1、 第4讲：函数零点的综合应用一设计思路若对零点及其应用设计大单元的微专题设计，就必须深入思考零点及其应用的教学意义和价值，它究竟在高中函数板块的学习中起着什么样的作用？我认为其价值有：1.凸显了函数的应用价值，即方程求根实际上并不是普遍的方法，随着方程形式越发复杂，求精确根已经是次要的了，重要的是探讨根的存在性，只要存在，总可以设计算法求出近似解，这已经是现代计算数学的基本特点了.而存在性的分析就需要借助整体的性态.若零点存在是一个局部现象的话，我们对局部问题的分析从整体角度入手，这是数学发展中最重要的思想.2.既然零点的分析凸显函数的价值，那么零点问题实际就是一个分析函数整体形态的问题，这也
2、就是为何零点是必考内容的原因了.考察零点，就是考察学生分析函数的能力.3.着重提高直观想象能力，分析零点离不开函数图象，而作图能力又进一步会提升分析函数形态的逻辑推理能力.基于上述三点分析，可以肯定的是：零点是函数应用中最重要的载体，零点的微专题拔高设计就应该突出对作图能力的提升，以及对函数性质的分析.在上述目标之下，再引入一些常见的零点问题的处理手法，分离参数，多变量零点的处理等常见题型，为后续学完导数后再次应用零点奠定坚实的基础. 于是，我将在导数之前常见的零点问题做了如下归类，即图象分析类的选填部分与函数性态分析综合解答题部分两块，然后再梳理一些常见题型. 二.图象分析的零点题型题型1.
3、 已知函数，讨论一元二次型方程根的个数.解法剖析：换元，一元二次方程根的分布.例1.已知函数若关于的方程有六个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）ABCD【详解】令，则，作的图象如图所示，设的零点为、，由图可知，要满足题意，则需在上有两不等的零点，则，解得因此，实数的取值范围是.故选：D.小结：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、，则函数的零点个数为.例2.已知为偶函数，为奇函数，且满足.（1）求、；（2）若，且方程有三个解，求实数的取值范围.【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数，由
4、已知可得，即，所以，解得；（2），作出函数的图象如下图所示：由可得，由图可知，方程有两个不等的实根，由题意可知，方程有且只有一个根，故或，解得或.因此，实数的取值范围是.题型2. 型方程例3.已知函数，则函数的零点个数为个A7 B8 C9 D10解：令得，令得或，解得或或或或作出的函数图象如图所示：由图象可知有4个解，有两个解，有4个解，共有10个零点故选：练习. （多选）已知函数，下列是关于函数的零点个数的4个判断，其中正确的是A当时，有3个零点B当时，有2个零点C当时，有4个零点D当时，有1个零点【解答】解：由，得，设，则方程等价为，若，作出函数的图象如图：，此时方程有两个根其中，由，知此
5、时有两解，由知此时有两解，此时共有4个解，即函数有4个零点若，作出函数的图象如图：，此时方程有一个根，其中，由知此时只有1个解，即函数有1个零点故选：小结：求解复合函数零点问题的技巧:（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像（2）若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点,分配每个函数值被几个所对应,从而确定的取值范围,进而决定参数的范围.题型3.分段函数的零点例4已知函数，.若存在2个零点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【详解】由得，作出函数和的图象如图：当直线的截距，两个函数的图象都有2个交点，即函数存在2个零点，故实
6、数的取值范围是，故选：例5已知函数 (，且)在区间上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【详解】因为函数在区间上为单调函数，且在上为单调递增函数，所以在上也为单调递增函数，因为在上为单调递减函数，所以，且，即，所以，若函数有两个不同的零点，则函数的图像与直线有两个不同的交点，作出函数的图像与直线，如图：由图可知，当，即时，符合题意；当，即时，直线与抛物线相切也满足，联立直线与抛物线，消去得，所以，解得，符合.综上所述：实数的取值范围是.故选：C练习已知函数(且)在上单调递减，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D题型
7、4.整点问题例6设函数.若只存在唯一非负整数，使得，则实数a取值范围为ABCD【答案】A【详解】令，则，令，解得或，时，有时，有，时有，可以描绘出的草图： 为过点的直线，如图可知：当不成立当时，所以，得所.故选：A4. 多变量零点问题2已知函数若函数有四个零点，且，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【详解】函数有四个零点，即方程有四个根.作出函数的图像如图.根据函数图像，方程有四个根，则 ，则 ，则 所以由对勾函数在上单调递减，所以，当时等号成立则的取值范围是 故选：B9已知，若互不相等，且，则的范围是（ ）ABCD【答案】B【详解】解：画出的图像，如图所示，设，则，有，且,当时，单调递减
8、，可得其与轴交于点，可得，故可得：，由，可得，故可得，由对勾函数性质及，可得，故可得的范围是，故选：B.3. 零点综合问题14已知函数是偶函数.（1）求实数的值；（2）设，若函数有唯一的零点，求实数的取值范围.解：（1）是偶函数，.此式对于一切恒成立，（2）函数与的图像有且只有一个公共点，等价于方程有唯一的实数解，等价于方程有唯一实数解，且，令，则此问题等价于方程只有一个正实根，且.当，即时，则成立；当，即时，若，即或，当时，代入方程得成立；当时，得，不符合题意；若方程有一个正根和一个负根，即，即，符合题意.综上所述，实数的取值范围是.16已知函数在区间上的最大值为1，最小值为.(1)求a，b
9、的值；(2)若函数在区间上为单调递减函数令函数，若方程在上有两个不同实数根，求实数m的取值范围.【详解】(1)可知，当时，在上是单调递减，所以，解得，.当时，在上是单调递增，所以，解得，.(2)因为在上是单调递减，由(1)知，.则.，.令，易知函数在上是单调递增，所以.即在区间上有2个不同的实数解.解得.17已知函数的图象经过点.（1）求m的值，并判断的奇偶性；（2）设，若关于x的方程在上有且只有一个解，求a的取值范围.【详解】（1）由于函数的图象经过点，得，所以，解得.所以，且定义域为，又， 因此，函数是偶函数；（2）因为，当时，得，整理得，因为当时，函数单调递减，所以，所以使方程有唯一解时a的取值范围是
