1、上海市崇明中学2021届高三数学5月模拟考试试题（含解析）一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1椭圆+1长轴长为 2已知幂函数f（x）的图象过，则f（4） 3在四边形ABCD中，则该四边形的面积是 4已知复数za+i（aR，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|2，则复数z 5由于新冠肺炎疫情，江苏紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市分配2名医生，则甲、乙两人恰好分配在同一个城市的概率为 6如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）log2（x+1）的解集是 7已知数列an的通项公式，前n顶和为Sn，则值是 8已知过球面上三点A，
2、B，C的截面到球心距离等于球半径的一半，且ABC是边长为6的等边三角形，则球面面积为 9已知直线3x+y20与单位圆x2+y21交于A，B两点，设直线OA，OB的倾斜角分别为，那么cos+cos 10若函数f（x）2|x|a|x|+a22（xR）有唯一零点，则实数a的值为 11定义Hn为数列an的均值，已知数列bn的均值，记数列bnkn的前n项和是Sn，若SnS5对于任意的正整数n恒成立，则实数k的取值范围是 12数列an满足anan+1an+2an+an+1+an+2（anan+11，nN*），且a11，a22若anAsin（n+）+c（0，0），则实数A 二、选择题（每题5分，共20分）1
3、3sinx0是cosx1的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件14下列命题中与“f（x）为R上非奇非偶函数”等价的命题是（）A对任意xR，都有f（x）f（x）或f（x）f（x）B存在x0R，有f（x0）f（x0）且f（x0）f（x0）C存在x0R有f（x0）f（x0）或f（x0）f（x0）D存在x1，x2R，有f（x1）f（x1）且f（x2）f（x2）15若a，bR，|a|b|且，则a的取值范围为（）Aa1或a1B1a1Ca1或1a0Da1或0a116已知数列an满足an+1an23an+4，a13，则下列选项错误的是（）A数列an单调递增B数列an无界CDa1
4、00101三、解答题（满分76分）17直角坐标系xOy中，锐角的终边与单位圆的交点为P，将OP绕O逆时针能转到OQ，使POQ，其中Q是OQ与单位圆的交点，设Q的坐标为（x，y）（1）若P的模坐标为，求；（2）求的取值范围18如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ADDC，ABDC，AB2AD2CD2，点E是PB的中点（1）证明：直线BC平面PAC；（2）若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求三棱锥PACE的体积19某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达标，需要安装一块面积为x（x0）（单位：平方米）可用15年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料
5、供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为（k为常数）万元，记y为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和（1）求k的值，并建立y关于x的函数关系式；（2）求y的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积20（16分）已知椭圆：，过点D（1，0）的直线l：yk（x+1）与椭圆交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E（1）当m1且k1时，求点M、N的坐标；（2）当m2时，设，求证：+为定值，并求出该值；（3）当m3时，点D和点F关于坐标原点对称，若MNF的内切圆面积等于，求直线l的方程21（18分）若数列an、bn满足|an+1an|bn（nN*），则称bn为数列an的“偏差数列”（1）若
6、bn为常数列，且为an的“偏差数列”，试判断an是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列an是各项均为正整数的等比数列，且a3a26，bn为数列an的“偏差数列”，求的值；（3）设，bn为数列an的“偏差数列”，a11，a2na2n1且a2na2n+1，若|an|M对任意nN*恒成立，求实数M的最小值参考答案一.填空题（满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1椭圆+1长轴长为10解：a225a5，长轴长2a10故答案为：102已知幂函数f（x）的图象过，则f（4）解：设幂函数f（x）xa，幂函数f（x）的图象过，解得a，故f（4）故答案为：3在四边形ABCD中，则该四边
