEF,B1C1平面DEF.故B正确;对于选项C,由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2),D(1,0,0),E(2,0,1),F(1,1,0).EF=(-1,1,-1),AC1=(-2,0,2
11、).EFAC1=2+0-2=0,EFAC1,EF与AC1所成的角为90.故C正确;对于选项D,设向量n=(x,y,z)是平面DEF的一个法向量.DE=(1,0,1),DF=(0,1,0),nDE=0,nDF=0,得x+z=0,y=0.取x=1,则z=-1,n=(1,0,-1).设点B1到平面DEF的距离为d.又DB1=(-1,2,2),d=|DB1n|n|=|-1+0-2|2=322,点B1到平面DEF的距离为322,故D正确.故选BCD.6.D以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,则M(2,2),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),ED1=
12、(-2,0,1),EF=(0,2,0),EM=(0,1),设平面D1EF的法向量n=(x,y,z),则nED1=-2x+z=0,nEF=2y=0,取x=1,得n=(1,0,2),点M到平面D1EF的距离为d=|EMn|n|=25=255,N为EM中点,故点N到平面D1EF的距离为55.7.7由题意可知,BAC=60,点B到平面ACC1A1的距离为3,点C到平面ABB1A1的距离为23,由于侧面和底面垂直,由面面垂直的性质定理可得,B到AC的距离为3,C到AB的距离为23,所以在三角形ABC中,AB=2,AC=4,BC=23,ABC=90,则AB1BC1=(BB1-BA)(BB1+BC)=4,|
13、AB1|=22,|BC1|=4,cos=AB1BC1|AB1|BC1|=4224=24,sin=1-242=144.故tan=7.8.(1)证明由直三棱柱ABC-A1B1C1得C1C平面ABC,AC,BC在平面ABC中,C1CAC,C1CBC.ABC为等腰直角三角形,ACB=90,AC=BC,且AB=2AC,由勾股定理得AP=AC2+PC2=BC2+PC2=BP,APB=60,ABP是等边三角形,则AP=AB=2AC,由勾股定理得PC=AP2-AC2=AC=12AA1=12CC1,P为CC1的中点.(2)解易知CA,CB,CC1两两垂直,以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,
14、y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,设AC=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,3),AB=(-2,2,0),AP=(-2,0,3),设平面ABP的法向量为n=(x,y,z),由nAB=0,nAP=0,得-2x+2y=0,-2x+3z=0,令x=3,得y=3,z=2,n=(3,3,2),又平面ACP的法向量为m=(0,1,0),cos=mn|m|n|=3122=32222,由图形可知,二面角B-AP-C为锐角,二面角B-AP-C的余弦值为32222.9.(1)证明如图所示,连接A1E,B1E,在等边三角形AA1C中,AE=EC,则A1EAC,平面ABC平面A1A
15、CC1,且平面ABC平面A1ACC1=AC,A1E平面ABC,故A1EBC.由三棱柱的性质可知A1B1AB,而ABBC,故A1B1BC,且A1B1A1E=A1,BC平面A1B1E,EF平面A1B1E,EFBC.(2)解在底面ABC内作EHAC,交AB于点H,以点E为坐标原点,EH,EC,EA1方向分别为x轴,y轴,z轴正方向建立空间直角坐标系E-xyz.设EH=1,则AE=EC=3,AA1=CA1=23,BC=3,AB=A1E=3,则A(0,-3,0),B32,32,0,A1(0,0,3),C(0,3,0),A1B=32,32,-3,BC=-32,32,0.由AB=A1B1可得点B1的坐标为B
16、132,332,3,利用中点坐标公式可得F34,334,3,由于E(0,0,0),故直线EF的方向向量为EF=34,334,3,设平面A1BC的法向量为m=(x,y,z),则mA1B=0,mBC=0,所以32x+32y-3z=0,-32x+32y=0,取x=1,则y=3,z=1,则平面A1BC的一个法向量为m=(1,3,1),所以cos=EFm|EF|m|=65352=45,设直线EF与平面A1BC所成角为,则sin=|cos|=45,故cos=35.10.解(1)因为多面体是由底面为ABCD的直四棱柱被截面AEFG所截而得到的,所以平面ADG平面BCFE,又因为平面ADG平面AEFG=AG,
17、平面BCFE平面AEFG=EF,所以AGEF,同理AEGF,所以四边形AEFG是平行四边形.连接AC,BD交于点O,以O为原点,OB,OC所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-3,0),B(1,0,0),E(1,0,1),F(0,3,5),所以AG=EF=(-1,3,4),AB=(1,3,0),所以BG=AG-AB=(-2,0,4),所以|BG|=(-2)2+0+42=25,所以BG的长为25.(2)根据题意可取平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),由(1)知AG=(-1,3,4),AE=(1,3,1),设平面AEFG的法向量为n=(x,y,z),
18、则由nAE=0,nAG=0,得x+3y+z=0,-x+3y+4z=0,令z=23,则x=33,y=-5,所以n=(33,-5,23),所以cos=mn|m|n|=23127+25+12=34,所以平面AEFG与底面ABCD的夹角的余弦值为34.11.B以A点为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),设F(t,1,1-t)(0t1),可得AC1=(1,1,1),B1F=(t-1,1,-t),
19、可得AC1B1F=0,故异面直线AC1与B1F所成的角是定值,故正确;三棱锥B-A1EF的底面A1BE面积为定值,且CD1BA1,点F是线段CD1上的一个动点,可得点F到底面A1BE的距离为定值,故三棱锥B-A1EF的体积是定值,故正确;A1F=(t,1,-t),B1C=(0,1,-1),B1D1=(-1,1,0),可得平面B1CD1的一个法向量为n=(1,1,1),可得cos不为定值,故错误.故选B.12.BC如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),E12,0,1,O12,12,1,所以BA
20、=(-1,0,0),BE=-12,0,1.设ABE=,则cos=|BABE|BA|BE|=55,sin=1-cos2=255.故A到直线BE的距离d1=|BA|sin=1255=255,故A错误;易知C1O=-12,-12,0,平面ABC1D1的一个法向量DA1=(0,-1,1),则点O到平面ABC1D1的距离d2=|DA1C1O|DA1|=122=24,故B正确;A1B=(1,0,-1),A1D=(0,1,-1),A1D1=(0,1,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则nA1B=0,nA1D=0,所以x-z=0,y-z=0,令z=1,得y=1,x=1,所以n=(1,1,1).
