1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.3二项式定理与杨辉三角第1课时二项式定理学 习 任 务核 心 素 养1能用计数原理证明二项式定理2掌握二项式定理及二项展开式的通项公式(重点)3能解决与二项式定理有关的简单问题(重点、难点)1通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养2借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养三个箱子均装着标有a，b字母的两个大小，形状一样的球，从每个箱子摸出一个球，共摸出3个球，有哪些可能结果？每一种结果有多少种情形？问题：类比上述结果你能联想出(ab)3展开式的形式吗？提示(ab)3Ca3b0Ca2bCab2Ca0b3知识点二项式定理及相关的概念二项式定理概
2、念公式(ab)nCanCan1bCan2b2CanrbrCbn(nN)称为二项式定理二项式系数各项系数C(r0,1,2，n)叫做展开式的二项式系数二项式通项Canrbr是展开式中的第r1项，可记做Tr1Canrbr(其中0rn，rN，nN)二项展开式CanCan1bCan2b2CanrbrCbn(nN)1二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？提示二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念二项式系数是指C，C，C，而项的系数是指该项中除了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关2二项式(ab)n与(ba)n展开式的第k1项是否相同？提示不同(ab)n展开式中第k1项为C
3、ankbk，而(ba)n展开式中第k1项为Cbnkak1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)(ab)n展开式中共有n项()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响()(3)Canrbr是(ab)n展开式中的第r项()(4)(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同()答案(1)(2)(3)(4)2(x1)n的展开式共11项，则n等于()A9 B10C11 D12B由n111，可知n10 类型1二项式定理的正用、逆用【例1】(1)用二项式定理展开；(2)化简：C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)rC(x1)nr(1)nC思路点拨(1)二项式的指数为5，且为两项的
4、和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解解(1)C(2x)5C(2x)4C32x5120x2(2)原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nr(1)rC(1)n(x1)(1)nxn1展开二项式可以按照二项式定理进行展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件2对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便3对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数1(1)求的展开式；(2)化简：12C4C2nC解(1)法一：C(
5、3)4C(3)3C(3)2C(3)C81x2108x54法二：(81x4108x354x212x1)81x2108x54(2)原式12C22C2nC(12)n3n 类型2二项式系数与项的系数问题【例2】(1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)(对接教材P33习题33AT2)求的展开式中x3的系数思路点拨利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解解(1)由已知得二项展开式的通项为Tr1C(2)6r(1)rC26rx，T612x第6项的二项式系数为C6，第6项的系数为C(1)212(2)Tr1Cx9r(1)rCx92r，令92r3，r3，即展开式
6、中第四项含x3，其系数为(1)3C841二项式系数都是组合数C(r0,1,2，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念2第r1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C例如，在(12x)7的展开式中，第四项是T4C173(2x)3，其二项式系数是C35，而第四项的系数是C232802求的展开式的第三项的系数和常数项解T3C(x3)3Cx5，所以第三项的系数为C通项Tr1C(x3)5rCx155r，令155r0，得r3，所以常数项为T4C(x3)2 类型3求展开式中的特定项1如何求展开式中的常数项？提示利用二项展开
7、式的通项Cx4rCx42r求解，令42r0，则r2，所以展开式中的常数项为C62(ab)(cd)展开式中的每一项是如何得到的？提示(ab)(cd)展开式中的各项都是由ab中的每一项分别乘以cd中的每一项再把积相加而得到3如何求(2x1)3展开式中含x的项？提示(2x1)3展开式中含x的项是由x中的x与分别与(2x1)3展开式中常数项C1及x2项C22x212x2分别相乘再把积相加得xCC(2x)2x12x13x即(2x1)3展开式中含x的项为13x【例3】已知在的展开式中，第6项为常数项(1)求n；(2)求含x2项的系数思路点拨解通项公式为：Tr1Cx (3)rxC(3)rx(1)第6项为常数
8、项，r5时，有0，即n10(2)令2，得r(106)2，所求的系数为C(3)2405(变结论)求展开式中所有的有理项解由题意得，令k(kZ)，则102r3k，即r5krZ，k应为偶数，k2,0，2，即r2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，61 236,295 245x21求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第r项，TrCanr1br1；(2)求含xr的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；(4)求有理项2求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数
9、的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致3(1)在(1x3)(1x)10的展开式中，x5的系数是_(2)若展开式的常数项为60，则常数a的值为_(1)207(2)4(1)x5应是(1x)10中含x5项、含x2项分别与1，x3相乘的结果，其系数为CC(1)207(2)的展开式的通项是Tr1Cx6r()rx2rCx63r()r，令63r0，得r2，即当r2时，Tr1为常数项，即常数项是Ca，根据已知得Ca60，解得a41在(x)10的展开式中，含
10、x6的项的系数是()A27C B27C C9C D9CD含x6的项是T5Cx6()49Cx62在的展开式中常数项是()A28 B7 C7 D28CTr1C(1)rCx，当8r0，即r6时，T7(1)6C73的展开式的中间项为()A40 B40x2 C40 D40x2B的展开式的通项为Tk1C(2x)6k，则中间项为T4C(2x)32023x40x24(1x)10的展开式中第7项为_210x6T7C(x)6210x65化简：C2nC2n1C2nkC_3n原式(12)n3n回顾本节内容，自我完成以下问题：1二项式定理有何特点？提示展开式的特点：(1)展开式共有n1项，各项中a，b的指数和都是n；(2)a按降幂排列，指数由n逐项减1直到0；b按升幂排列，指数由0逐项加1直到n(3)二项展开式的通项公式中b的指数和组合数的上标相同，a与b的指数之和为n2二项展开式的通项公式有哪些方面的应用？提示二项展开式的通项公式体现了二项展开式的项数、系数、a与b的指数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大项等)及系数等方面有着广泛的应用- 8 - 版权所有高考资源网
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