1、高一数学试卷第 1 页 总 4 页 辛集市高中 2020 级高一下学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分）1若 z(1i)2i，则 z ()A1i B 1+i C1i D1+i2已知向量a (1,2),b (x,4),若 a/b,则 x()A 2 B2 C-6 D63ABC 中，若 b2，A120,c 2，求三角形的面积为（）A3 B2 3 C2 D44一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45，腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（）A12 B 22 C 1222 D212 5如图，在下列四个正方体中，A、B 为正方体的两个顶点，M、N
2、、Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 不平行与平面 MNQ 的是（）ABC D 6函数的最大值为（）A1 B C D2 7已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 coscosaABc，则ABC 的形状一定为（）A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 高一数学试卷第 2 页总 4 页8 ABC 中，2AB，3,AC，60A，ADBC于 D，ADABAC，则（）A6 B3 2 C3 D2 3 9已知三棱锥 SABC的四个顶点都在球 O 的表面上，且 SAAC，SAAB，若已知2AB，4BC，60ABC，6SA，则球 O 的体积
3、是（）A1003 B 2003 C 52 133 D 523 10棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，,E F 分别是棱11C D 和11C B 的中点，则经过点,B E F 的平面截正方体所得的封闭图形的面积为（）A 92 B3 10 C 32 D 10 11如图，在平面四边形 ABCD 中，,120,1,ABBC ADCDBADABAD 若点 E 为边 CD 上的动点，则 AE BE的最小值为 A 2116 B 32 C 2516 D3 12点 M，N 分别是棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中棱 BC，1CC 的中点，动点 P 在正方形11BCC B(包括边界)
4、内运动.若1/PA面 AMN，则1PA 的长度范围是 A 2,5 B 3 2,52 C 3 2,32 D2,3 二、多选题(本题共 4 小题，每小题 5 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.)13已知(2,4),(4,1),(9,5),(7,8)ABCD，如下四个结论正确的是（）高一数学试卷第 3 页总 4 页A ABAC；B四边形 ABCD为平行四边形；C AC 与 BD 夹角的余弦值为 7 29145 D85ABAC 14一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 2R 相等，下列结论正确的是（）A圆柱的
5、侧面积为22R B圆锥的侧面积为22R C圆柱的侧面积与球面面积相等 D圆锥的表面积最小 15对于 ABC，有如下判断，其中正确的判断是（）A若sin2sin2AB，则 ABC为等腰三角形 B若 AB，则sinsinAB C若8a，10c，60B，则符合条件的 ABC有两个 D若222sinsinsinABC，则 ABC是钝角三角形 16如图，已知圆锥的顶点为 S，底面圆 O 的两条直径分别为 AB 和CD，且 ABCD，若平面 SAD平面SBCl，以下四个结论中正确的是（）A/AD平面 SBC B/lAD C若 E 是底面圆周上的动点，则SAE的最大面积等于 SAB的面积 Dl 与平面 SC
6、D 所成的角为 45 三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分)17已知 ABC 是边长为 6 的正三角形，求 AB BC=_ 18正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 .19在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，如果3a ，2b，高一数学试卷第 4 页总 4 页2 2c，那么 ABC 的最大内角的余弦值为_.20将边长为 1 的正方形11AAOO（及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，120AOC，111AO B60，其中1B 与C 在平面11AAOO的同侧，则异面直线1BC 与1AA 所成角的大小是_ 四、解答题(本
7、题共 4 个大题，共 50 分)21（12 分）在ABC 中，a=7，b=8，cosB=17 （1）求A；（2）求 AC 边上的高 22（12 分）ABC的内角,A B C 的对边分别为,a b c，已知 sinsin2ACabA（1）求 B；（2）若 ABC为锐角三角形，且1c ，求 ABC面积的取值范围 23（12 分）如图.在四棱锥 PABCD中，/ADBC，90BAD，PA 平面 ABCD，且1BC .3APAB，60ADC，M、N 分别为棱 PC，PB 的中点.（1）求证：PB 平面 ADMN；（2）求直线 BD 与平面 ADMN 所成角的正弦值.24（14 分）如图,四边形 ABC
