1、第4讲导数的热点问题(2014课标全国)设函数f(x)aln xx2bx(a1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x01，使得f(x0)0；(3)求证：(n2，nN*)思维升华用导数证明不等式的方法(1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，则f(a)f(x)f(b)，对x1，x2a，b，且x1x2，则f(x1)f(x2)对于减函数有类似结论(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对xD，则f(x)M(或f(x)m)(3)证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)1时，f(x)g(
2、x)；(3)是否存在正实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由提醒：完成作业专题二第4讲二轮专题强化练专题二第4讲导数的热点问题A组专题通关1已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调增函数，则a的最大值是()A0 B1C2 D32已知R上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x22x3)f(x)0的解集为()A(，2)(1，)B(，2)(1,2)C(，1)(1,0)(2，)D(，1)(1,1)(3，)3若不等式2xln xx2ax3恒成立，则实数a的取值范围为()A(，0) B(，4C(0，) D4，)4如果函数f(x)ax2bxcln x(a，b，c
3、为常数，a0)在区间(0,1)和(2，)上均单调递增，在(1,2)上单调递减，则函数f(x)的零点个数为()A0 B1C2 D35(2014陕西)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()Ayx3x Byx3xCyx3x Dyx3x6关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_7已知函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_8已知f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0，且x1时，f(x).10已知函数f(x)
4、2ln xx2ax(aR)(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在，e上有两个零点，求实数m的取值范围B组能力提高11对于R上可导的任意函数f(x)，若满足0，则必有()Af(0)f(2)2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)0.(1)若a2，求曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程；(2)是否存在负数a，使f(x)g(x)对一切正数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由学生用书答案精析第4讲导数的热点问题高考真题体验解(1)f(x)(1a)xb.由题设知f(1)0，解得b1.(2)f(x)的定义域为(0
5、，)，由(1)知，f(x)aln xx2x，f(x)(1a)x1(x)(x1)若a，则1，故当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)单调递增所以，存在x 01，使得f(x0)的充要条件为f(1)，即1，解得1a1.若a1，故当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)单调递减，在(，)单调递增所以，存在x01，使得f(x0)的充要条件为f()，所以不合题意若a1，则f(1)10)解f(x)0得x(1，)；解f(x)f(1)即f(x)2，所以f(x)20.(3)证明由(1)可知，当x(1，)时，f(x)f(1)，即ln xx10，0ln xx1对一切x(1，)成立n2，nN*，则有0ln
6、 nn1，0.1时，f(x)0恒成立，即ln x0，等价于k1时，h(x)0，函数h(x)在(1，)上单调递增，故h(x)h(1)0.从而，当x1时，g(x)0，即函数g(x)在(1，)上单调递增，故g(x)g(1).因此，当x1时，kxln x恒成立，则k.所求k的取值范围是(，例2解(1)由题设，当me时，f(x)ln x，则f(x)，当x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，当xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当
7、x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m0，函数g(x)单调递增；在区间(e，)上，g(x)，即所求实数a的取值范围为(，)例3解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意得200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增
8、函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大跟踪演练3解析设剪成的两块中是正三角形的那一块边长为x m，则梯形的周长为x(1x)(1x)13x，梯形的面积为x2，s(0x1)，对s求导得s.令s0，得x或x3(舍去)当x(0，)时，s0.smins().高考押题精练(1)解f(x)xln x，f(x)1，当0x1时，f(x)0，此时f(x)单调递减；当10时，此时f(x)单调递增f(x)的极小值为f(1)1.(2)证明f(x)的极小值为1，f(x)在(0，e上的最小值为1，即f(x)mi
9、n1.又g(x)，当0x0，g(x)在(0，e上单调递增g(x)maxg(e)，在(1)的条件下，f(x)g(x).(3)解假设存在正实数a，使f(x)axln x(x(0，e)有最小值3，则f(x)a.当00等价于或解得x(，1)(3，)或x(1,1)3B条件可转化为a2ln xx恒成立设f(x)2ln xx，则f(x)(x0)当x(0,1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以f(x)minf(1)4.所以a4.4B由题意可得f(x)2axb，则解得所以f(x)a(x26x4ln x)，则极大值f(1)5a0，极小值f(2)a(4ln 28)0，结合函数图象可得该函数只有一个零点，故选
10、B.5A函数在5,5上为减函数，所以在5,5上y0，经检验只有A符合故选A.6(4,0)解析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22，当x0；当0x2时，f(x)2时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值f(0)a；当x2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值f(2)4a，所以解得4a0.70t1或2t3解析f(x)x4，由f(x)0得函数的两个极值点1,3，则只要这两个极值点在区间(t，t1)内，函数在区间t，t1上就不单调，由t1t1或t3t1，解得0t1或2t3.8解析
11、f(x)x36x29xabc，ab0，f(3)275427abcabc0，且f(0)abcf(3)0，所以f(0)f(1)0.9(1)解f(x).由于直线x2y30的斜率为，且过点(1,1)故即解得a1，b1.(2)证明由(1)知f(x)，所以f(x)(2ln x)考虑函数h(x)2ln x(x0)，则h(x).所以当x1时，h(x)0，可得h(x)0；当x(1，)时，h(x)0.从而当x0，且x1时，f(x)0，即f(x).10解(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2l
12、n xx2m，则g(x)2x.x，e，当g(x)0时，x1.当x0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又g()m2，g(e)m2e2，g(e)g()4e20，则g(e)g()g(x)在，e上的最小值是g(e)g(x)在，e上有两个零点的条件是解得1m2，实数m的取值范围是(1,211A由条件知，当x1时，f(x)1时，f(x)0，所以当x1时，f(x)取得最小值，所以有f(0)f(1)，f(2)f(1)，故有f(0)f(2)2f(1)12，)解析f(x)exxexex(1x)，当x1时，f(x)0，函数f(x)单调递增；当x1时，f(x)0)假设存在负数a，使得f(x)g(x)对一切正数x都成立，即当x0时，h(x)的最大值小于等于零h(x)a2a2x (x0)令h(x)0，得x1，x2(舍去)当0x0，h(x)在(0，上单调递增；当x时，h(x)0，h(x)在，)上单调递减所以h(x)在x处有极大值，也是最大值所以h(x)maxh0，即ln()0，解得ae，所以负数a存在，它的取值范围为a|ae
