1、第八章第五节一、选择题1(文)(2014广东文)若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()A实半轴长相等 B虚半轴长相等C离心率相等D焦距相等答案D解析0k5，两方程都表示双曲线，由双曲线中c2a2b2得其焦距相等，选D(理)(2014广东理)若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A焦距相等 B实半轴长相等C虚半轴长相等D离心率相等答案A解析由0k0)的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线C上一点，则POF的大小不可能是()A15B25C60D165答案C解析双曲线的渐近线方程为0，两渐近线的斜率k，渐近线的倾斜角分别为30，150，所以POF的大小不可能是60.(理)已知双曲线1(a0，b
2、0)的渐近线方程为yx，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为()A1B1C1D1答案A解析由渐近线方程为yx知，ab，又顶点到渐近线距离为1，1，由得，a2，b，选A3(文)(2013保定调研)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y248x的准线上则双曲线的方程为()A1B1C1D1答案B解析由题意可知解得所以选B(理)(2014甘肃兰州、张掖诊断)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为()A1B1C1D1答案C解析因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线
3、的一个交点为(3,4)，所以c5，又c2a2b2，所以a3，b4，所以以此双曲线的方程为1.4(2014山东烟台一模)双曲线C1的中心在原点，焦点在x轴上，若C1的一个焦点与抛物线C2：y212x的焦点重合，且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为4，则双曲线C1的实轴长为()A6B2CD2答案D解析设双曲线C1的方程为1(a0，b0)由已知，抛物线C2的焦点为(3,0)，准线方程为x3，即双曲线中c3，a2b29，又抛物线C2的准线过双曲线的焦点，且交双曲线C1所得的弦长为4，所以2，与a2b29联立，得a22a90，解得a，故双曲线C1的实轴长为2，故选D5(2013广东六校联考)在平面
4、直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(5,0)和C(5,0)，若顶点B在双曲线1上，则为()ABCD答案C解析设ABC中角A、B、C所对的边分别是a、b、c，由正弦定理得，由双曲线的标准方程和定义可知，A、C是双曲线的焦点，且|AC|10，|BC|AB|8.所以，故选C6(文)(2014江西赣州四校联考)已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径的两个圆的位置关系为()A相交B相切C相离D以上情况都有可能答案B解析设以线段PF1，A1A2为直径的两圆的半径分别为r1，r2，若P在双曲线左支上，如图所示，则|O
5、2O|PF2|(|PF1|2a)|PF1|ar1r2，即圆心距为两圆半径之和，两圆外切若P在双曲线右支上，同理求得|OO1|r1r2，故此时两圆内切综上，两圆相切，故选B(理)如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，当动点M在底面ABCD内运动时，总有：D1AD1M，则动点M在面ABCD内的轨迹是()上的一段弧()A圆B椭圆C双曲线D抛物线答案A解析因为满足条件的动点在底面ABCD内运动时，动点的轨迹是以D1D为轴线，以D1A为母线的圆锥，与平面ABCD的交线即圆的一部分故选A二、填空题7(文)已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mxy0，若m为集合1,2,3,4,5,6,7,8
6、,9中任意一个值，则使得双曲线的离心率大于3的概率是_答案解析由题意知双曲线方程可设为m2x2y21，从而e3，m0，m2，故所求概率是，故填.(理)(2014浙江)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_答案解析联立渐近线与直线方程可解得A(，)，B(，)，则kAB，设AB的中点为E，由|PA|PB|，可知AB的中点E与点P两点连线的斜率为3，6，化简得4b2a2，所以e.8(2014温州十校联考)过双曲线1(a0，b0)的左焦点F作圆x2y2a2的两条切线，记切点分别为A、B，双曲线的左顶点为C
7、，若ACB120，则双曲线的离心率e_.答案2解析连接OA，根据题意以及双曲线的几何性质，|FO|c，|OA|a，而ACB120，AOC60，又FA是圆O的切线，故OAFA，在RtFAO中，容易得到|OF|2a，e2.9(文)(2013北京大兴模拟)已知双曲线1(a0，b0)的左顶点与抛物线y22px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2，1)，则双曲线的焦距为_答案2解析由解得由题意得得又已知a4，故a2，b1，c.所以双曲线的焦距2c2.(理)(2014深圳调研)已知双曲线C：1(a0，b0)与椭圆1有相同的焦点，且双曲线C的渐近线方程为y2x，则双曲
8、线C的方程为_答案x21解析易得椭圆的焦点为(，0)，(，0)，a21，b24，双曲线C的方程为x21.三、解答题10(文)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)在(2)的条件下，求F1MF2的面积解析(1)e，可设双曲线方程为x2y2(0)，双曲线过点(4，)，1610，即6，双曲线方程为1.(2)证明：法1：由(1)可知，双曲线中ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2，点M(3，m)在双曲线上，m23，kMF1kMF21，MF1MF2，即0.
