1、31.3概率的基本性质1了解事件的关系与运算2理解互斥事件、对立事件的概念3掌握概率的基本性质，并能运用这些性质求一些简单事件的概率4理解并事件与交事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系1事件的关系(1)包含关系：一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作BA(或AB)不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件(2)相等关系：一般地，若BA，且AB，那么称事件A与事件B相等，记作AB.2事件的运算(1)并事件：若某事件C发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作CAB(或C
2、AB)(2)交事件：若某事件C发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件C为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作CAB(或CAB)3概率的性质(1)范围：任何事件的概率P(A)0,1(2)必然事件的概率：必然事件的概率P(A)1.(3)不可能事件的概率：不可能事件的概率P(A)0.(4)概率加法公式：如果事件A与事件B互斥，则有P(AB)P(A)P(B)(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，那么AB为必然事件，则有P(AB)P(A)P(B)1，即P(A)1P(B)1在同一试验中，设A，B是两个随机事件，“若AB，则称A与B是两个对立事件”，对吗？提示这种说法不正确对立事件
3、是互斥事件的特殊情况，除了满足AB外，AB还必须为必然事件从数值上看，若A，B为对立事件，则P(AB)P(A)P(B)1.2在同一试验中，对任意两个事件A，B，P(AB)P(A)P(B)一定成立吗？提示不一定只有A与B互斥时，P(AB)P(A)P(B)才成立3互斥事件的概率加法公式是否可以推广到多个互斥事件的情况？提示可以若事件Ai(i1,2,3，n)彼此互斥，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)题型一 互斥事件与对立事件【典例1】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件(1)恰有1名
4、男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生思路导引判断两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生解(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有
5、1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件(1)判断事件是否互斥的两步骤第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的(2)判断事件对立的两步骤第一步，判断是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立针对训练1某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”判断下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C.(2)B与E.(3)B与D.(
6、4)B与C.(5)C与E.解(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”、“只订甲报”、
7、“只订乙报”也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件. (5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.题型二 事件的运算【典例2】盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A3个球中有1个红球，2个白球，事件B3个球中有2个红球，1个白球，事件C3个球中至少有1个红球，事件D3个球中既有红球又有白球问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？思路导引事件的运算利用事件间运算的定义，借助集合间运算的思想求解解(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球，
8、或2个红球1个白球，故DAB.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球，故CAA.引申探究：在本例中，设事件E3个红球，事件F3个球中至少有一个白球，那么事件C与A，B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？解CABE；CFAB.进行事件运算应注意的问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理针对训练2在投掷骰子试验中，
9、根据向上的点数可以定义许多事件，如：A出现1点，B出现3点或4点，C出现的点数是奇数，D出现的点数是偶数(1)说明以上4个事件的关系；(2)求两两运算的结果解在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作Ai出现的点数为i(其中i1,2，6)则AA1，BA3A4，CA1A3A5，DA2A4A6.(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件(2)AB，ACA，AD.ABA1A3A4出现点数1或3或4，ACC出现点数1或3或5，ADA1A2A4A6出现点数1或2或4
10、或6BCA3出现点数3，BDA4出现点数4.题型三 互斥事件与对立事件的概率【典例3】在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在8089分的概率是0.51，在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：(1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率；(2)小王数学考试及格的概率思路导引先判断所求事件与已知事件的关系，然后选择公式求解解设小王的成绩在90分以上(含90分)、在8089分、在60分以下(不含60分)分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥(1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为
11、事件D，则DAB，所以P(D)P(AB)P(A)P(B)0.180.510.69.(2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，所以P(E)1P(C)10.070.93.概率公式的应用(1)互斥事件的概率加法公式P(AB)P(A)P(B)是一个非常重要的公式，运用该公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果(2)当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率加法公式P(A)P(B)1，求出符合条件的事件的概率针对训练3经统计，在某储
12、蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)解法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则HDEF，所以P(H)P(
13、DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)1P(G)0.44.课堂归纳小结1互斥事件和对立事件既有区别又有联系互斥，未必对立；对立，一定互斥2互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式P(AB)P(A)P(B)3求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.1给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则()AAB BABCA与B互斥 DA与B互为对立事件
