1、数学试题一、单选题（每小题5分）1.已知数列，则是这个数列的（ ）A. 第5项B. 第6项C. 第7项D. 第8项【答案】B【解析】【分析】根据数列最后一项可知通项公式，即可确定解.【详解】数列通项公式为，当，解得，故选：B.【点睛】本题考查了由通项公式求数列项数，属于基础题.2.不等式的解集为（ ）A. 或B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】不等式等价于，再解不等式.【详解】原式等价于，即，解得： 所以不等式的解集是.故选：C.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，重点考查计算能力，属于基础题型.3.已知，且.下列不等式中成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分
2、析】由和，得，根据不等式的性质可得选项.【详解】，且，.故选:B.【点睛】本题考查不等式的性质的运用，关键在于由已知条件得出变元的符号，属于基础题.4.在等比数列an中，a2、a14是方程x2-5x+6=0的两个根，则a8的值为（）A. 或B. C. D. 或【答案】B【解析】【分析】由题意利用一元二次方程根与系数的关系，等比数列的性质，求得a8的值【详解】解：等比数列an中，a2、a14是方程x2-5x+6=0的两个根，a2+a14=5，a2a14=6，解得a2和a14中，一个等于2，另一个等于3，故有a2a14=6，a8=再根据a8=a2q60，a8=，故选B【点睛】本题主要考查一元二次方
3、程根与系数的关系，等比数列的性质，属于基础题5.已知等差数列、，其前项和分别为、，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式以及等差中项的性质得出，于此可得出结果【详解】由等差数列的前项和公式以及等差中项的性质得，同理可得，因此，故选A【点睛】本题考查等差数列前和公式以及等差中项性质的应用，解题关键在于等差数列下标性质的应用，能起到简化计算的作用，考查计算能力，属于中等题6.等差数列中，已知,则( )A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】A【解析】【分析】由等差中项的性质求得的值，再由等差中项的性质可得的值.【详解】由等差中项的性质得， 所以，
4、则，所以，故选：A.【点睛】在等差数列的性质中，下标和的性质是比较重要的一个，也是常考的内容之一，此性质指的是“若mnpq，则amanapaq”，它说明了等差数列中与首末两项距离相等的两项的和相等，这一性质常与等差数列的前n项和公式结合在一起，采用整体代换的思想，达到简化解题过程的目的7.等差数列的公差不为0，是其前项和，给出下列命题：若，且，则和都是中的最大项；给定，对一切，都有；若，则中一定有最小项；存在，使得和同号.其中正确命题的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】B【解析】【分析】中可推导，结合，可知数列前5项为正，第6项为0，即可判断结论正误根据等差数列中下标之和相等
5、则项的和相等的性质，可判断正误时，不论首项的符号，都能判断中一定有最小项根据等差数列的定义可知和分别为，即可判断正误.【详解】对于若，可得，即，所以和都是中的最大项，正确；根据等差中项性质可知，所以是正确的；根据等差数列求和公式可知，当时，是最小值；当，或时取最大值；和，因为，所以和异号，故是错误的.【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式和前项和的性质，属于中档题.8.若对于任意的x0，不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )A. aB. aC. aD. a【答案】A【解析】【分析】由于x0，对不等式左侧分子分母同时除以x，再求出左侧最大值即可求解.【详解】由题：对于任意的x0，不等式恒成立
6、，即对于任意的x0，不等式恒成立，根据基本不等式：，当且仅当时，取得等号，所以的最大值为，所以.故选：A【点睛】此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.9.已知数列满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得，再将这2019个式子相加得到结论.【详解】由题意可知，这个式子相加可得.故选：B.【点睛】本题考查累加法，重点考查计算能力，属于基础题型.10.当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（ ）A. B. C. D. （0，4）【答案】C【解析】当时，不等式可化为，显然恒
7、成立；当时，若不等式恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与轴无交点，则解得：，综上的取值范围是，故选C.11.已知的前项和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先运用求出通项，判断的正负情况，再运用即可得到答案【详解】当时，；当时，故；所以，当时，当时，.因此，.故选：B【点睛】本题考查了由数列的前项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分和两种情形，第二要掌握这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.12.若方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答
