1、第一讲测评(时间:90 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.与极坐标(-)不表示同一点的极坐标是()A.()B.(-)C.(-)D.(-)答案:B2.将曲线 F(x,y)=0 上的点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标缩短到原来的 ,得到的曲线方程为()A.F()=0B.F()=0C.F()=0D.F()=0解析:设(x,y)经过伸缩变换变为(x,y),则 代入 F(x,y)=0 得 F()=0.答案:A3.将点(2,3)变成点(3,2)的伸缩变换是()A.B.C.D.-解析:设此变换为
2、 则 所以所求的伸缩变换为 答案:B4.在极坐标系中,点()到圆=2cos 的圆心的距离为()A.2B.C.D.解析:圆=2cos 在直角坐标系中的方程为(x-1)2+y2=1,点()的直角坐标为(1,).所以圆心(1,0)与点(1,)之间的距离为 d=-.答案:D5.在极坐标系中,圆=-2sin 的圆心的极坐标是()A.()B.(-)C.(1,0)D.(1,)解析:由题意得,圆的直角坐标方程为 x2+(y+1)2=1,圆心的直角坐标为(0,-1),即圆心的极坐标为(-).答案:B6.在极坐标系中有如下三个结论:点 P 在曲线 C 上,则点 P 的极坐标满足曲线 C 的极坐标方程;tan=1(
3、0)与=(0)表示同一条曲线;=3 与=-3 表示同一条曲线.其中正确的是()A.B.C.D.解析:在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程,故是错误的;tan=1 不仅表示=这条射线,还表示=这条射线,故亦不对;=3 与=-3 差别仅在于方向不同,但都表示一个半径为 3 的圆,故正确.答案:D7.若曲线的极坐标方程为=4sin,则它的直角坐标方程为()A.x2+(y+2)2=4B.x2+(y-2)2=4C.(x-2)2+y2=4D.(x+2)2+y2=4解析:由直角坐标和极坐标的互化公式 x=cos,y=sin,即 2=x2+
4、y2,tan=(x0)可得 x2+y2=4y,整理得 x2+(y-2)2=4.答案:B8.在极坐标系中,圆=2cos 的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.=0(R)和 cos=2B.=(R)和 cos=2C.=(R)和 cos=1D.=0(R)和 cos=1解析:由题意可知,圆=2cos 可化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.所以圆的垂直于 x 轴的两条切线方程分别为 x=0 和 x=2,再将两条切线方程化为极坐标方程分别为=(R)和 cos=2,故选 B.答案:B9.直角坐标为(3-,3+)的点的极坐标可能是()A.(-)B.()C.(-)D.()解析:因为=-=2(0),点(3-
5、,3+)在第一象限,tan=-=tan ,所以点(3-,3+)的极坐标为().答案:B10.已知点 M 的球坐标为(),则它的直角坐标为()A.()B.()C.()D.()解析:设点 M 的直角坐标为(x,y,z),点 M 的球坐标为(),x=sin cos ,y=sin sin ,z=cos .点 M 的直角坐标为().答案:B二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.直线 2cos=1 与圆=2cos 相交的弦长为 .解析:直线 2cos=1 即为 2x=1,圆=2cos 即为(x-1)2+y2=1.将 x=代入(x-1)2+y2=1,得
6、y=.所以所求的弦长为.答案:12.(2014陕西高考,文 15C)在极坐标系中,点()到直线 sin(-)=1 的距离是 .解析:点()的直角坐标为(),即(,1),又 sin(-)=1 可化为 sin-cos=1,所以该直线的直角坐标方程为 x-y+2=0.由点到直线的距离公式,可得所求距离为 d=-=1.答案:113.在极坐标系中,曲线 C1:(cos+sin)=1 与曲线 C2:=a(a0)的一个交点在极轴上,则 a=.解析:把曲线 C1:(cos+sin)=1 化成直角坐标方程,得 x+y=1;把曲线 C2:=a(a0)化成直角坐标方程,得 x2+y2=a2.C1与 C2的一个交点在
7、极轴上,x+y=1 与 x 轴的交点()在 C2上,即()+0=a2.又 a0,a=.答案:14.已知曲线 C1,C2的极坐标方程分别为 cos=3,=4cos(),则曲线 C1与 C2交点的极坐标为 .解析:4cos2=3.2(1+cos 2)=3.cos 2=.02,=.代入得=2.C1与 C2交点的极坐标为().答案:()15.在极坐标系中,由三条直线=0,=,cos+sin=1 围成图形的面积是 .解析:因为三条直线=0,=,cos+sin=1 在直角坐标系下对应的直线方程分别为y=0,y=x,x+y=1.三条直线围成的图形如图阴影部分所示.则点 A(1,0),B(-),所以 SAOB
8、=-1=-.答案:-三、解答题(本大题共 2 小题,共 25 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(10 分)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换 后,曲线 C 变为曲线(x-5)2+(y+6)2=1,求曲线 C 的方程,并判断其形状.解:将 代入(x-5)2+(y+6)2=1,得(2x-5)2+(2y+6)2=1,即(-)+(y+3)2=,故曲线 C 是以(-)为圆心,为半径的圆.17.(15 分)在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为 cos(-)=1,M,N 分别为曲线 C 与 x 轴、y 轴的交点.(1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标;(2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.解:(1)由 cos(-)=1,得()=1.从而 C 的直角坐标方程为 x+y=1,即 x+y-2=0.当=0 时,=2,所以点 M 的极坐标为(2,0);当=时,=,所以点 N 的极坐标为().(2)因为点 M 的直角坐标为(2,0),点 N 的直角坐标为(),所以点 P 的直角坐标为(),则点 P 的极坐标为().所以直线 OP 的极坐标方程为=,(-,+).
