1、上海市闵行区闵行中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一. 填空题1.设复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为 .【答案】【解析】【详解】试题分析：，所以虚部为.考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为2.三条直线相交于一点，则它们最多能确定_个平面【答案】3【解析】【分析】以三棱锥为载体，能求出不重合的三条直线相交于一点，它们最多能确定多少个平面【详解】如图，三棱锥中，平面，直线、共点于，、三条直线确定
2、一个平面，直线、共点于，、三条直线确定三个平面：平面、平面、平面不重合的三条直线相交于一点，则它们最多能确定3个平面故答案为：3【点睛】本题考查平面个数的确定，是基础题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推论的合理运用3.的展开式中的系数为_【答案】【解析】【分析】在二项展开式的通项中令的指数为，求出参数值，然后代入通项可得出结果.【详解】的展开式的通项为，令，因此，的展开式中的系数为.故答案为：.【点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.4.本不同的课外读物分给4位同学，每人一本，则不同的分法有_种（用数字填写答案）【答案】【解析】
3、【分析】根据排列的定义，由题意，直接计算，即可得出结果.【详解】本不同的课外读物分给4位同学，每人一本，则不同的分法有.故答案为：.【点睛】本题主要考查排列的应用，属于基础题型.5.已知复数是纯虚数（是虚数单位），则实数的值为_.【答案】【解析】【分析】利用复数的代数形式的乘除运算进行化简，根据纯虚数的定义，由实部等于，虚部不等于，列式求解即可.【详解】复数是纯虚数，且，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算以及复数基本概念，属于基础题.6.把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排，则能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是_.【答案】【
4、解析】【分析】先确定“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意排成一排的所有可能情况，再求概率即可【详解】“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意排成一排，共有种故能能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是，故答案为：【点睛】本题主要考查了古典概型的概率，解题的关键是确定基本事件的种数，属于中档题.7.7个人站成一排，若甲，乙，丙三人互不相邻的排法共有_种【答案】1440【解析】【分析】因为要求不相邻，采用插空法来解，先排列另外四人，有种结果，再在排列好的四人的5个空里，排列甲、乙、丙，有种结果，根据分步计数原理相乘得到结果【详解】解：7个人站成一排，若甲、乙、丙彼此不相邻，采用插
5、空法来解，先排列甲、乙、丙之外的4人，有种结果，再在排列好的4人的5个空里，排列甲、乙、丙，有种结果，根据分步计数原理知共有种结果，故答案为：1440【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空里，排列不相邻的元素属于基础题8.若且，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】，表示以原点为圆心、1为半径的圆，到原点的距离，可得的最小值【详解】，的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆到原点距离，则（为虚数单位）的最小值故答案为：.【点睛】本题考查复数的运算法则、几何意义，考查推理能力与计算能力9.已知向量且与互相垂直，则k的值
6、是_.【答案】【解析】【分析】利用向量垂直数量积等于零即可求解.【详解】由向量，则，因为与互相垂直，所以，即，解得.故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算以及空间的向量积，属于基础题.10.【2016高考新课标2改编】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为_.【答案】18【解析】由题意，要使小明从街道的处出发到处最短，小明需走两纵两横四段路，共有条不同的路，再从处到处最短共有条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故答案为.11.长方体的12条棱的总长度为56，表面积为112，那么长方体
7、的对角线长为_【答案】【解析】【分析】设出该长方体的长宽高分别为a，b，c，由已知有：，解之可得出对角线的长.【详解】设该长方体的长宽高分别为a，b，c，则有：，即，即长方体的对角线的长为：，故答案：.【点睛】本题考查长方体的边长，表面积，对角线之间的关系，属于基础题.12.六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有_种（用数字回答）.【答案】135【解析】【分析】根据题意先确定2个人位置不变，共有种选择，再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，计算得到答案.详解】根据题意先确定2个人位置不变，共有种选择.再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位
8、置，共有种选择，故不同的坐法有.故答案为：.【点睛】本题考查了分步乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力.二. 选择题13.在的展开式中，的系数等于A. 280B. 300C. 210D. 120【答案】D【解析】【分析】根据二项式定理，把每一项里的系数单独写下来，然后相加，再根据组合数性质，化简求值【详解】解：在的展开式中，项的系数为故选D【点睛】本题主要考查二项式定理展开以及利用组合数性质进行化简求值14.已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由原图与直观图的面
9、积比可求得该四棱锥的底面积，利用棱锥体积公式即可得解.【详解】由题意结合原图与直观图的面积比为可知该四棱锥的底面积，则该四棱锥的体积为.故选：D.【点睛】本题考查了原图与直观图之间的关系，考查了棱锥体积的计算，属于基础题.15.据记载，欧拉公式（）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”，特别是当时，得到一令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和零元0）联系到一起，很多数学家评价它是“最完美的数学公式”，根据欧拉公式，在复平面内，若复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（ ）A. B. C. D.
