1、1.2椭圆的简单性质课后作业提升1.已知点(3,2)在椭圆x2a2+y2b2=1上,则()A.点(-3,-2)不在椭圆上B.点(3,-2)不在椭圆上C.点(-3,2)在椭圆上D.以上都不对解析:由椭圆的图像既关于x轴、y轴成轴对称,又关于坐标原点成中心对称可知选C.答案:C2.椭圆x2a2+y2b2=1和x2a2+y2b2=k(k0)具有()A.相同的长轴B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的离心率答案:D3.(2013广东高考)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于12,则C的方程是()A.x23+y24=1B.x24+y23=1C.x24+y22=1D.x24+y23=1
2、解析:由中心在原点的椭圆C的右焦点F(1,0)知,c=1.又离心率等于12,则ca=12,得a=2.由b2=a2-c2=3,故椭圆C的方程为x24+y23=1.答案:D4.已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在一点P,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为()A.53B.23C.22D.59解析:如图所示,PF与圆相切于点A,且A为PF的中点.设点F1为椭圆的另一个焦点.又O为F1F的中点,|PF1|+|PF|=2a,|PF1|=2|AO|=2b,|PF|=2a-2b,|PF|2=|AF|=a-b.在RtOAF中,|OA|=b,|OF|=c,c2=b2+(a-
3、b)2,即3b=2a,令a=3,则b=2,c=5,e=53.答案:A5.已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),长轴长是短轴长的3倍,则椭圆的标准方程是.答案:x29+y2=1或y281+x29=16.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为32,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为.解析:由题设,知2a=12,ca=32,a=6,c=33,b=3,椭圆G的方程为x236+y29=1.答案:x236+y29=17.已知椭圆x2+8y2=8,在椭圆上求一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最小,并求出最小值.分析:本题的基本思路是利用直线与椭圆的位置关系,
4、求出与l平行且与椭圆相切的直线方程,取与l距离最近的直线方程,求出该直线与l的距离,即为所求的最小值.解:设与直线x-y+4=0平行且与椭圆相切的直线方程为x-y+a=0.由x2+8y2=8,x-y+a=0,得9y2-2ay+a2-8=0.由=4a2-36(a2-8)=0,解得a=3或a=-3.所以与直线l距离较近的切线方程为x-y+3=0.所以最小距离为d=|4-3|2=22.此时,由x2+8y2=8,x-y+3=0,得x=-83,y=13,即所求点为P-83,13.8.已知直线y=-x+1与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点.(1)若椭圆的离心率为22,焦距为2,求线段A
5、B的长;(2)若向量OA与向量OB互相垂直(其中O为坐标原点),当椭圆的离心率e12,22时,求椭圆长轴长的最大值.解:(1)e=22,2c=2,a=2,c=1,则b=a2-c2=1,椭圆的方程为x22+y2=1,联立x22+y2=1,y=-x+1,消去y得3x2-4x=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则A43,-13,B(0,1),|AB|=432.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),OAOB,OAOB=0,即x1x2+y1y2=0,由x2a2+y2b2=1,y=-x+1,消去y得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0,由=(-2a2)2-4a2(a2+b2)(1-b2)0,整理得a2+b21,又x1+x2=2a2a2+b2,x1x2=a2(1-b2)a2+b2,y1y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1,由x1x2+y1y2=0,得2x1x2-(x1+x2)+1=0,2a2(1-b2)a2+b2-2a2a2+b2+1=0,整理得a2+b2-2a2b2=0,b2=a2-c2=a2-a2e2,代入上式得2a2=1+11-e2,a2=121+11-e2.12e22,14e212,121-e234,4311-e22,731+11-e23,76a232,适合条件a2+b21,由此得426a62,4232a6,故长轴长的最大值为6.
