1、4.3直线与圆锥曲线的交点第1课时直线与圆锥曲线的交点课时过关能力提升1.设直线y=a(aR)与曲线y=|3-x2|的公共点个数为m,则下列不能成立的是()A.m=4B.m=3C.m=2D.m=1答案:D2.设椭圆x24+y23=1长轴的两端点为M,N,异于M,N的点P在椭圆上,则PM与PN的斜率之积为()A.-34B.-43C.34D.43解析:由已知可设P(x0,y0),M(-2,0),N(2,0),则kPMkPN=y0x0+2y0x0-2=y02x02-4.因为x024+y023=1,所以y02=4-x0243.所以kPMkPN=34(4-x02)1x02-4=-34.答案:A3.已知抛
2、物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKl,垂足为K,则AKF的面积是()A.4B.33C.43D.8解析:由题意,知焦点F(1,0),准线x=-1,则过点F的直线方程为y=3(x-1), 与抛物线方程联立,得y2=4x,y=3(x-1)消去x,得3y2-4y=43,点A的坐标为(3,23),AF=4.由抛物线的定义及已知条件,得AKF是边长为4的等边三角形.SAKF=1244sin 60=43.故选C.答案:C4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点.若AF
3、1B的周长为43,则C的方程为()A.x23+y22=1B.x23+y2=1C.x212+y28=1D.x212+y24=1解析:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为33,ca=33.又过F2的直线l交椭圆于A,B两点,且AF1B的周长为43,4a=43,a=3.b=2,椭圆方程为x23+y22=1.选A.答案:A5.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线与该抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y12+y22的最小值是()A.4B.8C.12D.16解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0).若斜率存在,则设过焦点的直线方程为y=k(x-1).与y2=4x联立消去x
4、,得y2-4ky-4=0,则=-4k2+440.又y1+y2=4k,y1y2=-4,则有y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=16k2+88.若直线斜率不存在,则直线方程为x=1,将其代入y2=4x,得y=2,则有y12+y22=8.综上可知,y12+y228.答案:B6.若曲线y2=|x|+1与直线y=kx+b没有公共点,则k,b分别应满足的条件是.答案:k=0,-1bb0)经过点(0,3),离心率为12,左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).(1)求椭圆的标准方程;(2)若直线l:y=-12x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足|AB|
5、CD|=534,求直线l的方程.解:(1)由题设,知b=3,ca=12,b2=a2-c2,解得a=2,b=3,c=1,椭圆的标准方程为x24+y23=1.(2)由题设,以F1F2为直径,点O为圆心的圆的方程为x2+y2=1,圆心到直线l的距离d=2|m|5.由d1,得|m|52.(*)|CD|=21-d2=21-45m2=255-4m2.设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=-12x+m,x24+y23=1,得x2-mx+m2-3=0,由根与系数的关系可得x1+x2=m,x1x2=m2-3.|AB|=1+-122m2-4(m2-3)=1524-m2.由|AB|CD|=534,得4-m25-4m2=1,解得m=33,满足(*).直线l的方程为y=-12x+33或y=-12x-33.7