9、法2：(23，m)，(23，m)，(23)(23)m23m2，点M在双曲线上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底边长|F1F2|4，F1MF2的高h|m|，SF1MF26.(理)(2013铜陵一模)若双曲线E：y21(a0)的离心率等于，直线ykx1与双曲线E的右支交于A，B两点(1)求k的取值范围；(2)若|AB|6，点C是双曲线上一点，且m()，求k，m的值解析(1)由得故双曲线E的方程为x2y21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.直线与双曲线右支交于A，B两点，故即所以1k.(2)由得x1x2，x1x2，|AB|26，整理得28k455k2
10、250，k2或k2.又1k0，a0)与抛物线yx2有一个公共焦点F，双曲线的过点F且垂直于y轴的弦长为，则双曲线的离心率等于()A2BCD答案B解析双曲线与抛物线x28y的公共焦点F的坐标为(0,2)，由题意知(，2)在双曲线上，于是，得a23，b21，故e，故选B(理)(2013安徽皖南八校联考)设F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使0，且F1PF2的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为()ABC2D5答案D解析设|PF1|m，|PF2|n，且mn，|F1F2|2c，由题可知F1PF2为直角三角形且F1F2为斜边由双曲线的几何性质和直角三角形
11、的勾股定理得由得代入得(2c2a)2(2c4a)24c2，整理得c26ac5a20，等式两边同时除以a2得e26e50，解得e5或e1.因为双曲线的离心率e1，所以e5.12(2014重庆理)设F1，F2分别为双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|ab，则该双曲线的离心率为()ABCD3答案B解析由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|3b，所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)29b24a2，即4|PF1|PF2|9b24a2，又4|PF1|PF2|9ab，因此9b24a29ab，即9()240，则
12、(1)(4)0，解得(舍去)，则双曲线的离心率e.13(2014湖北文)设a，b是关于t的方程t2costsin0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线1的公共点的个数为()A0B1C2D3答案A解析关于t的方程t2costsin0的两个不等实根为0，tan(tan0)，A(0,0)，B(tan，tan2)，则过A，B两点的直线方程为yxtan，双曲线1的渐近线方程为yxtan，所以直线yxtan与双曲线没有公共点，故选A14(文)若原点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()A32，)B32，)
13、C，)D，)答案B解析a21224，a23，双曲线方程为y21.设P点坐标为(x，y)，则(x，y)，(x2，y)，y21，x22xy2x22x1x22x1(x)2.又x(右支上任意一点)，32.故选B(理)设F1、F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|F1F2|，且cosPF1F2，则双曲线的渐近线方程为()A3x4y0B3x5y0C4x3y0D5x4y0答案C解析在PF1F2中，由余弦定理得，cosPF1F2.所以|PF1|c.又|PF1|PF2|2a，即c2c2a，所以ca.代入c2a2b2得.因此，双曲线的渐近线方程为4x3y0.二、填空题
14、15(文)(2013湖南)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，若在C上存在一点P，使PF1PF2，且PF1F230，则C的离心率为_答案1解析由已知可得，|PF1|2ccos30c，|PF2|2csin30c，由双曲线的定义，可得cc2a，则e1.(理)(2014山东日照模拟)已知F1，F2为双曲线1(a0，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P和Q.且F1PQ为正三角形，则双曲线的渐近线方程为_答案yx解析设F2(c,0)(c0)，P(c，y0)，代入双曲线方程得y0，PQx轴，|PQ|.在RtF1F2P中，PF1F230，|F1F2|PF2|，即2c.又c2a
15、2b2，b22a2或2a23b2(舍去)，a0，b0，.故所求双曲线的渐近线方程为yx.16P为双曲线x21右支上一点，M、N分别是圆(x4)2y24和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最大值为_答案5解析双曲线的两个焦点为F1(4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r12，r21，|PM|max|PF1|2，|PN|min|PF2|1，故|PM|PN|的最大值为(|PF1|2)(|PF2|1)|PF1|PF2|35.三、解答题17(文)(2013江苏泰州质检)已知点N(1,2)，过点N的直线交双曲线x21于A，B两点，且()(1)求直线AB的方程；(2)若过N的另一条直
