1、2015年杨浦区第三次模拟考试（理科试卷）满分150分，时间120分钟2015.05.14一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.已知集合，集合，则 .2.在复平面中，复数（是虚数单位）对应的点在第 象限.3.若函数的反函数是，则 .4.下面是一个算法的程序框图，当输入值为8时，则其输出的结果是 .5.若函数在上的最大值与最小值的和为3，则 .6.在极坐标系中，是极点，设点，则的面积是 .7.过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率 .8.将曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐
2、标缩小到原来的倍后，得到曲线的焦点坐标为 .9.在数列中，其中为常数，则的值是 .10.在上定义运算，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 .11.若存在正数使成立，则实数的取值范围是 .12.关于平面向量，有下列三个命题：若，则； 若，则 ； 非零向量和满足，则与的夹角为.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）13.在平行四边形中，是与的交点，分别是线段的中点，在中任取一点记为，在中任取一点，记为，设为满足向量的点，则在上述的点组成的集合中的点，落在平行四边形外（不含边界）的概率为_.14.已知二次函数，对于满足且的任意实数与，总有成立，则实数的取值范围为_.二、选择题（本题共
3、4题，满分20分）每题只有一个正确答案，考生在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分.15.等差数列中，若，则（ ）A. B. C. D. 16.设，则是的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件17.已知两个不同的平面与三条不同的直线，给出下列四个命题若，则；若，则 ；若，则 ；若 ，则.那么上述命题正确的是（ ）A. B. C. D. 18.气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： 甲地：5个数据的中位数为，众数为； 乙地：5
4、个数据的中位数为，总体均值为； 丙地：5个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为； 则肯定进入夏季的地区有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个三、解答题（本大题74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）求函数的值域和最小正周期.20. （本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知正三棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成角大小为.（1）求此正三棱锥的体积；（2）求异面直线与的距离.21. （本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知二次函数，若不等式
5、的解集为.（1）解关于的不等式：；（2）是否存在实数，使得关于的函数的最小值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.22. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在复平面上，点所对应的复数（为虚数单位），是某给定复数，复数所对应的点为，我们称点经过变化成为了点，记作.（1）给出，且，求点的坐标；（2）给出，若点在椭圆上，求的取值范围；（3）已知点在双曲线上运动，试问是否存在，使得在双曲线上运动？若存在，求出；若不存在，说明理由.23. （本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知以为首项的数列满足：.（1）若，求证：；（2）若，求使对任意正整数都成立的与；（3）若，且，试求所有可能的的值的和.
