1、北 京 四 中2005年数学第三次统测（理科） 一、选择题：（每小题5分）1. 在正实数集上定义一种运算*：当时，a*b=b3：当时，a*b=b2。根据这个定义，满足3*x=27的x的值为（ ） A3 B1或9 C1或 D3或 2. 函数的部分图象大致是（ ） A.B.C. D. 3. 在的展开式中，含项的系数是首项为2公差为3的等差数列的（ ）A第13项 B第18项 C第11项 D第20项 4. 若将函数的图象按向量平移，使图象上点P的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后图象的解析式为（ ） AB CD 5. 一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积
2、是（ ） AB C D 6. 已知函数在点处连续，则的值是（ ） A2 B3 C2 D4 7. 已知，点C在坐标轴上，若，则这样的点C的个数为（ ） A1 B2 C3D4 8. 设数集，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值是（ ） ABCD 二、填空题：（每小题5分） 9. 若（mR+）是纯虚数，则的值为_，的虚部是_. 10. 在数列中，若且对任意有则数列前项的和为_，前项和最小时的等于_. 11. 若，则目标函数的取值范围是_. 12. 向量a、b满足（ab）（2a+b）=4，且|a|=2，|b|=4，则a与b夹角的余弦值等于_. 13. 已知P是抛物线上
3、的动点，定点A（0，-1），若点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是_，它的焦点坐标是_ 14. 若定义在区间D上的函数对于D上的任意n个值，总满足，则称为D上的凸函数. 现已知在上是凸函数，则锐角中，的最大值是_ 答案 一、选择题：（每小题5分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 二、填空题：（每小题5分） 9 10 11 12 13 14 三、解答题 15. （本小题满分13分） 矩形ABCD，AB=4，BC=3，E为DC中点，沿AE将AED折起，使二面角D-AE-B为60。(I)求DE与平面AC所成角的大小； (II)求二面角D-EC-B的大小。 16. （本小题满分13分）
4、甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格。 （1） 求甲、乙两人考试合格的概率分别是多少？ （2） 求乙答对试题数的概率分布及数学期望。 17. （本小题满分14分） 设函数在时取得极值.（1）试确定的值；（2）求的单调区间. 18. （本小题满分14分） 已知函数. （1） 求的值，使点到直线的距离最短为； （2） 若不等式在恒成立，求的取值范围. 19. （本小题满分13分） 直线与曲线交于（异于原点）；过且斜率为的直线与曲线交于（异于）；过且斜率为的直线与曲
5、线交于（异于）, 过且斜率为的直线与曲线交于（异于）,。设坐标为,（）. （）求和的表达式； （）判定是否存在，若存在，求它的值；若不存在，说明理由. 20. （本小题满分13分） 已知为椭圆和双曲线的公共顶点，分别为双曲线和椭圆上不同于的动点，且有，设的斜率分别是. （1）求证； （2）设分别为双曲线和椭圆的右焦点，若，求的值. 答案 一、选择题：（每小题5分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C D C C B C C 二、填空题：（每小题5分） 9 -8 10 4或5 11 8，14 12 13 y=6x2-1(x0) 14 15如图1，过点D作DMAE于M，延长DM与B
6、C交于N，在翻折过程中DMAE，MNAE保持不变，翻折后，如图2，DMN为二面角D-AE-B的平面角，DMN=60，AE平面DMN，又因为AE平面AC，则平面AC平面DMN。 (I)在平面DMN内，作DOMN于O， 平面AC平面DMN， DO平面AC。 连结OE，DOOE，DEO为DE与平面AC所成的角 如图1，在直角三角形ADE中，AD=3，DE=2， ， 。 如图2，在直角三角形DOM中，DO=DMsin60=, 在直角三角形DOE中，则。 DE与平面AC所成的角为。 (II)如图2，在平面AC内，作OFEC于F，连结DE， DO平面AC，DFEC，DFO为二面角D-EC-B的平面角。 如
7、图1，作OFDC于F，则RtEMDRtOFD，。 如图2，在RtDOM中，OM=DMcosDMO=DMcos60=. 如图1，DO=DM+MO。 在RtDFO中， 二面角D-EC-B的大小为。 16. 解：（1）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B 则 （2）乙答对试题数的可能值为1，2，3 则 的概率分布为 1 2 3 P 17（） f(x)在x1=1，x2=2时取得极值 （2）由（1）可得：令 x0或1x2 1x2 f(x)的单调增区间为（1，2），减区间是（0，1）和（2，+） 18. 解：（1）由题意得M到直线x+y-1=0的距离 令 解得a=3或a=-1（舍去） a=3 （2）由 得 也就是 令 即at2-2t+a20在t1，2上恒成立 设，则要使上述条件成立，只需 解得 即满足题意的a的取值范围是 19解：（）由已知， 设，其中， 解（注意到）得， x1=1 于是，； ； ； 猜测 当时，猜测正确， 假设当时，成立，即 那么，当时， 综上所述，. （）. 所以，. 20. 解：（1）A（-a，0），B（a，0），设P（x1，y1）Q（x2，y2） 则 （2） 由（1） 又P在双曲线上 同理
