1、课时跟踪检测(二十七)直线与椭圆的位置关系A级基础巩固1已知直线l过点(3，1)，且椭圆C：1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A1B1或2C2 D0解析：选C因为直线过定点(3，1)且1，所以点(3，1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点2若直线ykx2与椭圆1相切，则斜率k的值是()A. BC D解析：选C把ykx2代入1，得(23k2)x212kx60，由题意知0，k2，k.3过椭圆x22y24的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为()A. B.C. D.解析：选B易求直线AB的方程为y(x)由消去y并整理，得7x212x80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x
2、2，x1x2.由弦长公式，得|AB|x1x2| .4直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选B设椭圆的方程为1(ab0)，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，不妨设直线方程为1.椭圆的中心到l的距离为其短轴长的，即4b2，3，3，e.故选B.5已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点是M(4，1)，则椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析：选C设直线xy50与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28，y1y22，直线AB的斜率k1.由得0，1，故椭圆的离心率e.故选C.6
3、过椭圆1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为_解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c1，将x1代入1，得1，解得y2，即y，所以最短弦的长为23.答案：4，37已知直线l：ykx1与椭圆y21交于M，N两点，且|MN|，则k_解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并整理得(12k2)x24kx0，所以x1x2，x1x20.由|MN|，得(x1x2)2(y1y2)2，所以(1k2)(x1x2)2，所以(1k2)(x1x2)24x1x2，即(1k2).化简得k4k220，所以k21，所以k1.答案：18过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于
4、A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_解析：由题意知，右焦点的坐标为(1，0)，直线的方程为y2(x1)，将其与1联立，消去y，得3x25x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x20，所以|AB|x1x2|.设原点到直线的距离为d，则d.所以SOAB|AB|d.答案：9设椭圆C：1(ab0)过点(0，4)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被椭圆C所截线段的中点的坐标解：(1)将(0，4)代入椭圆C的方程得1，b4.又e，得，即1，a5，椭圆C的方程为1.(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y(x3)设直线与椭圆C的交点为A(x
5、1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程y(x3)代入椭圆C的方程，得1，即x23x80，则x1x23，(x1x26)，即所截线段中点的坐标为.10.如图，已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且2，求椭圆的方程解：(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形所以有|OA|OF2|，即bc.所以ac，e.(2)由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，由2，解得x，y.代入1，得1，即1，解得a23，b22，所以椭圆方程为1.B级综合运用11已知椭圆
6、C：1(ab0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则ABF等于()A60 B90C120 D150解析：选B由题意知，切线的斜率存在，设切线方程为ykxa(k0)，与椭圆方程联立得消去y，整理得(b2a2k2)x22a3kxa4a2b20，由4a6k24(b2a2k2)(a4a2b2)0，得k，从而yxa.因为直线交x轴的负半轴于点A，所以A.又F(c，0)，所以，(c，a)，则0，故ABF90，故选B.12(多选)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒
7、行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是()A卫星向径的取值范围是ac，acB卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小解析：选ABD根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是ac，ac，A正确；由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，当卫星在左半椭圆弧运行时，由面积守恒规律知时间更长，B正确；1，当比值越大，则e越小
8、，椭圆轨道越圆，C错误；根据面积守恒规律可知，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确故选A、B、D.13已知动点P(x，y)在椭圆1上，若A点坐标为(3，0)，|1，且0，则|的最小值是_解析：易知点A(3，0)是椭圆的右焦点0，.|2|2|2|21，椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|min2，|min.答案：14在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：1(ab0)的离心率e，且点P(2，1)在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求AOB面积的最大值解：(1)由题意得椭圆C的方程为1.(2)设直线AB的方程为yxm，联立得
9、3x24mx2m260，|AB|x1x2| ，原点到直线的距离d.SOAB .当且仅当m时，等号成立，AOB面积的最大值为.C级拓展探究15椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B分别是它的左、右焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，求小球经过的路程解：(1)静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(ac)；(2)静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(ac)；(3)静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁非左、右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.综上可知，三种情况均有可能
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