新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题25双变量问题（附解析）.doc

1、微专题25双变量问题1已知函数f(x)aex(a0)，g(x)x2.(1)当a2时，求曲线f(x)与g(x)的公切线方程；(2)若yf(x)g(x)有两个极值点x1，x2，且x23x1，求实数a的取值范围解：【题后师说】当一个不等式中出现多个未知数，如何减少变元的个数就成为解决问题的关键“减元”是在“消元”的思想下进行的，通过“消元”减少变量的个数，可使问题变得简单、易于解决减元的常用手段有：换元、整体代入、消去常数等2已知函数f(x)xlnxx2xa(aR)在其定义域内有两个不同的极值点(1)求a的取值范围；(2)记两个极值点为x1，x2，且x1x2.若1，证明：e1g(x2)，则f(x)m

2、ing(x)max；x1D，x2E，使得f(x1)g(x2)，则f(x)ming(x)min；x1D，x2E，使得f(x1)g(x2)，则f(x)maxg(x)min.微专题25双变量问题1解析：(1)当a2时，f(x)2ex，设曲线f(x)上的切点为(x1，2ex1)，则切线方程为y2ex12ex1(xx1)，设曲线g(x)上的切点为(x2，x)，则切线方程为yxx2(xx2)，由两条切线重合得则所以公切线方程为y2x2.(2)yf(x)g(x)aexx2，yaexx，因为x1，x2是yf(x)g(x)的极值点，所以aex1x1aex2x20，所以a.令x2kx1(k3)，可得，则x1.设h

3、(x)(x3)，则h(x)，令t(x)1lnx(x3)，则t(x)0，t(x)单调递减，得t(x)t(3)ln30，所以h(x)0，所以x1.令(x)，(x)，则(x)在(，1上递增，所以a.2解析：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)lnxax，f(x)在(0，)有两个不同极值点，即方程lnxax0在(0，)有两个不同根，即方程a在(0，)有两个不同根，令g(x)，x(0，)，则g(x)，则当0x0，xe时，g(x)1时，g(x)0，当0x1时，g(x)0，所以a的取值范围为(0，).(2)证明：要证e1x1x，两边取对数，等价于要证1lnx1lnx2，由(1)可知x1，

4、x2分别是方程lnxax0的两个根，即lnx1ax1，lnx2ax2所以原式等价于10，0x1.又由lnx1ax1，lnx2ax2作差得，lna(x1x2)，即a.所以原式等价于，令t，t(0，1)，则不等式lnt0，所以h(t)在t(0，1)上单调递增，又h(1)0，h(t)0，所以ln在t(0，1)恒成立，所以原不等式恒成立3解析：(1)当m1时，f(x)ex1，f(x)，令u(x)x2ex1lnx1，易知u(x)在(0，)上单调递增，且u(1)0，所以当x(0，1)时u(x)0，此时f(x)0，此时f(x)0；所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，).(2)依题

5、意可得：emx1m恒成立，且等号能够取到构造关于m的函数g(m)emx1m，g(m)xemx11，令g(m)0，得m；令g(m)0，得m0).g(x)(2a1)x2a，若a，令g(x)0，得极值点x11，x2，当x2x11，即a0，在(1，x2)上有g(x)0，此时g(x)在区间(x2，)上是增函数，并且在该区间上有g(x)(g(x2)，)，不合题意；当x2x11，即a1时，同理可知，g(x)在区间(1，)上，有g(x)(g(1)，)，也不合题意；若a，则有2a10，此时在区间(1，)上恒有g(x)0，从而g(x)在区间(1，)上是减函数；要使g(x)0在此区间上恒成立，只需g(1)a0，所以a，综上，当a，时，函数f(x)的图象恒在直线y2ax下方(2)当a时，由(1)中知g(x)在(0，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数，所以对任意x1(0，2)，都有g(x1)g(1)，又已知存在x21，2，使g(x1)h(x2)，即存在x21，2，x22bx，即存在x21，2，2bxx2，即存在x21，2，使2bx.因为yx，(x1，2)，所以2b，解得b，所以实数b的取值范围是(，.