10、【答案】A【解析】【分析】根据题意：，根据图像得到旋转得到答案.【详解】根据题意：，向量绕原点按逆时针方向旋转得到的复数.故选：A.【点睛】本题考查了求复数，意在考查学生的计算能力和理解能力，应用能力.16.当动点在正方体的棱上运动时，异面直线与所成角的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过平行找线线角，再根据三角形求角.【详解】设正方体棱长为1，则，连接，由可知，即为异面直线与所成角，在中，故，又， ，又在为单调减函数，故选.【点睛】本题考查异面直线所成角，考查基本分析求解能力，属基础题.三.解答题17.已知关于的实系数一元二次方程的两个虚根是、.（1）若，求的
11、值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设、，所以，即可得到p；（2）结合设出的根，即可求得，结合.【详解】（1）由题关于的实系数一元二次方程的两个虚根是、.根据求根公式所以可设、，所以，（2），.【点睛】此题考查在复数集内，根据二次方程的根的关系求解系数相关问题，关键在于熟练掌握复数相关运算法则准确求解.18.在一次演唱会上共10 名演员（每名演员都会唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人会跳舞.（1）问既能唱歌又会跳舞的有几人？（2）现要选出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少种选派方法？【答案】（1）3人；（2）228.【解析】分析】（1）设既能唱歌又会跳舞的有人，
12、再列出关于的方程，即可得答案；（2）由（1）得：有3人既能唱歌又会跳舞，4人只能唱歌，3人只会跳舞，以仅会唱歌为分类标准，利用计算原理计算即可得答案；【详解】（1）设既能唱歌又会跳舞的有人，设既能唱歌又会跳舞有3人。（1）由（1）得：有3人既能唱歌又会跳舞，4人只能唱歌，3人只会跳舞，只能唱歌选0人，只能唱歌选1人，只能唱歌选2人，有228种选派方法.【点睛】本题考查分类、分步计数原理及组合数的应用，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力.19.如图,直三棱柱内接于高为的圆柱中,已知,为的中点,求：（1）圆柱的全面积和体积；（2）求直线与平面所成的角的大小.【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析
13、】(1)先求出底面半径,再根据上下底面积与侧面积之和求解全面积与体积即可.(2)连接,再证明直线与平面所成的角为,再求得与的长求解即可.【详解】(1)易得底面直径,故全面积.体积.(2) 连接,因为,故,又平面,故.又,故平面.故直线与平面所成的角为.又,.故,故.【点睛】本题主要考查了圆柱的表面积与体积的求解,同时也考查了线面角的求解,需要根据题意证明出线面垂直,进而得出线面角.属于基础题.20.如图，在直角中，通过以直线为轴顺时针旋转120得到（），点为线段上一点，且.（1）求证：，并证明：平面；（2）分别以、为、轴建立空间直角坐标系，求异面直线与所成角的大小（用反余弦运算表示）；（3）若
14、，求锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得，通过证明，证得平面.（2）利用直线和直线的方向向量，计算出线线角的余弦值，进而求得线线角的大小.（3）判断出锐二面角的平面角，进而求得其大小.【详解】（1）由于，所以，在三角形中，由余弦定理得.所以，所以.依题意可知，所以平面，由于平面，所以.因为，所以平面.（2）在三角形中，由余弦定理得.所以.依题意建立如图所示空间直角坐标系.则，设，由得，所以，解得，所以.所以.设异面直线与所成角为，则，由于，所以.（3）由于，所以是等腰直角三角形斜边的中点，所以，所以.由（1）知平面，所以，所以锐二面角
15、的平面角的平面角为，其大小为.【点睛】本小题主要考查线面垂直的证明，考查异面直线所成的角，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21.已知展开式中的项按的升幂排列依次记为，设.（1）若，求的值；（2）求数列（）的所有项的和；（3）求证：对任意，恒有.【答案】（1）8；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据二项式定理的通项公式，写出，即求的值；（2）根据二项式定理的通项公式，写出，即可求出；（3）利用导数判断在上的单调性，只需，即可证明.【详解】（1）由题意.，.（2）由题意.（3）证明：由题意.当时，且不恒为0，在上单调递增.对任意，恒有.又.设，则，将以上两式
16、两端分别相加得：，即.对任意，恒有.【点睛】本题考查二项式定理、二项式系数的性质，考查利用导数研究函数的单调性，属于较难的题目.22.如图，正方体是一个棱长为2的空心蔬菜大棚，由8个钢结构（地面没有）组合搭建而成的，四个侧面及顶上均被可采光的薄膜覆盖，已知为柱上一点（不在点、处），（），菜农需要在地面正方形内画出一条曲线将菜地分隔为两个不同的区域来种植不同品种的蔬菜以加强管理，现已知点为地面正方形内的曲线上任意一点，设、分别为在点处观测和的仰角.（1）若，请说明曲线是何种曲线，为什么？（2）若为柱的中点，且时，请求出点所在区域的面积.【答案】（1），圆的一部分；见解析（2）【解析】【分析】（1
17、）平面中，以为原点，以为轴建立平面直角坐标系，设，由可得，从而可求出轨迹方程.（2）由可得，结合为柱的中点可求出在正方形内部，且在内，结合图形，利用间接法求出区域面积.【详解】（1）解：在平面中，以为原点，以为轴建立平面直角坐标系，则，由底面，底面，可知.则，设，则，所以,，又，则，所以 ，整理得，所以曲线是圆的一部分.（2）由，且均为锐角，则，由题意知，由，则在正方形内部，且在内，点所在区域如图阴影所示圆的圆心为，半径.，所以，所以，所以扇形面积，又，则阴影的面积.【点睛】本题考查了点的轨迹方程求解，考查了可行域，考查了圆的圆心、半径的求解，考查了扇形的面积求解.本题的难点是第二问中，找出点所在的区域.本题的关键是求区域面积时，采用间接法.