21、所以点D1到平面A1BD的距离d3=|A1D1n|n|=13=33.因为平面A1BD平面B1CD1,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离,所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为33,故C正确;因为AP=34AB+12AD+23AA1,所以AP=34,12,23,又AB=(1,0,0),则|APAB|AB|=34,所以点P到AB的距离d=|AP|2-|APAB|2|AB|2=181144-916=56,故D错误.13.解依题意,以C为原点,分别以CA,CB,CC1的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),可得C(0,0,0),A(2,0,0
22、),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).(1)证明:依题意,C1M=(1,1,0),B1D=(2,-2,-2),从而C1MB1D=2-2+0=0,所以C1MB1D.(2)依题意,CA=(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量,EB1=(0,2,1),ED=(2,0,-1).设n=(x,y,z)为平面DB1E的法向量,则nEB1=0,nED=0,即2y+z=0,2x-z=0.不妨设x=1,可得n=(1,-1,2).因此有cos=CAn|CA|n|=66,于是sin=306.所以,二面角B-B1E-D的
23、正弦值为306.(3)依题意,AB=(-2,2,0).由(2)知n=(1,-1,2)为平面DB1E的一个法向量,于是cos=ABn|AB|n|=-33.所以,直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为33.14.解(1)在棱BC上存在点E,使得CF平面PAE,点E为棱BC的中点.取PA的中点Q,连接EQ,FQ,由题意,FQAD,且FQ=12AD,CEAD,且CE=12AD,故CEFQ,且CE=FQ.四边形CEQF为平行四边形.CFEQ,又CF平面PAE,EQ平面PAE,CF平面PAE.(2)取AB中点M,PD平面ABCD,PDDM,PDDC,又易知DMDC,以D为坐标原点,分别以DM,DC,DP所
24、在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设FD=a,则D(0,0,0),F(0,0,a),C(0,2,0),B(3,1,0),A(3,-1,0).则FC=(0,2,-a),CB=(3,-1,0).设平面FBC的一个法向量为m=(x,y,z).由mFC=2y-az=0,mCB=3x-y=0,取x=1,得m=1,3,23a;取平面DFC的一个法向量为n=(1,0,0).由题意,66=|cos|=11+3+12a2,解得a=6.m=(1,3,2),AF=(-3,1,6).设直线AF与平面BCF所成的角为,则sin=|cos|=|mAF|m|AF|=23610=55.即直线AF与平面BCF所成的角
25、的正弦值为55.15.(1)证明由四边形ABCD是直角梯形,AB=3,BC=2AD=2,ABBC,可得DC=2,BCD=3,从而BCD是等边三角形,BD=2,BD平分ADC.E为CD的中点,DE=AD=1,BDAE,又PBAE,PBBD=B,AE平面PBD.又AE平面ABCD,平面PBD平面ABCD.(2)解存在.在平面PBD内作POBD于点O,连接OC,又平面PBD平面ABCD,平面PBD平面ABCD=BD,PO平面ABCD.PCO为PC与平面ABCD所成的角,则PCO=4,PB=PD,POBD,O为BD的中点,OCBD,OP=OC=3.以OB,OC,OP所在的直线分别为x轴,y轴,z轴建立
26、空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(0,3,0),D(-1,0,0),P(0,0,3),假设在侧面PCD内存在点N,使得BN平面PCD成立,设PN=PD+PC(0,0,+1),由题意得N(-,3,-3(+-1),BN=(-1,3,-3(+-1),PC=(0,3,-3),PD=(-1,0,-3),由BNPC=0,BNPD=0得3+3(+-1)=0,+1+3(+-1)=0,解得=15,=25,满足题意,N点到平面ABCD的距离为-3(+-1)=235.16.(1)证明取CD中点G,连接EG,FG.因为E,F分别是AB,PC的中点,所以FGPD,EGAD,因为FGEG=G,所以平面EFG平面PA
27、D.因为EF平面EFG,所以EF平面PAD.(2)解存在.理由如下,因为BCAB,BCPB,且ABPB=B.所以BC平面PAB,又BCAD,所以AD平面PAB,所以PAAD,又因为ABAD,PAAB,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=a,则PB=BC=3-a,由PBAB,得0a32,PA=9-6a,所以A(0,0,0),C(a,3-a,0),P(0,0,9-6a),D(0,3,0),所以DC=(a,-a,0),DP=(0,-3,9-6a).设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则DCn=ax-ay=0,DPn=-3y+z9-6a=0,令y=1,则n=1,1,39-6a,又平面CDE的一个法向量m=(0.0,1),依题意,有155=|cos|=|nm|n|m|,所以155=39-6a2+33-2a,解得a=1,即AB的长为1.故存在满足条件的点B,此时AB的长为1.
