1、33.3 最大值与最小值学习目标1.能够区分极值与最值两个不同的概念；2掌握用导数求函数的极值与最值的步骤，会求闭区间上函数的最大值与最小值 课堂互动讲练 知能优化训练 33.3 课前自主学案 课前自主学案 1函数极值是_概念，极值只是某个点的函数值与它附近的点的函数值相比是最大或最小，并不意味着它在函数的_内最大或最小2函数的极值_惟一的，即函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值_温故夯基一个局部某区间上或整个定义域不是可以不止一个3极大值与极小值之间无确定的_关系，即一个函数的极大值未必_极小值大小大于1函数的最大值与最小值 如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有f(x)
2、f(x0)，则f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值_知新益能惟一观察右图中一个定义在闭区间a，b上的函数f(x)的图象，图中_是极小值，_是极大值，函数f(x)在a，b上的最大值是_，最小值是_一般地，在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值f(x1)与f(x3)f(b)f(x3)f(x2)(1)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的(2)函数在其定义区间上的_最多各有一个，而函数的_可能不止一个，也可能一个也没有2求函数yf(x)在区间a，b上的最值的步骤：第
3、一步，求f(x)在区间(a，b)上的_；第二步，将第一步中求得的_与_比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值最大值，最小值极值极值极值f(a)，f(b)在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在a，b上一定存在最值和极值吗？提示：一定有最值，但不一定有极值如果函数f(x)在a，b上是单调的，此时f(x)在a，b上无极值；如果f(x)在a，b上不是单调函数，则f(x)在a，b上有极值问题探究 课堂互动讲练 在求函数的最大值和最小值时，需要先确定函数的极值，因此函数极值的求法是关键求函数的最值 考点突破【思路点拨】函数f(x)在给定闭区间上连续可导，必有最大值和最
4、小值，因此，在求闭区间a，b上函数的最值时，只需求出函数f(x)在开区间(a，b)内的极值，然后与端点处函数值比较大小即可求下列函数的最值：(1)f(x)12xsinx，x0,2；(2)f(x)13x32x23x，x0,4例1【解】(1)f(x)12cosx.令 f(x)0，解得 x23 或 x43.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：当x0时，f(x)有最小值f(0)0；当x2时，f(x)有最大值f(2).(2)f(x)x24x3(x3)(x1)，由f(x)0，解得x1或x3.列表：由上表可知，函数在区间0,4上的最大值是 0，最小值是43.【名师点评】若函数f(x)在闭区间
5、a，b上连续，在开区间(a，b)上可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值，其最值一定在极值点处或区间端点处取得，因此在求闭区间a，b上连续，开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断导数为零的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大(小)的函数值对于开区间(a，b)内可导的函数(定义域为开区间或半开半闭区间)求最值，除求出函数的极大值、极小值外，还应考虑函数在区间端点处的函数值或画出函数的大致图象，再判定函数的最大(小)值，否则会犯错误，但定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点函数解析式中含有参数，
6、求最值，往往需要讨论已知a是实数，函数f(x)x2(xa)(1)若f(1)3，求a的值及曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)在区间0,2上的最大值含参数的最值问题 例2【思 路 点 拨】先 对 函 数 求 导，由f(1)3得a的值及切线方程；根据a的不同取值范围，讨论确定f(x)在0,2上的最大值【解】(1)f(x)3x22ax.因为 f(1)32a3，所以 a0.当 a0 时，f(1)1，f(1)3，所以曲线 yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为 3xy20.(2)令 f(x)0，解得 x10，x22a3.当2a3 0，即 a0 时，f(x)在0,2上单调递增，
7、从而f(x)maxf(2)84a.当2a3 2，即 a3 时，f(x)在0,2上单调递减，从而f(x)maxf(0)0.当 02a3 2，即 0a3 时，f(x)在0，2a3 上单调递减，在2a3，2 上单调递增，从而f(x)max84a，0a2，0，2a2.互动探究1 将本例(2)中区间0,2改为1,0，结果如何？解：令 f(x)0，解得 x10，x223a，当23a0，即 a0 时，f(x)在1,0上单调递增，从而 f(x)maxf(0)0；当23a1，即 a32时，f(x)在1,0上单调递减，从而 f(x)maxf(1)1a；当123a0，即32a0 时，f(x)在1，32a上单调递增；
8、在23a,0上单调递减则 f(x)maxf23a 427a3.综上所述：f(x)max1a a32，427a332a0，0 a0.恒成立求参数范围：若f(x)f(x)max；若f(x)c恒成立，则c0)(1)求f(x)的最小值h(t)；(2)若h(t)2tm对t(0,2)恒成立，求实数m的取值范围例3【思路点拨】先通过配方求f(x)的最小值，然后由h(t)2tm，得t33t1m0)，当xt时，3分 f(x)取最小值f(t)t3t1，即h(t)t3t1.6分(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由g(t)3t230，得t1或t1(不合题意，舍去).8分当t变化时，g(t)，g(t)的变
9、化情况如表：g(t)在(0,2)内有最大值g(1)1m，12分 h(t)2tm在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立，即等价于1m1.14分【名师点评】有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题确定这个函数，要看哪一个变量的范围已知，即函数是以已知范围的变量为自变量的函数自我挑战2 设函数f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2时取得极值(1)求a、b的值；(2)若对于任意的x0,3，都有f(x)0；当x(1,2)时，f(x)0.所以，当x1时，f(x)取得极大值f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98c.则当x0,3时，f(x)的最大值为f(3)98c.因为对于任意的x0,3，有f(x)c2恒成立，所以98cc2，解得c9，因此c的取值范围为(，1)(9，)1函数存在最值的条件：(1)给定函数的区间必须是闭区间，即f(x)在开区间上虽然连续但不能保证有最大值和最小值；(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点亦不能保证f(x)有最大值和最小值方法感悟 2函数的最值与极值不是同一个概念若函数在闭区间a，b内有多个极值时，则最值由极值与端点处的函数值相比较得到，若在闭区间a，b内为单峰函数，则极值点就是最值点函数极值与区间端点值的比较，得到函数最大(小)值，从而可以直接利用求极值时的列表分析的途径来得到最大(小)值知能优化训练