8、案】D【解析】【分析】设，然后由不等式组解之可得.【详解】设，由题意得：，解之得实数的取值范围为：.故选D.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的分布问题，将其与二次函数的图象结合即可解决问题，属常规考题.二、填空题（每小题5分）13.已知数列前项和为，且，则_【答案】14【解析】【分析】由可得结果.【详解】由题意得故答案为：.【点睛】本题考查由求，考查计算能力，属于基础题.14.设等比数列的前n项和为，若，则为_【答案】【解析】【分析】首先讨论，代入等比数列前项和公式，求，再代入求值.【详解】当时，所以；当时，.所以.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列前项和公式，重点考查计算能力，属于基础题
9、型.15.已知函数（a，b为常数），且，则_【答案】1【解析】【分析】设，并且函数是奇函数，利用奇函数的性质求值.【详解】设是奇函数，因为函数是奇函数，所以，所以.故答案为：1.【点睛】本题考查奇函数的应用，意在考查转化与变形，属于基础题型.16.数列的首项，且，则数列的通项公式为_【答案】【解析】【分析】等式两边加1，构造，构造数列是公比为3的等比数列，求通项公式.【详解】 ，数列是首项为，公比为3的等比数列，.故答案为：.【点睛】本题考查由递推公式求通项公式，重点考查构造等比数列，属于基础题型.三、解答题17.已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8（1）求等差数列的通项公式；（2）若成等
10、比数列，求数列的前20项和.【答案】（1），或；（2）500【解析】【分析】（1）设等差数列的的公差为，则，建立方程组求解；（2）由（1）可知，根据项的正负关系求数列的前20项和.【详解】解：（1）设等差数列的公差为，则，由题意得，解得或，所以由等差数列通项公式可得或故或；（2）当时，分别为，2，不成等比数列；当时，分别为，2，成等比数列，满足条件故，记数列的前项和为，.【点睛】本题考查等比数列，等差数列的简单应用，以及含绝对值数列的前项的和.18.解关于x的不等式.【答案】答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】不等式等价于，再分，和三种情况讨论解不等式.【详解】解：原不等式可化为，即，当即
11、时，；当时，即时，原不等式的解集为；当即时，综上知：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为【点睛】本题考查含参一元二次不等式 解法，重点考查讨论的思想，属于基础题型.19.已知数列中，其前n项和记为，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用递推公式及,可证明数列为等比数列,求得首项后,即可求得数列的通项公式.（2）将代入中求得数列.可知为等比与等差数列的和,即可利用分组求和法求得前n项和.【详解】（1）由题意得,（）,两式相减得（）,又,（）,是首项为1,公比为3的等比数列,.（2）由（1）可知则所以,所以
12、为等比数列与等差数列的和.利用分组求和法可得.【点睛】本题考查了递推公式及的应用,等比数列的证明及等比数列通项公式的求法,等差数列与等比数列前n项和公式的应用,分组求和法的应用,属于基础题.20.已知函数（1）若函数在上是单调函数，求实数取值范围；（2）当，时，不等式恒成立，求实数的范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先求函数的对称轴，令或 ，求实数的取值范围；（2）不等式等价于恒成立，令，转化为，恒成立，求的取值范围.【详解】解：（1）函数 的对称轴为，又函数在上单调函数，或 ， 解得或实数的取值范围为；（2）当，时，恒成立，即恒成立，令，恒成立，函数的对称轴，即，的范围为【点
13、睛】本题考查二次函数单调性，恒成立的的综合问题，属于基础题型.21.已知数列满足（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和【答案】（1）证明详见解析；（2）【解析】【分析】（1）条件变形为，证明数列是等差数列，并求通项公式；（2）由（1），利用错位相减法求和.【详解】解：（1）， 是等差数列， 即；（2），则，两式相减得，【点睛】本题考查由数列的递推公式求通项公式，错位相减法求和，重点考查计算能力，转化与变形能力，属于中档题型.22.已知数列满足：，（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）设，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）（）；（3）【解析】【分析】（1）利用赋值，求，值；（2）当时，两式相减，即可求得通项公式；（3）由（2）可知，利用裂项相消法求和.【详解】解：（1）由已知得 ，；（2），当时，得，也适合此式， （）；（3）由（2）得，.【点睛】本题考查已知数列的前项和，求通项公式，裂项相消法求和，重点考查变形，计算能力，属于常考题型.
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