1、3反证法A组1.命题“关于x的方程ax=b(a0)的解是唯一的”的结论的否定是()A.无解B.有两个解C.至少有两个解D.无解或至少有两个解解析:“唯一”的意思是“有且只有一个”,其反面是“没有”或“至少两个”.答案:D2.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖.”乙说:“甲、丙都未获奖.”丙说:“我获奖了.”丁说:“是乙获奖.”四位歌手的话只有两人说得正确,则获奖歌手是()A.甲B.乙C.丙D.丁解析:若甲获奖,则甲、乙、丙、丁四人的话都是错的;同理,可推出乙、丙、丁获奖情况,最后可知获奖的歌手是丙.答案:C3.用反证法证明命题“如果ab
2、,那么3a3b”时,假设的内容应是()A.3a=3bB.3a3bC.3a=3b,且3a3bD.3a=3b,或3a3b,3a=3b,3a3b的反面应为3a=3b,或3a0”是“P,Q,R同时大于零”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案:C5.设x,y,z0,则三个数yx+yz,zx+zy,xz+xy()A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2解析:由于yx+yz+zx+zy+xz+xy=yx+xy+zx+xz+yz+zy2+2+2=6,yx+yz,zx+zy,xz+xy中至少有一个不小于2,故选C.答案:C6.
3、用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a,b全为0(a,b为实数)”时,应假设.解析:“a,b全为0”即是“a=0且b=0”.因此它的否定为“a0或b0”.答案:a,b不全为0(a,b为实数)7.有下列叙述:“ab”的反面是“ay或x1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为()A.a,b,c,d中至少有一个正数B.a,b,c,d全为正数C.a,b,c,d全都大于等于0D.a,b,c,d中至多有一个负数解析:“a,b,c,d中至少有一个负数”的否定为“a,b,c,d全都大于等于0”,故选C.答案:C2.实数a,b,c满足a+2b+c=2,则()A.a,b,c都是正数B.a,b,c都大于1
4、C.a,b,c都小于2D.a,b,c至少有一个不小于12解析:假设a,b,c均小于12,则a+2b+c12+1+12,与已知矛盾.答案:D3.已知0a1,0b1,0c14,(1-b)c14,(1-c)a14.三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c164.而(1-a)a1-a+a22=14,同理(1-b)b14,(1-c)c14.(1-a)a(1-b)b(1-c)c164,与假设矛盾,故结论正确.4.已知直线m与直线a和直线b分别交于A,B两点,且ab.证明:过直线a,b,m有且只有一个平面.证明:ab,过a,b有一个平面.又ma=A,mb=B,A,B.又Am,Bm,m,即过a,b
5、,m有一个平面.假设过a,b,m还有一平面异于平面,则a,b,a,b,这与ab,过a,b有且只有一个平面相矛盾.因此,过直线a,b,m有且只有一个平面.5.等差数列an的前n项和为Sn,a1=1+2,S3=9+32.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn;(2)设bn=Snn(nN+),求证:数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.(1)解:由已知得a1=2+1,3a1+3d=9+32,d=2,故an=2n-1+2,Sn=n(n+2).(2)证明:由(1)得bn=Snn=n+2.假设数列bn中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列,则bq2=bpbr,即(q+2)2=(p+2)(r+2).(q2-pr)+2(2q-p-r)=0.p,q,rN+,q2-pr=0,2q-p-r=0.p+r22=pr,(p-r)2=0.p=r.与pr矛盾.数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列.6.已知函数f(x)=ax+x-2x+1(a1).用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.证明:假设存在x01)是增函数,ax0(0,1).记t=2-x0x0+1,则x0=2-tt+1,由x02或t-1.这与ax0(0,1)矛盾.方程f(x)=0没有负数根.