7、形的面积是10解：因为所以，解得m6，所以四边形的面积为，故答案为：104已知复数za+i（aR，i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|2，则复数z1i解：复数za+i（aR）在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|2，解得a1则复数z1+i故答案为：1+i5由于新冠肺炎疫情，江苏紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市分配2名医生，则甲、乙两人恰好分配在同一个城市的概率为解：抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市分配2名医生，基本事件总数n6，甲、乙两人恰好分配在同一个城市包含的基本事件个数m2，甲、乙两人恰好分配在同一个城市的概率为p故答案为：6如
8、图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）log2（x+1）的解集是（1，1解：在同一坐标系中画出函数f（x）和函数ylog2（x+1）的图象，如图所示：由图可得不等式f（x）log2（x+1）的解集是：（1，1，故答案为：（1，17已知数列an的通项公式，前n顶和为Sn，则值是0解：，故答案为：08已知过球面上三点A，B，C的截面到球心距离等于球半径的一半，且ABC是边长为6的等边三角形，则球面面积为64解：设球的球心为O，半径为R，取AB的中点D，连接CD，根据题意得ABC的外心O，在线段CD上，由ABC是边长为6的等边三角形可得，连接OC，OO，如图根据球的性质可得OCR，OO
9、而ABC即，所以OOOC，在RtOOC中，OO2+OC2OC2即，解得R4或R4（含去），所以该球的表面积S4R264，故答案为：649已知直线3x+y20与单位圆x2+y21交于A，B两点，设直线OA，OB的倾斜角分别为，那么cos+cos解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线OA，OB的倾斜角分别为，如图：由三角函数的定义得：cos+cosx1+x2，由，消去y得：10x212x+30则x1+x2，x1x2即cos+cos（x1x2）故答案为：10若函数f（x）2|x|a|x|+a22（xR）有唯一零点，则实数a的值为1解：因为xR，又f（x）2|x|a|x|+a22f（x），所以
10、函数为偶函数因为函数有一个零点，根据偶函数的性质，可得f（0）0，所以20+a220，解得a1当a1，此时f（x）2|x|x|1，知，f（x）有零点（x1），不符合题意：当a1，此时f（x）2|x|+|x|1在（0，+）上单调递增，f（x）f（0）0，根据偶函数对称性，符合题意；故答案为：a111定义Hn为数列an的均值，已知数列bn的均值，记数列bnkn的前n项和是Sn，若SnS5对于任意的正整数n恒成立，则实数k的取值范围是，解：由题意，Hn2n+1，则b1+2b2+2n1bnn2n+1，b1+2b2+2n2bn1（n1）2n，则2n1bnn2n+1（n1）2n（n+1）2n，则bn2（n
11、+1），对b1也成立，故bn2（n+1），则bnkn（2k）n+2，则数列bnkn为等差数列，故SnS5对任意的n（nN*）恒成立可化为：b50，b60；即，解得，k，故答案为：，12数列an满足anan+1an+2an+an+1+an+2（anan+11，nN*），且a11，a22若anAsin（n+）+c（0，0），则实数A解：数列an满足anan+1an+2an+an+1+an+2（anan+11，nN*），且a11，a22令n1，得：2a31+2+a3，解得a33令n2，得：6a42+3+a4，解得a41令n3，得：3a51+3+a5，解得a52，可得an+3an，a11，a22，a3
12、3anAsin（n+）+c（0，0），3，解得anAsin（n+）+c（0），1Asin（+）+c，2Asin（2+）+c，3Asin（3+）+c化为：1Asin（+）+c，2Asin（+）+c，3Asin+cAsin+Asin（+）1，AsinAsin（+）2即sin+Acos1sinAcos2+得：3Asin3，即Asin1；得：Acos1，即Acos；联立解得：tan，0，A故答案为：二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13sinx0是cosx1的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：若sinx0，则xk，kZ，此时cosx1或cosx1，即充