14、解析由互斥事件的定义可知C正确答案C2已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设A表示事件“3件产品全不是次品”，B表示事件“3件产品全是次品”，C表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是()AB与C互斥BA与C互斥CA，B，C任意两个事件均互斥DA，B，C任意两个事件均不互斥解析由题意得事件A与事件B不可能同时发生，是互斥事件；事件A与事件C不可能同时发生，是互斥事件；当事件B发生时，事件C一定发生，所以事件B与事件C不是互斥事件，故选B.答案B3对同一事件来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是()A互斥不对立 B对立不互
15、斥C互斥且对立 D不互斥、不对立解析必然事件与不可能事件不可能同时发生，但必有一个发生，故事件A与事件B的关系是互斥且对立答案C4从集合a，b，c，d，e的所有子集中任取一个，若这个子集不是集合a，b，c的子集的概率是，则该子集恰是集合a，b，c的子集的概率是()A. B. C. D.解析该子集恰是a，b，c的子集的概率为P1.答案C5掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则()AABBABCAB表示向上的点数是1或2或3DAB表示向上的点数是1或2或3解析设A1,2，B2,3，AB2，AB1,2,3，AB表示向上的点数为1或2或3.答案C课后作业(十八)
16、 (时间45分钟)学业水平合格练(时间25分钟)1从1,2,3，9中任取两数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数上述各对事件中，是对立事件的是()A B C D解析两数可能“全为偶数”“一偶数一奇数”或“全是奇数”，共三种情况，利用对立事件的定义可知正确答案C2从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是()A至少有一个红球；至少有一个白球B恰有一个红球；都是白球C至少有一个红球；都是白球D至多有一个红球；都是红球解析对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、
17、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件答案B3甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为()A. B. C. D.解析由题意得，甲不输的概率为.答案A4抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件E向上的点数为1，事件F向上的点数为5，事件G向上的点数为1
18、或5，则有()AEF BGFCEFG DEFG解析根据事件之间的关系，知EG，FG，事件E、F之间不具有包含关系，故排除A、B；因为事件E与事件F不会同时发生，所以EF，故排除D；事件G发生当且仅当事件E发生或事件F发生，所以EFG是正确的，故选C.答案C5若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A0.3 B0.4 C0.6 D0.7解析由题意可知不用现金支付的概率为10.450.150.4.故选B.答案B6掷一枚骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的
19、倍数”其中是互斥事件的是_，是对立事件的是_解析A，B既是互斥事件，也是对立事件答案A，BA，B7某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率，则当天商店不进货的概率为_解析记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，则P(C)P(A)P(B).答案8一个口袋中有若干大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球摸出红球的概率为0.48，摸出黄球
20、的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为_解析摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，摸出蓝球的概率为10.480.350.17.答案0.179某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率解记这个射手在一次射击中命中10环或9环为事件A，命中10环、9环、8环、不够8环分别为事件A1，A2，A3，A4，由题意知，A2，A3，A4彼此互斥，P(A2A3A4)P(A2)P(A3)P(A4)0.280.190.290.76.又A1与A2A3A4互为对立事件，P(A1)1P(A2A3A4)10.7
21、60.24.A1与A2互斥，且AA1A2，P(A)P(A1A2)P(A1)P(A2)0.240.280.52.10袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球从中任取一球，取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是，取到黄球或绿球的概率是.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解从袋中任取1球，记事件A取到红球，事件B取到黑球，事件C取到黄球，事件D取到绿球，则有解得P(B)，P(C)，P(D)，所以取到黑球的概率为，取到黄球的概率为，取到绿球的概率为.应试能力等级练(时间20分钟)11在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率P(A)与的关系是()AP(A) B
22、P(A) DP(A)解析对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)即P(A).答案A12现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为()A. B. C. D.解析记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E互斥，取到理科书的概率为事件B、D、E概率的和P(BDE)P(B)P(D)P(E).答案C13对某厂生产的某种产品进行抽样检查，数据如下：抽查件数50100200300500合格品件数4792192285478根据上表所提供的数据，
23、若要从该厂生产的此种产品中抽到950件合格品，大约需抽查_件产品解析抽查的产品总件数为1150，合格品件数为1094，合格率为0.95,9500.951000，故大约需抽查1000件产品答案100014某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品若生产中出现乙级产品的概率为0.03，出现丙级产品的概率为0.01，抽查一件产品，该产品为正品的概率为_解析设“抽得正品”为事件A，“抽得乙级产品”为事件B，“抽得丙级产品”为事件C，由题意，P(A)1P(B)P(C)1(0.030.01)0.96.答案0.9615某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售如果当天卖
24、不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310()假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；()若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率解(1)若当天需求量n17，则利润y85；若当天需求量n17，则利润y10n85.故y关于n的函数解析式为y(nN)(2)()这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为(5510652075168554)76.4(元)()“当天的利润不少于75元”即“当天的需求量不少于16枝”，故当天的利润不少于75元的概率为0.160.160.150.130.10.7.
