1、32函数与方程、不等式之间的关系新课程标准解读核心素养1.结合学过的函数图像，了解函数零点、方程解与不等式的关系直观想象、数学抽象2.结合具体连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在定理，了解用二分法求函数零点近似值具有一般性直观想象、数学运算第一课时函数的零点、三个“二次”间的关系路边有一条河，小明从A点走到了B点，观察下列两组图示问题哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？知识点函数的零点1函数零点的概念一般地，如果函数yf(x)在实数处的函数值等于零，即f()0，则称为函数yf(x)的零点2二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f
2、(x)ax2bxc(a0)：(1)当b24ac0时，方程ax2bxc0的解集中有两个元素x1，x2，且x1，x2是f(x)的两个零点，f(x)的图像与x轴有两个公共点(x1，0)，(x2，0)；(2)当b24ac0时，方程ax2bxc0的解集中只有一个元素x0，且x0是f(x)唯一的零点，f(x)的图像与x轴有一个公共点；(3)当b24ac0时，一元二次方程ax2bxc0的实数根、一元二次不等式ax2bxc0(000ax2bxc0的实数根x1，2(其中x10的解集x|xx2x|xx1Rax2bxc0的解集x|x1xx2类似可得到a0时的情形 函数的零点是点吗？提示：不是，是使f(x)0的实数x
3、，是方程f(x)0的根1函数f(x)2x23x1的零点是()A，1B.，1C.，1 D，1解析：选B方程2x23x10的两根分别为x11，x2，所以函数f(x)2x23x1的零点是，1.2方程x24x50的解集为_，不等式x24x50的解集为_答案：1，5(1，5)求函数的零点例1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出：(1)f(x)；(2)f(x)x22x4.解(1)令0，解得x3，所以函数f(x)的零点是x3.(2)令x22x40，由于22414120，所以方程x22x40无实数解，所以函数f(x)x22x4不存在零点求函数yf(x)的零点的方法(1)求函数f(x)的零点就是求方程f(
4、x)0的解，求解时注意函数的定义域；(2)已知x0是函数f(x)的零点，则必有f(x0)0. 跟踪训练1函数f(x)的零点为_解析：当x0时，x20，则x2.当x0时，x210，则x1，x1(舍)所以函数f(x)的零点为2和1.答案：2和12已知函数f(x)x23(m1)xn的零点是1和2，则mn_解析：因为f(x)x23(m1)xn的零点为1和2，所以1和2是方程x23(m1)xn0的两个实数解，所以解得所以mn(2)24.答案：4二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系例2(链接教科书第114页例4)分别画出下列函数的图像，并指出函数值y0，y0，y0时自变量x的取值(1)yx2
5、x2；(2)yx26x9；(3)y2x24x4.解(1)作出函数的图像，如图所示，由图可知：当y0时，x2或x1；当y0时，x2或x1；当y0时，2x1.(2)作出函数的图像，如图所示，由图可知：当y0时，x3；当y0时，x3；当y0时，符合题意的x不存在(3)作出函数的图像，如图所示，由图可知：当y0时，xR；当y0时，符合题意的x不存在；当y0时，符合题意的x不存在一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集，即二次函数yax2bxc(a0)中满足y0时的自变量x组成的集合，即二次函数yax2bxc(a0)的图像在x轴
6、上方时点的横坐标x的集合 跟踪训练1若不等式f(x)ax2xc0的解集为(2，1)，则函数yf(x)的图像为()解析：选B因为不等式f(x)的解集为(2，1)，所以a0，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为2，1，故选B.2不等式组的解集为_解析：由得所以0x1或2x3.答案：x|0x1或2x3用函数零点法求一元高次不等式的解集例3(链接教科书第114页例5)求函数f(x)2(x23x2)(x1)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)0和f(x)0的解集解令f(x)0，即2(x1)(x2)(x1)0，得函数的零点为1，1，2.函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号
7、如表所示：x(，1)(1，1)(1，2)(2，)f(x)f(x)的示意图如图：f(x)0的解集为1，12，)，f(x)0的解集为(，1)(1，2)解高次不等式的基本方法(1)将高次不等式f(x)0)中的多项式f(x)分解成若干个不可约因式的积，根据符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)，于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集(2)穿针引线法：将不等式转化为一端为零的形式，如f(x)0或f(x)0等；对f(x)进行因式分解，使各因式为一次因式或二次不可约因式；求出各因式对应方程的实数根，并在数轴上依次标出，注意点的虚实；若最高次项的系数为正，则自最右端上方起依次穿过各根画出曲线；
8、若最高次项的系数为负，则自最右端下方起依次穿过各根画出曲线，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(即奇过偶不过)；记数轴上方为正，下方为负，根据不等式符号写出解集上述步骤可以概述为：首正右上翘，首负右下掉；奇过偶不过，引线解知道 跟踪训练已知函数f(x)x(x2)(x3)(1)求f(x)的零点并画出其图像示意图；(2)写出f(x)0的解集解：(1)令f(x)0，即x(x2)(x3)0，得函数的零点是3，0，2.f(x)的示意图如图(2)函数的定义域被零点分成了四部分，每一部分函数值的符号如表所示：x(，3)(3，0)(0，2)(2，)f(x)f(x)0的解集为(，3)(0，2)一元二次方程根的分
9、布问题例4已知关于x的一元二次方程x22mx2m10.若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围解令f(x)x22mx2m1，依题意得函数f(x)x22mx2m1的图像与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，画出图像如图所示：由图像得即即m的取值范围是.解一元二次方程根的分布问题一般从四个方面考虑：(1)抛物线开口方向；(2)一元二次方程根的判别式；(3)对应区间端点函数值的符号；(4)抛物线的对称轴与区间端点的位置关系 跟踪训练设二次函数f(x)x2axa，方程f(x)x0的两根x1和x2满足0x1x21，求实数a的取值范围解：令g(x)f(x
10、)xx2(a1)xa，则由题意可得解得0a32.故实数a的取值范围是(0，32)1函数f(x)x23x2的零点是()A(1，0)B(2，0)C(1，0)与(2，0) D1与2解析：选D零点是数而不是点故选D.2函数yx2bx1有一个零点，则b的值为()A2 B2C2 D3解析：选C因为函数有一个零点，所以b240，所以b2.3下列图像表示的函数中没有零点的是()解析：选A函数没有零点就是函数的图像与x轴没有交点，故选A.4不等式(x1)(x29)0的解集是_解析：原不等式可化为(x1)(x3)(x3)0，则对应方程的三个实数根分别为1，3，3.如图所示，在数轴上标出三个实数根，从右上方开始依次穿过由图可知不等式(x1)(x29)0的解集为x|3x1或x3答案：x|3x1或x35已知函数f(x)x2bx3.(1)若f(0)f(4)，求函数f(x)的零点；(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围解：(1)由f(0)f(4)得3164b3，即b4，所以f(x)x24x3，令f(x)0，即x24x30得x13，x21.所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图需f(1)0，即1b30，所以b4.故b的取值范围为(4，)
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