13、分性不成立，若cosx1，则x2k，kZ，此时sinx0，即必要性成立，故sinx0是cosx1的必要不充分条件，故选：B14下列命题中与“f（x）为R上非奇非偶函数”等价的命题是（）A对任意xR，都有f（x）f（x）或f（x）f（x）B存在x0R，有f（x0）f（x0）且f（x0）f（x0）C存在x0R有f（x0）f（x0）或f（x0）f（x0）D存在x1，x2R，有f（x1）f（x1）且f（x2）f（x2）解：由于“f（x）为R上非奇非偶函数”故存在x1，x2R，有f（x1）f（x1）且f（x2）f（x2），故选：D15若a，bR，|a|b|且，则a的取值范围为（）Aa1或a1B1a1Ca
14、1或1a0Da1或0a1解：因为a，bR|a|b|，所以，所以，因为，所以，解得a1或0a1，故选：D16已知数列an满足an+1an23an+4，a13，则下列选项错误的是（）A数列an单调递增B数列an无界CDa100101解：根据数列的递推关系式：，所以数列an单调递增，an3恒成立，故A，B正确；对于C：所以，所以：，故C正确；对于D：因为，所以，结合数列an单调递增，所以a100101，故D错误，故选：D三、解答题17直角坐标系xOy中，锐角的终边与单位圆的交点为P，将OP绕O逆时针能转到OQ，使POQ，其中Q是OQ与单位圆的交点，设Q的坐标为（x，y）（1）若P的模坐标为，求；（2
15、）求的取值范围解：（1）P的模坐标为，（2），18如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ADDC，ABDC，AB2AD2CD2，点E是PB的中点（1）证明：直线BC平面PAC；（2）若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为，求三棱锥PACE的体积【解答】（1）证明：PC平面ABCD，BC平面ABCD，PCBC，AB2，有ADCD1，ADDC且ABCD是直角梯形，即AC2+BC2AB2，ACBC，PCACC，PC平面PBC，BC平面PAC（2）解：由（1）矢BC平面PAC，BPC即为其线PB与平面PAC所成角，则PC2，19某热力公司每年燃料费约24万元，为了“环评”达
16、标，需要安装一块面积为x（x0）（单位：平方米）可用15年的太阳能板，其工本费为（单位：万元），并与燃料供热互补工作，从此，公司每年的燃料费为（k为常数）万元，记y为该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和（1）求k的值，并建立y关于x的函数关系式；（2）求y的最小值，并求出此时所安装太阳能板的面积解：（1）由公司每年的燃料费为（k为常数）万元，取x0，得，则k2400，该公司安装太阳能板的费用与15年的燃料费之和y15+，x0；（2）+257.5，当且仅当，即x55时取等号当x为55平方米时，y取得最小值为57.5万元20（16分）已知椭圆：，过点D（1，0）的直线l：yk（x+1）与椭
17、圆交于M、N两点（M点在N点的上方），与y轴交于点E（1）当m1且k1时，求点M、N的坐标；（2）当m2时，设，求证：+为定值，并求出该值；（3）当m3时，点D和点F关于坐标原点对称，若MNF的内切圆面积等于，求直线l的方程解：（1）当mk1时，联立，解之得：或，即M（0，1），N （，）；证明：（2）当m2时联立，消去y得：（3k2+2）x2+6k2x+3k260，设M（x1，y1），N （x2，y2），则，由，且点E的横坐标为0，得x1（x1+1）、x2（x2+1）从而，则，即+为定值3；解：（3）当m3时，椭圆：，假设存在直线l：yk（x+1）满足题意，则MNF的内切圆的半径为，又D（1
18、，0）、F（1，0）为椭圆的焦点，故MNF的周长为8，从而，消去y，得（4k2+3）x2+8k2x+4k2120，设M（x1，y1）、N（x2，y2），则故，即由（2），得，化简，得17k4+k2180，解得k1，故存在直线l：y（x+1）满足题意21（18分）若数列an、bn满足|an+1an|bn（nN*），则称bn为数列an的“偏差数列”（1）若bn为常数列，且为an的“偏差数列”，试判断an是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列an是各项均为正整数的等比数列，且a3a26，bn为数列an的“偏差数列”，求的值；（3）设，bn为数列an的“偏差数列”，a11，a2na2n1且a2na2n+1，若|an|M对任意nN*恒成立，求实数M的最小值解：（1）an不一定为等差数列，如，则bn2为常数列，但an不是等差数列，（2）设数列an的公比为q，则由题意，a1、q均为正整数，因为a3a26，所以a1q（q1）6123，解得或，故或（nN*），当时，；当时，；综上，的值为或；（3）由a2na2n1且a2na2n+1得，故有：，累加得：，又a11，所以，当n为奇数时，an单调递增，an0，当n为偶数时，an单调递减，an0，从而0|an|，所以M，即M的最小值为