8、D为矩形,且2,1,ADABPA 平面 ABCD,1PA ,E 为 BC 的中点.（1）求证:PEDE；（2）求三棱锥CPDE的体积；（3）探究在 PA 上是否存在点G,使得 EG 平面 PCD，并说明理由.答案第 1 页，总 4 页参考答案 1-5DAABD 6-10BDACA 11-12AB 11连接 BD,取 AD 中点为 O,可知ABD为等腰三角形，而,ABBC ADCD，所以BCD为等边三角形，3BD。设(01)DEtDCt AE BE223()()()2ADDEBDDEAD BDDEADBDDEBD DEDE=23322tt(01)t 所以当34t 时，上式取最小值 2116 ，选
9、 A.12取11BC，1B B 中点 E，F，连接1A E、1A F .则1A E AM.EF MN.又因为1AEEFE.所以平面1AEF 平面 AMN.又因为动点 P 在正方形11BCC B(包括边界)内运动，所以点 P 的轨迹为线段 EF.又因为正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，所以115AEAF，2EF .所以1AEF 为等腰三角形.故当点 P 在点 E 或者 P 在点 F 处时，此时1PA 最大，最大值为 5.当点 P 为 EF 中点时，1PA 最小，最小值为2223 2(5)()22.故选：B.13BD 14CD 15BD 16ABD 16.解：已知圆锥的顶点为S，底面圆
10、O 的两条直径分别为 AB 和CD，且ABCD，若平面 SAD平面 SBCl，所以 ABCD是正方形所以/ADBC，BC 平面 SBC，所以/AD平面 SBC；A 正确；l，AD 平面 SAD，l，BC 平面 SBC，/AD平面 SBC，所以/lAD，B 正确；若 E 是底面圆周上的动点，当90ASB时，则 SAE的最大面积等于 SAB的面积；当90ASB时，SAE的最大面积等于两条母线的夹角为90 的截面三角形的面答案第 2 页，总 4 页积，所以C 不正确；因为/lAD，l 与平面 SCD 所成的角就是 AD 与平面所成角，就是45ADB所以 D 正确；故选：ABD 17-18 18 81
11、4 19 18 20 45 20设点1B 在下底面圆周的射影为 B，连结1BB，则11/BBAA，1BB C为直线1BC 与1AA 所成角(或补角)，111BB AA=，连结1112,333BC BOAO BAOCBOC，BOC为正三角形,11,tan1BCOBCBB,则直线1BC 与1AA 所成角大小为 45.21解：（1）在ABC 中，cosB=17，B（2，），sinB=24 31 cos7B由正弦定理得 sinsinabAB 7sinA=84 37，sinA=32B（2，），A（0，2），A=3 （2）ABC 中，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=3114
12、 32727=3 314如图所示，在ABC 中，sinC=hBC，h=sinBCC=3 33 37142，AC 边上的高为 3 32 22(1)根据题意sinsin2ACabA，由正弦定理得sinsinsinsin2ACABA，因为0A，故sin0A ，消去sin A 得sinsin2ACB 答案第 3 页，总 4 页0 B，02AC因为故2ACB或者2ACB，而根据题意ABC，故2ACB不成立，所以2ACB，又因为 ABC，代入得3B，所以3B.(2)因为 ABC 是锐角三角形，由（1）知3B，ABC得到23AC，故022032CC ，解得 62C.又应用正弦定理 sinsinacAC，1c
13、 ，由三角形面积公式有：222sin()111sin33sinsinsin222sin4sinABCCaASacBcBcBcCC 22sincoscossin3321231333(sincos)4sin43 tan38 tan8CCCCC.又因3,tan623CC,故3313388 tan82C，故3382ABCS.故ABCS的取值范围是33(,)82 23解：（1）证明因为 M，N 分别为 PC，PB 的中点，所以/BCMN；又因为/ADBC，所以/MNAD.从而 A，D，M，N 四点共面；因为 PA 平面 ABCD，AD 平面 ABCD.所以 PAAD，又因为 ADAB，ABPAA，所以
14、AD 平面 PAB，从而 ADPB，因为 APAB，且 N 为 PB 的中点，所以 PBAN；又因为 ANADA，所以 PB 平面 ADMN；（2）如图，连结 DN；由（1）知 PB 平面 ADMN，所以，DN 为直线 BD 在平面 ADMN 内的射影，且 DNBN，答案第 4 页，总 4 页所以，BDN即为直线 BD 与平面 ADMN 所成的角：在直角梯形 ABCD 内，过 C 作CHAD于 H，则四边形 ABCH 为矩形；3,1CHABAHBC，在 Rt CDH 中，31tan3CHDHADC；所以，2ADAHDH，227BDADAB，在 Rt BDN 中，90BND，1622BNPB，7
15、BD，所以642sin142 7BNBDNBD.24(1)连结 AE,E 为 BC 的中点,1ECCD,DCE为等腰直角三角形,则45DEC,同理可得45AEB,90AED,DEAE,又 PAABCD平面,且 DEABCD 平面,PADE,又 AEPAA,DEPAE 平面,又 PEPAE 平面,DEPE.(2)由(1)知 DCE为腰长为 1 的等腰直角三角形,111 122DCES ,而 PA 是三棱锥 PDCE的高,111113326C PDEP DCEDCEVVSPA.(3)在 PA 上存在中点G,使得/EGPCD平面.理由如下:取,PA PD 的中点,G H,连结,EG GH CH.,G H 是,PA PD 的中点,/GHAD,且12GHAD,又因为 E 为 BC 的中点,且四边形 ABCD 为矩形,所以 EC/AD,且 EC=12 AD,所以 EC/GH,且 EC=GH,所以四边形 EGHC 是平行四边形,所以 EG/CH,又 EG 平面 PCD,CH 平面 PCD,所以 EG/平面 PCD.
