1、第二讲测评(时间:90 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.用分析法证明不等式时的推理过程一定是()A.正向、逆向均可进行正确的推理B.只需能进行逆向推理C.只需能进行正向推理D.有时能正向推理,有时能逆向推理答案:B2.已知 xyz,且 x+y+z=1,则下列不等式中恒成立的是()A.xyyzB.xzyzC.x|y|z|y|D.xyxz解析:令 x=2,y=0,z=-1,可排除选项 A,B,C,故选 D.答案:D3.已知 abc0,A=a2ab2bc2c,B=ab+cbc+aca+b,
2、则 A 与 B 的大小关系是()A.ABB.Abc0,A0,B0.=aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=()-()-()-.ab0,1,a-b0,()-1.同理()-1,()-1.1,AB.答案:A4.使不等式 1+成立的正整数 a 的最大值为()A.10B.11C.12D.13解析:用分析法可证 a=12 时不等式成立,a=13 时不等式不成立.答案:C5.若实数 a,b 满足 0a2 ,2ab2()=2 .又 0ab,且 a+b=1,a0 恒成立,则代数式 a+3b 的值()A.恒为正值B.恒为非负值C.恒为负值D.不确定解析:令 f(x)=ax+2b,则在0,1上,若 a0
3、,则 fmin(x)=f(0)=2b0;若 a0,a+3b=b+a+2b0.答案:A7.设 an=+,则对任意正整数 m,n(mn),都成立的是()A.|an-am|-C.|an-am|解析:am=+,an=+,mn,|an-am|=|+|+=-()-,|an-am|0解析:a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2,而 a,b,c 不全相等(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20.故 a3+b3+c3-3abc0a+b+c0.答案:C9.在ABC 中,a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边,且
4、a,b,c 成等差数列,则 B 适合的条件是()A.0B B.0B C.0B D.B解析:2b=a+c,cosB=-=-=-=.当且仅当 a=b=c 时,等号成立.余弦函数在(0,)上为减函数,0B .答案:B10.已知 a,b,m,n 均为正数,且 a+b=1,mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为()A.1B.2C.3D.4解析:(am+bn)(bm+an)=abm2+(a2+b2)mn+abn2=ab(m2+n2)+2(a2+b2)2abmn+2(a2+b2)=4ab+2(a2+b2)=2(a2+2ab+b2)=2(a+b)2=2(当且仅当 m=n=时等号成立).答案:B二、
5、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.A=1+与(nN+)的大小关系是 .解析:A=+项 .答案:A 12.已知 a,b,c,d 都为正数,且 S=,则 S 的取值范围是 .解析:由放缩法,得 ;.以上四个不等式相加,得 1S2.答案:(1,2)13.设 0mnab,函数 y=f(x)在 R 上是减函数,下列四个数 f(),f(),f(-),f()的大小顺序是 .解析:1f()f()f(-).答案:f()f()f()f(-)14.若 abc0,n1=,n2=,n3=,则 n1n2,n2n3,中最小的一个是 .解析:利用赋值法比较,令 a=3,b
6、=2,c=1,可得 n1=,n2=,n3=,则 n1n2=,n2n3=,故 最小.答案:15.请补全用分析法证明不等式“ac+bd ”时的推论过程:要证明ac+bd ,只要证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2),即要证:a2c2+2abcd+b2d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即要证 a2d2+b2c22abcd,.答案:因为当 ac+bd0 时,命题显然成立,所以当 ac+bd0 时(ad-bc)20,a2d2+b2c22abcd,命题成立三、解答题(本大题共 4 小题,共 25 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6 分)已知 x0,y0,求证(1+x
7、+y2)(1+x2+y)9xy.证明:因为 x0,y0,所以 1+x+y23 0,1+x2+y3 0,故(1+x+y2)(1+x2+y)3 3 =9xy.17.(6 分)已知 x,yR,且|x|1,|y|1,求证 -.证法一:分析法:|x|1,|y|0,-0,-.故要证明结论成立,只需证明 -成立.即证 1-xy -成立.(y-x)20,-2xy-x2-y2,(1-xy)2(1-x2)(1-y2),1-xy -0.不等式成立.证法二:综合法:-=1-|xy|,-,原不等式成立.18.(6 分)已知 an=+(nN+),求证 ann,an=+1+2+n=.又 ,an=+.an .19.(7 分)
8、设函数 f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x2-8x+1.记 f(x)1 的解集为 M,g(x)4 的解集为 N.(1)求 M;(2)当 xMN 时,求证 x2f(x)+xf(x)2 .(1)解:f(x)=-当 x1 时,由 f(x)=3x-31 得 x ,故 1x ;当 x1 时,由 f(x)=1-x1 得 x0,故 0 x1.所以 f(x)1 的解集为 M=|.(2)证明:由 g(x)=16x2-8x+14,得 16(-)4,解得-x .因此 N=|-.故 MN=|.当 xMN 时,f(x)=1-x,于是x2f(x)+xf(x)2=xf(x)x+f(x)=xf(x)=x(1-x)=(-).