16、线交双曲线于C，D两点，且0，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？解析(1)由题意知直线AB的斜率存在设直线AB：yk(x1)2，代入x21得，(2k2)x22k(2k)x(2k)220.(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两根，2k20且x1x2.()，N是AB的中点，1，k(2k)k22，k1，AB的方程为yx1.(2)将k1代入方程(*)得x22x30，x1或x3，不妨设A(1,0)，B(3,4)0，CD垂直平分ABCD所在直线方程为y(x1)2，即y3x，代入双曲线方程整理得x26x110，令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中点M(x0，y
17、0)，则x3x46，x3x411，x03，y06，即M(3,6)|CD|x3x4|4，|MC|MD|CD|2，|MA|MB|2，即A，B，C，D到M的距离相等，A，B，C，D四点共圆(理)(2014广东肇庆一模)设双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点坐标为(，0)，离心率e，A，B是双曲线上的两点，AB的中点为M(1,2)(1)求双曲线C的方程；(2)求直线AB的方程；(3)如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C，D两点，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？解析(1)依题意得解得a1.所以b2c2a2312，故双曲线C的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两式相减
18、得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，由题意得x1x2，x1x22，y1y24，所以1，即kAB1.故直线AB的方程为yx1.(3)假设A，B，C，D四点共圆，且圆心为P.因为AB为圆P的弦，所以圆心P在AB的垂直平分线CD上又CD为圆P的弦且垂直平分AB，故圆心P为CD中点M.下面只需证CD的中点M满足|MA|MB|MC|MD|即可由得A(1,0)，B(3,4)由此可得直线CD方程：yx3.由得C(32，62)，D(32，62)，所以CD的中点M(3,6)因为|MA|2，|MB|2，|MC|2，|MD|2，所以|MA|MB|MC|MD|，即A，B，C，D四点在以点M(3,6)为
19、圆心，2为半径的圆上18(文)已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线与圆x2y210x200相切过点P(4,0)作斜率为的直线l，交双曲线左支于A、B两点，交y轴于点C，且满足|PA|PB|PC|2.(1)求双曲线的标准方程；(2)设点M为双曲线上一动点，点N为圆x2(y2)2上一动点，求|MN|的取值范围解析(1)设双曲线的渐近线方程为ykx，因为渐近线与圆(x5)2y25相切，则，即k，所以双曲线的渐近线方程为yx.设双曲线方程为x24y2m，将y(x4)代入双曲线方程中整理得，3x256x1124m0.所以xAxB，xAxB.因为|PA|PB|PC|2，点P、A、B、C共线，且点
20、P在线段AB上，则(xPxA)(xBxP)(xPxC)2，即(xB4)(4xA)16.所以4(xAxB)xAxB320.于是4()320，解得m4.故双曲线方程是x24y24，即y21.(2)设点M(x，y)，圆x2(y2)2的圆心为D，则x24y24，点D(0,2)所以|MD|2x2(y2)24y24(y2)25y24y85(y)2.所以|MD|，从而|MN|MD|.故|MN|的取值范围是，)(理)已知斜率为1的直线l与双曲线C：1(a0，b0)相交于B、D两点，且BD的中点为M(1,3)(1)求C的离心率；(2)设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|BF|17，证明：过A、B、D三点的圆与
21、x轴相切解析(1)由题意知，l的方程为：yx2，代入C的方程并化简得，(b2a2)x24a2x4a2a2b20.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，由M(1,3)为BD的中点知1，故1，即b23a2，故c2a，C的离心率e2.(2)由知，C的方程为3x2y23a2，A(a,0)，F(2a,0)，x1x22，x1x20，故不妨设x1a，x2a，|BF|a2x1，|FD|2x2a，|BF|FD|(a2x1)(2x2a)4x1x22a(x1x2)a25a24a8.又|BF|FD|17，故5a24a817，解得a1，或a.故|BD|x1x2|6.连接MA，则由A(1,0)，M(1,3)知|MA|3，从而MAMBMD，DAB90，因此以M为圆心，MA为半径的圆过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切
