1、平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例【基础全面练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1(2021泰安高一检测)已知作用在坐标原点的三个力F1(3，4)，F2(2，5)，F3(3，1)，则作用在原点的合力FF1F2F3的坐标为()A(8，0) B(8，8)C(2，0) D(2，8)【解析】选A.F1(3，4)，F2(2，5)，F3(3，1)，则FF1F2F3(323，451)(8，0).2如图，在重600 N的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30，60，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为()A300 N，300 N B150 N，150 NC300 N，300
2、 N D300 N，300 N【解析】选C.作OACB，使AOC30，BOC60.在OACB中，ACOBOC60，OAC90，|cos 30300 N，|sin 30300 N，|300 N3在等腰直角三角形ABC中，AC是斜边，且，则该三角形的面积等于()A B C D1【解析】选A.设RtABC的直角边长为a，则斜边长为a，于是aaa2，从而a，于是SABC.4已知，是非零向量，且满足(2)，(2)，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形【解析】选C.因为(2)，所以(2)0，即20，因为(2)，所以(2)0，即20，所以2，即|，则cos A，所以A
3、60，所以ABC为等边三角形二、填空题(每小题5分，共10分)5一条渔船距对岸4 km，以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为8 km，则河水的流速是_km/h.【解析】如图，用v1表示河水的流速，v2表示船的速度，则vv1v2为船的实际航行速度由图知，|4，|8，则AOB60.又|v2|2，所以|v1|v2|tan 602.即河水的流速是2 km/h.答案：26在四边形ABCD中，已知(4，2)，(7，4)，(3，6)，则四边形ABCD的面积是_【解析】(3，6).又因为(4，2)(3，6)0，所以四边形ABCD为矩形，所以|2，|3，所以S|2330.答案：
4、30三、解答题(每小题10分，共20分)7设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|1，|F2|2，且F1与F2的夹角为 ，如图所示(1)求F3的大小；(2)求F2与F3的夹角【解析】(1)由题意|F3|F1F2|，因为|F1|1，|F2|2，且F1与F2的夹角为，所以|F3|F1F2|.(2)设F2与F3的夹角为，因为F3(F1F2)，所以F3F2F1F2F2F2，所以2cos 124，所以cos ，所以.8在直角梯形ABCD中，ABCD，CDADAB90，CDDAAB，求证：ACBC.【证明】方法一：因为CDADAB90，ABCD，CDDAAB，故可设e1，e2，|e1
5、|e2|，则2e2.所以e1e2，(e1e2)2e2e1e2.而(e1e2)(e1e2)ee|e1|2|e2|20，所以，即ACBC.方法二：如图，建立平面直角坐标系，设CD1，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，1).所以(1，1)，(1，1).所以(1，1)(1，1)110.所以ACBC.【综合突破练】(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的个数是()绳子的拉力不断增大；绳子的拉力不断变小；船的浮力不断变小；船的浮力保持不变A1 B2 C3 D4【解析】选
6、B.设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向的夹角为.则|F|cos |f|，所以|F|.因为增大，cos 减小，所以|F|增大因为|F|sin 增大，所以船的浮力减小2(多选题)点O在ABC所在的平面内，则以下说法正确的有()A若0，则点O为ABC的重心B若()0，则点O为ABC的垂心C.若()()0，则点O为ABC的外心D若，则点O为ABC的内心【解析】选AC.选项A，设D为BC的中点，由于()2，所以O为BC边上中线的三等分点(靠近点D)，所以O为ABC的重心选项B，向量，分别表示在边AC和AB上取单位向量和，记它们的差是向量，则当0，即OABC时，点O在BAC的平分线上，同理由0，知
7、点O在ABC的平分线上，故O为ABC的内心选项C，是以，为邻边的平行四边形的一条对角线，而|是该平行四边形的另一条对角线，()0表示这个平行四边形是菱形，即|，同理有|，于是O为ABC的外心选项D，由得0，所以()0，即0，所以.同理可证，.所以OBCA，OACB，OCAB，即点O是ABC的垂心二、填空题(每小题5分，共10分)3如图，设P为ABC内一点，且220，则SABPSABC_【解析】设AB的中点是D.因为2，所以，所以P为CD的五等分点，所以ABP的面积为ABC的面积的.答案：4(2021潍坊高一检测)如图所示，把一个物体放在倾斜角为30的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用
8、，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2.已知|F1|80 N，则G的大小为_，F2的大小为_【解析】根据题意，F1F2G，如图所示：CAO90，AOC30，AC80，所以OC160，OA80，所以G的大小为160 N，F2的大小为80 N.答案：160 N80 N【加固训练】 如图所示，在倾斜角为37(sin 370.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑至底部，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为_J，重力所做的功为_J(g9.8 m/s2).【解析】物体m的位移大小为|s|(m)，则支持力对物体m所做的功为W
9、1Fs|F|s|cos 900(J)；重力对物体m所做的功为W2Gs|G|s|sin 3759.80.698(J).答案：098三、解答题(每小题10分，共20分)5已知两恒力F1(3，4)，F2(6，5)作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0).(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功【解析】(1)，力F1对质点所做的功W1F1(3，4)(13，15)3(13)4(15)99，力F2对质点所做的功W2F2(6，5)(13，15)6(13)(5)(15)3，所以力F1，F2对质点所做的功分别为99和3.(2)WF(F1F2)F1F2
10、993102.6.如图，已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(1，4).(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值【解析】(1)因为A(2，1)，B(3，2)，D(1，4)，所以(1，1)，(3，3).所以1(3)130，所以，所以ABAD.(2)因为，四边形ABCD为矩形，所以.设点C的坐标为(x，y)，则(x1，y4).又因为(1，1)，所以解得所以点C的坐标为(0，5).所以(2，4).又(4，2)，所以|2，|2，8816.设与的夹角为，则cos .故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.【加固训练】 已知在RtABC中，C90，设ACm，BCn.(1)若D为斜边AB的中点，求证：CDAB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于点F，求AF的长度(用m，n表示).【解析】(1)以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n，0).因为D为AB的中点，所以D.所以|，|，所以|，即CDAB.(2)因为E为CD的中点，所以E，设F(x，0)，则，(x，m).因为A，E，F三点共线，所以，即(x，m).则故，x，所以F，所以|，即AF.
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