1、3.1.2表示函数的方法新课程标准解读核心素养在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用数学抽象、直观想象(1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318 km，设计速度目标值为380 km/h.若京沪高速铁路时速按300 km/h计算，火车行驶x h后，路程为y km，则y是x的函数，可以用y300x来表示，其中y300x叫做该函数的解析式；(2)如图是我国人口出生率变化曲线：(3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表：污染源距离50100200300500氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01问题根据初中所学知识，
2、说出上述分别是用什么法表示函数的？知识点一函数的表示方法1函数的解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式2函数的表示法函数三种表示法的优缺点比较 1函数yf(x)的关系如下表，则f(11)()x0x55x1010x0，图象开口向上，a0时，图象开口向下，对称轴为x.1函数的图象是由一系列点形成的点集，故函数的图象可以是一条完整的曲线，也可能是某条曲线的一部分，也可能是几段曲线组成或是几个孤立的点因此作函数的图象尤其需要关注函数的定义域2函数图象上每一点的纵坐标yf(x0)，即横坐标为x0时的相应函数值3每一个函数都有其相应的图象，但并不是每一个图象都能表示
3、一个函数 函数的图象是否可以关于x轴对称？提示：不可以，如果关于x轴对称，则在定义域内一定存在一个自变量x0，有两个值和x0相对应，不符合函数的定义1某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()解析：选D由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.2.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f的值等于()A0B1C2 D3解析：选C由题意知，f(3)1，
4、所以f f(1)2.3函数yx1，xZ，且|x|2的图象是_(填序号)解析：由题意知，函数的定义域是1，0，1，值域是0，1，2，函数的图象是三个点，故正确答案：函数的表示法例1(链接教科书第68页例3)某问答游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一道题扣10分，答对不扣分试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x0，1，2，3，4，5)之间的函数关系yf(x)解(1)用列表法可将函数yf(x)表示为x012345y50403020100(2)用图象法可将函数yf(x)表示为(3)用解析法可将函数yf(x)表示为y5010x，x0，1，2，3，4，5
5、1函数的三种表示法的选择解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少2用三种表示法表示函数时的注意点(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量的值与函数值的对应关系；(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线” 跟踪训练1如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象由图象可知，下列说法中错误的是()A这天15时的温度最高B这天3时的温度最低C这天的最高温度与最低温度相差13 D这天21时的温度是30 解析：选C这天的最
6、高温度与最低温度相差为362214()，故C错误2已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)211x123g(x)321则f(g(1)的值为_；当g(f(x)2时，x_解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)3，f(g(1)f(3)1.由于g(2)2，f(x)2，x1.答案：11函数图象的作法及应用例2作出下列函数的图象并求出其值域：(1)y2x1，x0，2；(2)y，x2，)解(1)当x0，2时，图象是直线y2x1的一部分，如图，观察图象可知，其值域为1，5(2)当x2，)时，图象是反比例函数y的一部分，如图，观察图象可知其值域为(0，1描点法作函数图象的三个关注点(1
7、)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图；(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等要分清这些关键点是实心点还是空心圈注意函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等 跟踪训练已知函数f(x)x22x(1x2)(1)画出f(x)图象的简图；(2)根据图象写出f(x)的值域解：(1)f(x)图象的简图如图所示(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是1，3，即f(x)的值域是1，3函数解析式的求法角度一用待定系数法求函数解析式例3已知f(x)是二次函数，且f
8、(x1)f(x1)2x24x，求f(x)解设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x1)f(x1)a(x1)2b(x1)ca(x1)2b(x1)c2ax22bx2a2c2x24x，f(x)x22x1.待定系数法求函数解析式已知函数的类型，如是一次函数、二次函数等，即可设出f(x)的解析式，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式 角度二用换元法(配凑法)求函数解析式例4求下列函数的解析式：(1)已知f(1)x2，求f(x)；(2)已知f(x2)2x3，求f(x)解(1)法一(换元法)：令t1，则x(t1)2，t1，所以f(t)(t1)22(t1)t21(t1
9、)，所以f(x)的解析式为f(x)x21(x1)法二(配凑法)：f(1)x2x211(1)21.因为11，所以f(x)的解析式为f(x)x21(x1)(2)因为f(x2)2x32(x2)1，所以f(x)2x1.换元法、配凑法求函数解析式已知f(g(x)h(x)，求f(x)，有两种方法：(1)换元法，即令tg(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，再用x替换t，便得到f(x)的解析式利用换元法解题时，换元后要确定新元t的取值范围，即函数f(x)的定义域；(2)配凑法，即从f(g(x)的解析式中配凑出g(x)，用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可 角度三用方
10、程组法求函数解析式例5已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)2f(x)12x，求f(x)的解析式解在f(x)2f(x)12x中，以x代换x，可得f(x)2f(x)12x，则消去f(x)，可得f(x)x1.方程组法求函数解析式方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如互为相反数的f(x)，f(x)的函数方程，通过对称规律再构造一个关于f(x)，f(x)的方程，联立解出f(x) 跟踪训练1(2021三明一中高一月考)已知一次函数f(x)满足f(1)0，f(0)2，则f(x)的解析式为()Af(x)2x2Bf(x)2x2Cf(x)2x2 Df(x)2x2解析：选B设一次函数f(x
11、)kxb(k0)，依题意得解得kb2，所以f(x)2x2.故选B.2已知f，求f(x)的解析式解：令t1，则x(t1)，把x代入f，得f(t)(t1)21(t1)t2t1(t1)，f(x)x2x1(x1)1已知函数yf(x)的对应关系如下表，函数yg(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2)的值为()A3 B2 C1 D0解析：选B由函数yg(x)的图象知，g(2)1，则f(g(2)f(1)2.2已知函数f(x)x，且此函数图象过点(5，4)，则实数m的值为_解析：将点(5，4)代入f(x)x，得m5.答案：53已知二次函数f(x)满足f(0)1，f(1)2，f(2)5，求f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)，所以解得所以f(x)x21.8
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