1、第三讲测评(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知2x+3y+4z=10,则x2+y2+z2取到最小值时的x,y,z的值为()A.53,109,56B.2029,3029,4029C.1,12,13D.1,14,19解析:由柯西不等式,得(x2+y2+z2)(22+32+42)(2x+3y+4z)2,即x2+y2+z210029,当且仅当x2=y3=z4时,取到最小值,所以联立x2=y3=z4,2x+3y+4z=10,可得x=2029,y=3029,z=4029.答案:B2.已知3x2+2y
2、21,则3x+2y的取值范围是()A.0,5 B.-5,0C.-5,5 D.-5,5解析:|3x+2y|3x2+2y2(3)2+(2)25.所以-53x+2y5.答案:C3.已知a,b,c是正实数,则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系是()A.a3+b3+c3a2b+b2c+c2aB.a3+b3+c3a2b+b2c+c2aC.a3+b3+c30,则a2b2c20.由排序不等式,顺序和乱序和,有a3+b3+c3a2b+b2c+c2a.答案:B4.已知x,y,z都是正数,且x+y+z=1,则x2y+y2z+z2x的最小值为()A.1B.2C.12D.8解析:不妨设xyz0,则1z1
3、y1x0,且x2y2z20,由排序不等式,得y2z+x2y+x2y1zz2+1yy2+1xx2=x+y+z.又x+y+z=1,所以x2y+y2z+z2x1,当且仅当x=y=z=13时,等号成立.答案:A5.已知a,b是给定的正数,则4a2sin2+b2cos2的最小值为()A.2a2+b2B.2abC.(2a+b)2D.4ab解析:4a2sin2+b2cos2=(sin2+cos2)4a2sin2+b2cos2sin2asin+cosbcos2=(2a+b)2,当且仅当sinbcos=cos2asin时,等号成立.故4a2sin2+b2cos2的最小值为(2a+b)2.答案:C6.设a,b,c
4、为正实数,a+b+4c=1,则a+b+2c的最大值是()A.5B.3C.23D.32解析:1=a+b+4c=(a)2+(b)2+(2c)2=13(a)2+(b)2+(2c)2(12+12+12)(a+b+2c)213,(a+b+2c)23,a+b+2c3,当且仅当a=13,b=13,c=112时,取等号.答案:B7.在锐角ABC中,abQB.P=QC.P0,且M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则M与N的大小关系是()A.MNB.MNC.MND.MN.答案:B10.设P为ABC内一点,D,E,F分别为P到BC,CA,AB所引垂线的垂
5、足,如图.若ABC的周长为l,面积为S,则BCPD+CAPE+ABPF的最小值为()A.l22SB.l2SC.l24SD.2l2S解析:设AB=a1,AC=a2,BC=a3,PF=b1,PE=b2,PD=b3,则a1b1+a2b2+a3b3=2S.a3b3+a2b2+a1b1(a3b3+a2b2+a1b1)a3b3a3b3+a2b2a2b2+a1b1a1b12=(a3+a2+a1)2=l2,a3b3+a2b2+a1b1l22S,当且仅当b1=b2=b3,即PE=PF=PD时,等号成立.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.函数y=1+1sin1
6、+1cos00,所以st.答案:st15.三角形的三边a,b,c对应的高为ha,hb,hc,r为三角形内切圆的半径.若ha+hb+hc的值为9r,则此三角形为三角形.解析:记三角形的面积为S,则2S=aha=bhb=chc.因为2S=r(a+b+c),所以ha+hb+hc=2S1a+1b+1c=r(a+b+c)1a+1b+1c.由柯西不等式,得(a+b+c)1a+1b+1c=(a)2+(b)2+(c)21a2+1b2+1c2a1a+b1b+c1c2=9.所以ha+hb+hc9r,当且仅当a=b=c时取等号.故ha+hb+hc=9r时,三角形为等边三角形.答案:等边三、解答题(本大题共4小题,共
7、25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)设a,b,c均为正数,求证a2b+b2c+c2aa+b+c.证明:由柯西不等式,得abb+bcc+caa2ab2+bc2+ca2(b)2+(c)2+(a)2,即(a+b+c)2a2b+b2c+c2a(a+b+c).因为a+b+c0,所以a2b+b2c+c2aa+b+c(当且仅当a=b=c时,等号成立).17.(6分)设a,b,c是正实数,求证a2b+c+b2c+a+c2a+ba+b+c2.证明:根据柯西不等式,得(b+c)+(c+a)+(a+b)a2b+c+b2c+a+c2a+b(a+b+c)2.a2b+c+b2c+a+c2a+b
8、a+b+c2.当且仅当a=b=c时等号成立.18.(6分)(2015福建高考)已知a0,b0,c0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值;(2)求14a2+19b2+c2的最小值.解:(1)因为f(x)=|x+a|+|x-b|+c|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当-axb时,等号成立.又a0,b0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值为a+b+c.又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式得14a2+19b2+c2(4+9+1)a22+b33+c12=(a+b+c)2=16,
9、即14a2+19b2+c287.当且仅当12a2=13b3=c1,即a=87,b=187,c=27时等号成立.故14a2+19b2+c2的最小值为87.19.(7分)设a,b,c是正实数,利用排序不等式证明:(1)aabbabba(ab);(2)a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.证明:(1)不妨设ab0,则lgalgb.从而alga+blgbalgb+blga,lgaa+lgbblgba+lgab,即lgaabblgbaab,故aabbbaab.(2)不妨设abc0.则lgalgblgc.alga+blgb+clgcblga+clgb+algc.alga+blgb+clgcclga+algb+blgc.2alga+2blgb+2clgc(b+c)lga+(a+c)lgb+(a+b)lgc.lg(a2ab2bc2c)lg(ab+cba+cca+b).故a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.
